2019-2020学年宁夏银川唐徕回民中学高一12月数学试题(含答案解析)

y
2x
与
y
log 1
2
x
的交点的横坐标为
a
，
y
1 2
x
与yຫໍສະໝຸດ log 12x
的图象的交点的横坐标为 b
，
y
1 2
x
与
y
log2
x
的图象的交点的横坐标为
c
，从图象可以看出
．
【考点】指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中
因为
x x2 1
x 1 x 1 ， M a
又因为 P M P ，
所以 M P
所以 1 a 1
故选:B 【点睛】 本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 2．若二次函数 f(x)＝4x2－2(t－2)x－2t2－t＋1 在区间[－1,1]内至少存在一个值 m，使得 f(m)>0，则实 数 t 的取值范围（ ）
2 A． 3
5 B． 2
25 2 C． 2
125 2 D． 3
【答案】D
【解析】根据三视图，该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥，可以补成
一个以 3，4，5 为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长.
【详解】
由三视图可知：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥，可以补成一个以
【答案】 4 2
【解析】先计算出直观图的面积，再利用平面图形的面积与直观图的面积比为 2 2 求解.
【详解】
因为 ABC 的直观图为等腰直角 A ' B 'C ' ，且 A' B ' 2
SABC
所以
122 2
2
，
因为平面图形的面积与直观图的面积比为 2 2
所以 SABC 2 2 2 4 2
,x
2
，若关于 x 的方程 g 2 x ag x b
0
有7
个不同实数解则
（）
A． a 0 且 b 0 B． a 0 且 b 0 C． a 0 且 b 0 D． a 0 且 b 0
【答案】A
【解析】作出函数 g(x) 的图象，令 g(x) t ，由图象可知 g(x) t 0 有 4 个不等实根， g(x) t 0 时，有 3 个不相等的实数根， g(x) t 0 时无实根.题中原方程 g 2 (x) ag(x) b 0 有 且只有 7 个不等实根，即 t 2 at b 0 有两个实根，一根为 0，另一根大于零，则 a 0, b 0 ，所
【详解】
f x 2 x 1 x3 2 2 x3
因为
2x 1
2x 1，
g(x) x3
令
2x 1，
g(x) x3 x3 g(x)
因为
2x 1 2x 1
，
所以 g(x) 是奇函数，
所以 g(x)max g(x)min 0 ，
所以 f (x)max f (x)min M N g(x)max 2 g(x)min 2 4 .
2a c 均为正数，且
log1
2
1 b a ， 2
log
1 2
b
，
1 2
c
log2 c
．则（
）
A． a b c
B． c b a
C． c a b
D． b a c
【答案】A
【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出
y
2x ,
y
1 2
x
，
y
log2
x，
y
log 1
2
x
的图象，
二次函数 f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数 m，使 f（m）＞0， 该结论的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个 x 都有 f（x）≤0，
由
f 1 4 2t 4 2t2 t 1 0 f 1 4 2t 4 2t2 t 1 0
，求得
t≤﹣3
或
t≥
3 2
．
3 ∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数 m，使 f（m）＞0 的实数 t 的取值范围是：（﹣3， 2 ），
【详解】
f (x) 为奇函数， f (x) f (x) . f (1) 1 ， f (1) f (1) 1. 故由 1 f (x 2) 1，得 f (1) f (x 2) f (1) . 又 f (x) 在 (, ) 单调递减，1 x 2 1， 1 x 3 .
故选：D 【点睛】 本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力. 6．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的 半径等于（ ）
3 a2 4，
1 3 a2 6 a 2 a3
所以V 正四面体 = 3 4
3 12 .
因为正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和，
设点 P 到该正四面体各个面的距离分别为 h1, h2, h3, h4,
1 a a si n 60 3 a2
四个面的面积都为： 2
4，
1
所以正四面体的体积为： 3
（）
A． 2020
B．1010
C． 2012
D． 0
【答案】D
【解析】根据函数
y
f
x
是定义在
R
上的奇函数，且
f
2 0 ，结合
f
x 4
f
x
f
4 ，
推知 f (x) 的周期为 4 求解.
【详解】
因为函数
y
f
x
是定义在
R
上的奇函数，且
f
2 0 ，
f 2 f (2) 0
所以
，
f x 4 f x f 4
所以能得到的最大球的半径等于 2. 故选：A 【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及组合体问题，属于基础题.
7．球面上有四个点 P, A, B,C ，如果 PA, PB, PC 两两互相垂直，且 PA PB PC 1，则球的表面
积为（ ）
A．
B． 3
C． 2
D． 2 2
【答案】B
【解析】根据 PA, PB, PC 两两互相垂直，且 PA PB PC 1， P, A, B,C 构成一个以
所以球是正方体的外接球， 所以正方体的体对角线的长为球的直径，
即 2R 3 ，
R 3 所以 2 ，
4
所以球的表面积为
3 2 2
3
.
故选：B 【点睛】
本题主要考查与球有关的组合体问题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
8．正四面体的棱长为 a, P 为该正四面体内任一点，则点 P 到该正四面体各个面的距离之和为（
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的分布和二次函数的单调性和值域等知识，属于中档题．同学们要注意解
题过程中运用反面的范围，来求参数取值范围的思路，属于中档题．
3．已知函数
y
f
x
是定义在
R
上的奇函数，且
f
2 0 ，若对于任意 x R
，都有
f x 4 f x f 4
f 2020
成立，则
画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
5．函数 f (x) 在 (, ) 单调递减，且为奇函数.若 f (1) 1，则满足 1 f (x 2) 1的 x 取值范
围是（ ）
A．[2, 2]
B． [1,1]
C．[0, 4]
D． [1, 3]
【答案】D
【解析】根据奇函数的性质由 f (1) 1，可以求出 f (1) 的值，再利用函数的单调性结合已知 1 f (x 2) 1，可以求出 x 取值范围.
f x f 0 0
所有
min
，
因为函数
f
x
min x
,
x
t
的图像关于直线
x
1 2
对称，
f 1 min1 , 1 t 0
所以
，
1t 0
所以
，
解得 t 1.
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数对称性的应用，还考查了特殊与一般的思想方法，属于中档题.
g x
12．已知函数
lg x 2 0, x 2
3 a2 4
h1 h2 h3 h4
，
1 所以 3
3 4
a2
h1
h2
h3
h4
2 a3 12
，
h1 h2 h3 h4
所以
6 a
3.
故选：C
【点睛】
本题主要考查正四面体的体积及应用，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于中档题.
9．某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
3，4，5 为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长，
即 2R 32 42 52 5 2 ，
R5 2
所以
2，
4 R3 125 2
所以外接球的体积为 3
3.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及与球有关的组合体问题，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于
中档题.
f x 2 x 1 x3 2
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】A
【解析】根据三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为 12 的直三棱柱，若使球最大，则球的
半径为正视图内切圆的半径求解.
【详解】
由三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为 12 的直三棱柱，
若使球最大，则球的半径为正视图内切圆的半径，
即 8 r 6 r 10 ， 解得： r = 2 .
故选：D 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于常考题.
11．用
min
a,
b 表示
a,
b
两数中的最小值，若函数
f
x
min
x , xt
x1 的图像关于直线 2 对
称，则 t 的值为（ ）
A． 1
B．1
C． 2
D．2
【答案】A
g(x)
【解析】令
x
, h(x)
xt
2019-2020 学年宁夏银川唐徕回民中学高一 12 月数学试题
一、单选题
P
1．已知集合
x
x2
1
,M
a
，若
P
M
P ，则实数 a 的取值范围是（
）
A． , 1
B． 1,1
1,
C．
, 11,
D．
【答案】B
【解析】先化简集合 P，再由 P M P ，即 M P 求解.
【详解】
P
又因为
，
令 x 2 得 f 2 4 f 2 f 4，
f 4 0
所以
，
所以 f x 4 f x，
所以 f (x) 的周期为 4，
f 2020 f 4505 0 f 0 0 . 故选：D
【点睛】
本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
4．设 a，b，
以选 A.
【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令 y g(x) ，先画出函数
g(x) 的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次
方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.
二、填空题
13．如图， ABC 的直观图为等腰直角 A ' B 'C ' ，其中 A ' B ' 2 ，则 ABC 的面积为_________.
(, 3) ( 3 , )
A．
2
(3, 3) B． 2
C． (, 3)
( 3 , ) D． 2
【答案】B 【解析】函数 f（x）的图象是开口向上的抛物线，故二次函数 f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个 实数 m，使得 f(m)>0 的否定为：对于区间[﹣1，1]内的任意一个 x 都有 f（x）≤0，即 f（﹣1），f（1） 均小于等 0，由此可以构造一个关于 t 的不等式组，解不等式组，找出其对立面即可求出实数 t 的取值 范围． 【详解】
故答案为： 4 2
【点睛】
本题主要考查斜二测画法以及原图形与直观图的面积比，属于基础题.
10．已知函数
2 x 1 的最大值为 M ，最小值为 N ，则 M N （ ）
A．0
B．1
C．3
D．4
【答案】D
【解析】根据
f
x
2 x 1 x3 2x 1
2
2
x3 2 x 1 ，易知
g(x)
x3 2 x 1 是奇函数，则
g(x)max g(x)min 0 ，再由 f (x)max f (x)min g(x)max 2 g(x)min 2 求解.
，根据 g(x)min
g(0) 0, h(x)min
h 0 0
，得到
f
x min
f
0 0 ，再根据函数
f
x
min x
,
xt
x
的图像关于直线
1 2
对称，有
f 1 min1 , 1 t 0 求解.
【详解】
令 g(x) x , h(x) x t ，
因为 g(x)min g(0) 0, h(x)min h 0 0 ，
）
2a A． 2
3 a
B． 3
6a C． 3
D． 3a
【答案】C
【解析】先求得正四面体的体积，再根据正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和求解.
【详解】
如图所示：
BE 2 BF 2 3 a 3 a
AE ⊥ 面 BCD ，
3
32
3，
AE AB2 BE2 6 a
所以
3，
SBCD
1 a a si n 60 2
PA, PB, PC 为邻边的正方体，再根据 P, A, B, C 在球面上，得到正方体的体对角线的长为球的直径.
【详解】
因为 PA, PB, PC 两两互相垂直，且 PA PB PC 1，
所以 P, A, B, C 可以构成一个以 PA, PB, PC 为邻边的正方体，
又因为 P, A, B, C 在球面上，