高二年级-数学-二项式系数的性质及应用

目标 ∁ + ∁ +⋯ = ∁ + ∁ +⋯
由于 + =∁ + ∁ − + ⋯ + ∁ − + ⋯ + ∁ ∈ ∗
令a=1,b=-1,得
− =∁ -∁ +∁ -∁ +⋯ + − ∁
.
2
反思： “赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方
法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开
式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1
可得所有项系数之和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次项
系数之和的差．
学以致用


\\\\\\\\
例3 用二项式定理证明：
=∁ + ∁ + ⋯ + ∁ ∈ ∗
这表明 + 的展开式的各项的二项式系数的和等于
注解1、已知集合A= , , , ⋯ , ∈ ∗ ,则集合A有多少个子集呢？
∅
∁
含一个元素
∁
含n个元素
∁
2
注解2：我们把上述解题方法叫做赋值法。
（1）

= + + +⋯ + , 求下列各式的值。
解： 令x=0,则展开式为 =
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
解: 令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ )100，
①ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－ )100－2100.
章算术》（1261年)一书中用如
图的三角形解释二项和的乘方规
律。布莱士·帕斯卡的著作
Traité du triangle
arithmétique（1655年）介绍
了这个三角形，解决有关概率的
问题。
其实，中国古代数学家在数
学的许多重要领域中处于遥遥领
先的地位。而杨辉三角的发现就
是十分精彩的一页。
课后练习
∁ ∙ ≥ ∁ ∙
!
∙ ≥
− ! !
−
!
∙ ≥
− ! !
−
!
∙ −
! − !
֜
!
∙ +
! + !
解得5≤r≤6.∴r＝5或r＝6. ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.


∙≥

−


≥
∙
反思： 整除问题实际上就是判断余数是否为零，因此求
解整除问题可以借助于求余数问题展开思路.
课堂小结
饮
水
思
源
1、寻找二项式系数和系数的最大值；
2、灵活运用赋值法；
3、整除和余数问题。
杨辉三角形，又称贾宪三角
形，帕斯卡三角形，是二项式系
数在三角形中的一种几何排列。
北宋人贾宪约1050年首先使用，
南宋数学家杨辉所著的《详解九
−
+
性质探究
观察 + 展开式的二项式系数，当n依次取0,1,2,3，⋯ 时
−
(1) ∁
=∁


−
时，∁ <∁+
;

−
当r> 时，∁+
<∁ ;


(3)当r<
− = ∁
(2) ∁
+ ∁
+
(4) ∁ + ∁ + ⋯ + ∁ =


C、

（
C、511
D、512
二、填空题
5．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的所有二项式的各项系数和是________．
6．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所
示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
第0行
−

+

当n为奇数时，二项式系数中以∁ 和∁ (两者相等）最大。
性质3
学以致用
例 1．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于________．
解：因为只有第5项的二项式系数最大， 即最大的二项式系数只能是∁ ，即n=8
变式1：求 − 展开式中系数最大的项？ 注意到本题中二项式系数和系数的绝对值相等
0= ∁ + ∁ + ⋯ − ∁ + ∁ + ⋯
即 ∁ + ∁ +⋯ = ∁ + ∁ +⋯
即在 + 的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和。
“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决。
练一练
设 −
− 能被整除
证明： − = −
-1
=∁ -∁ + ⋯ + ∁ − ∁ + ∁
-1
=∁ -∁ + ⋯ + ∁ − +1
因为上式的每一项都能被1000整除，所以 − 能被整除
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
解： 令x＝－1，可得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100.
与①联立相减，得
②
a0＋a1＋a2＋ +…＋a100＝(2－ )100
①
a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ 3)100
②
2－ 3100－2＋ 3100
a1＋a3＋…＋a99＝
6、【解析】
−

∁


＝ 且 +
＝ .
∁


∁

+
使得连续三项∁−
，∁
，∁
，有



∁

+
＝ ， ＝ ，联立解得k＝27，n＝62.
−+ −
化简得
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
【答案】
7、【解】
62
令x＝2，可以得到5100＝a0＋a1＋a2＋…＋a100，①
1
第1行
1
1
第2行
1
2
1
第3行
1
3
3
1
第4行
1
4
6
4
1
10
5
第5行
1
5
10
1
三、解答题
7．已知(1＋2x)100 ＝a0 ＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a100(x－1)100 ，求a1 ＋a3 ＋a5 ＋…
＋a99的值．
答案
1、A 2、C
3、C
4、D
5、2n＋1－2
根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
令x＝0，可以得到1＝a0－a1＋a2－…＋a100，②


由①②得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝ (5100－1)．
目标： ∁ + ∁ + ⋯ + ∁ =
性质4
已知 + =∁ + ∁ − + ⋯ + ∁ − + ⋯ + ∁ ∈ ∗
令a=1,b=1
+ =∁ + ∁ − + ⋯ + ∁ − + ⋯ + ∁ ∈ ∗
苏教版高二 选修2-3
二项式系数的性质及应用
性质探究
观察 + 展开式的二项式系数，当n依次取0,1,2,3，⋯ 时
−
(1) ∁
=∁


−
(3)当r< 时，∁ <∁+
;

−
当r> 时，∁+
<∁ ;


− = ∁
(2) ∁
+ ∁
+


当n为偶数时，二项式系数中，以∁ 最大；
一、选择题
1．(a－b)7的展开式中，二项式系数最大的项是第几项
A、4或5
2．在 −
A、6
B、5
C、4
B、10
B、2
C、8
B、1023
）
（
）
（
）
D、9
4．计算∁ ＋∁ ＋∁ ＋∁ ＋∁ 的值为
A、1024
（
D、30
3．233除以9的余数是
A、1
）
D、6
6
的展开式中，x2的系数为
=∁ −

=∁ −

变式2 求(1＋2x)8的展开式中二项式系数最大的项 =∁ = 和系数最大
的项.
解：设第r+1 ≤ ≤ 且 ∈ 项系数最大，则有
−
∁ ∙ ≥ ∁−
∙


൝
֜
+
+