2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.8函数与方程教案理(含解析)新人教A版

§2.8函数与方程
1．函数的零点
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
2．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
概念方法微思考
函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？
提示不能．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )
(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在b 2
－4ac <0时没有零点．( √ )
(4)f (x )＝x 2
，g (x )＝2x
，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ ) 题组二 教材改编
2．函数f (x )＝ln x －2
x
的零点所在的大致区间是( )
A ．(1,2)
B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)
答案 B
解析 ∵f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－2
3
>0
且函数f (x )的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x )为增函数， ∴f (x )的零点在区间(2,3)内．
3．函数f (x )＝e x
＋3x 的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B
解析 由f ′(x )＝e x
＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因
此函数f (x )有且只有一个零点． 题组三 易错自纠
4．函数f (x )＝ln 2
x －3ln x ＋2的零点是( ) A ．(e,0)或(e 2
,0) B ．(1,0)或(e 2
,0) C ．(e 2
,0) D ．e 或e 2
答案 D
解析 f (x )＝ln 2
x －3ln x ＋2＝(ln x －1)(ln x －2)， 由f (x )＝0得x ＝e 或x ＝e 2
.
5．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x
，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，
x 3，则( )
A ．x 1<x 2<x 3
B ．x 2<x 1<x 3
C ．x 2<x 3<x 1
D ．x 3<x 1<x 2
答案 C
解析 作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x
，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示，可知选C.
6．若二次函数f (x )＝x 2
－2x ＋m 在区间(0,4)上存在零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－8,1]
解析 m ＝－x 2
＋2x 在(0,4)上有解，又－x 2
＋2x ＝－(x －1)2
＋1，∴y ＝－x 2
＋2x 在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m ≤1.
题型一 函数零点所在区间的判定
1．函数f (x )＝ln x －
2
x －1
的零点所在的区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 答案 B
解析 函数f (x )＝ln x －
2
x －1
在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，所以f (2)f (3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)． 2．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
答案 A
解析 ∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，
f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A. 3．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，
n ＋1)，n ∈N ＋，则n ＝________.
解析 对于函数y ＝log a x ，当x ＝2时，可得y <1，当x ＝3时，可得y >1，在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝－x ＋b 的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)时，n ＝2.
思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．
题型二 函数零点个数的判断
例1(1)函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－2，x ≤0，
2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．
答案 2
解析 当x ≤0时，令x 2
－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1
x
>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数
f (x )的零点个数为2.
(2)(2018·呼伦贝尔模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C
解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．
由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. (3)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点
D ．有无穷多个零点
解析 当x ∈(0,1]时，因为f ′(x )＝1
2x ＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )
在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos1>0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当
x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.
思维升华函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点．
(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数． (3)利用函数图象的交点个数判断．
跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 C
解析 g (x )＝f (1－x )－1
＝⎩⎪⎨
⎪⎧
(1－x )2
＋2(1－x )－1，1－x ≤0，
|lg (1－x )|－1，1－x >0
＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1，
易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C.
(2)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．
答案 2
解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，x >－1， 函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．
分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．
题型三 函数零点的应用
命题点1 根据函数零点个数求参数
例2(1)(2018·大连模拟)若函数f (x )＝x 2
－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值
范围是( )
A ．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2，103
答案 D
解析 由题意知方程ax ＝x 2
＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3上有实数解，
即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a
的取值范围是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2，103.
(2)已知函数()21
2
11log 1x x f x x x ⎧⎪
⎨⎪⎩－，＜，＝，≥，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k
的取值范围是______． 答案 (－1,0)
解析 关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．
命题点2 根据函数零点的范围求参数
例3若函数f (x )＝(m －2)x 2
＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则
m 的取值范围是____________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12
解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≠2，f (－1)·f (0)<0，
f (1)·f (2)<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，
解得14<m <12
.
思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
跟踪训练2(1)方程12
log (2)2x a x －＝＋有解，则a 的最小值为________．
答案 1
解析 若方程12
log (2)2x a x －＝＋有解，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋x ＝a －2x
有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，因为14⎝ ⎛⎭⎪
⎫12x
＋2x
≥1，故a 的最小值为1.
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1，x >0，
x 2
＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值
范围是________．
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－14，0
解析 作出函数f (x )的图象如图所示．
当x ≤0时，f (x )＝x 2
＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，
则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－14，0.
利用转化思想求解函数零点问题
在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：
(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决． 例(1)若函数f (x )＝|log a x |－2－x
(a >0且a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( )
A ．mn ＝1
B ．mn >1
C ．0<mn <1
D ．以上都不对
答案 C
解析 由题设可得|log a x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，不妨设a >1，m <n ，画出函数y ＝|log a x |，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的图象如
图所示，
结合图象可知0<m <1，n >1，且－log a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，log a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，以上两式两边相减可得log a (mn )
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m
<0，所以0<mn <1，故选C. (2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
e x
，x ≤0，ln x ，x >0，
g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零
点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)
答案 C
解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．
在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．
若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点．
方法一 平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－a ，a ＝－1.
当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.
方法二 由图知－a ≤1，∴a ≥－1.
(3)若关于x 的方程22x ＋2x
a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2－22]
解析 由方程，解得a ＝－22x
＋12x ＋1，设t ＝2x
(t >0)，
则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1
＝2－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
(t ＋1)＋
2t ＋1，其中t ＋1>1， 由均值不等式，得(t ＋1)＋
2
t ＋1
≥22， 当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.
1．已知函数f (x )＝6
x
－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,4)
D ．(4，＋∞)
答案 C
解析 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－1
2<0，所以函
数f (x )的零点所在区间为(2,4)．
2．函数f (x )＝12
x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 B
解析 函数f (x )＝12
x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数是方程12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的解的个数，即方程1
2x ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫12x
的解的个数，也就是函数y ＝12
x 与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函
数的图象如图所示，可得交点个数为1.
3．函数f (x )＝2x
－2x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(1,2)
C ．(0,3)
D ．(0,2) 答案 C
解析 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C.
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x ≤0，1
x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )
A ．(1,2)
B ．(－∞，－2]
C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D
解析 当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1
x
＝
m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
5．(2018·营口模拟)已知关于x 的方程1
x ＋2
＝a |x |有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)
答案 C 解析 方程
1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1
x ＋2
与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝
1
x ＋2
与y ＝a |x |的图象，如图所示，
由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图象与函数y ＝f (x )＝1
x ＋2
的图象相切于点(x 0，y 0)，
因为f ′(x )＝－1
(x ＋2)
2
，则有⎩⎪⎨⎪⎧
y 0＝－ax 0，
y 0
＝1x 0＋2，1(x 0
＋2)2
＝a ，
解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.
6．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3，x ≤1，
－x 2
＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x
的零点个数为________．
答案 2
解析 函数g (x )＝f (x )－e x
的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x
的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x
有2个零点．
7．若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是____________．
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－3
2
<x <1
解析 ∵f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两根，
由根与系数的关系知⎩⎪⎨
⎪⎧
－2＋3＝－a ，
－2×3＝b .
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－6，
∴f (x )＝x 2
－x －6.∵不等式af (－2x )>0， 即－(4x 2
＋2x －6)>0⇔2x 2
＋x －3<0，
解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－3
2
<x <1
. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 3
，x ≤a ，
x 2
，x >a .
若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a
的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 令φ(x )＝x 3
(x ≤a )，h (x )＝x 2
(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝
f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2
，
解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
9．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2019x
＋log 2019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 答案 3
解析 因为函数f (x )为R 上的奇函数，
所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2019x
＋log 2019x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12019内存在一个零点，又f (x )
为增函数，
因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点， 从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.
10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝12
log x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )
＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 答案 5
解析 由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数
F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横
坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 2
2
＝5－
x 1＋x 2
2
，所
以x 1＋x 2＝5.
11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－
2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)(a >1)在区间[－2，6]内恰有三个
零点，求实数a 的取值范围．
解 根据题意得f ((x ＋2)－2)＝f ((x ＋2)＋2)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )的周期为4.若方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间[－2,6]内恰有三个不同的实根，则函数y ＝f (x )和y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－2,6]内恰有三个不同的交点，根据图象可知，log a (6＋2)>3
且log a (2＋2)<3，解得3
4<a <2.
12．关于x 的二次方程x 2
＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1
x
，
又∵y ＝x ＋1
x
在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
∴y ＝x ＋1
x
在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，
∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1]．
13．已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2
＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14B.18C ．－78D ．－38 答案 C
解析 依题意，方程f (2x 2
＋1)＋f (λ－x )＝0只有1个解，故f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)有1个实数解，
∴2x 2
＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解， 故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－7
8
.故选C.
14．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x x ＋1
，x ∈[0，1)，
1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函
数F (x )＝f (x )－1
π的所有零点之和为________．
答案
1
1－2π
解析 由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2x 1－x ，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，
作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )
的图象与y ＝1
π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1
＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝1
1－2π，所以函数F (x )
＝f (x )－1π的所有零点之和为1
1－2π
.
15．已知函数f (x )是偶函数，f (0)＝0，且x >0时，f (x )是增函数，f (3)＝0，则函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为________． 答案 3
解析 画出函数y ＝f (x )和y ＝－lg|x ＋1|的大致图象，如图所示．
∴由图象知，函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3.
16．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2|log 2x |，0<x ≤2，
(x －3)(x －4)，x >2，若f (x )＝m 有四个零点a ，b ，c ，d ，求abcd
的取值范围．
解 作出函数f (x )的图象，不妨设a <b <c <d ，
则－log 2a ＝log 2b ，∴ab ＝1.
又根据二次函数的对称性，可知c ＋d ＝7， ∴cd ＝c (7－c )＝7c －c 2
(2<c <3)， ∴10<cd <12，
∴abcd 的取值范围是(10,12)。