第四章 仿射变换在初等几何证明中的作用_作业

一、必做作业
1．用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：
1）过的顶点任作一条直线，
与边及中线分别交于点及，求
证．
证明1(初等几何)：过点B作CF∥BH,
并延长AD交HB于点G.
因为CD=DB,易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG;
由平行线分线段成比例，则AE:EG=AF:FB,又EG=2ED,所以AE:2ED=AF:FB,即AE:ED=2AF:FB.
证明2（仿射变换）建立仿射坐标系：A(0，
0),B(b，0)，C(0，c)则D(b/2,c/2),下面设
CF:y=kx+c,分别求E和F的坐标。

因为AB:y=0，
从而得到F(-c/k,0),
2）（梅耐劳斯定理）设
分别在的边
及（或延长线）上，
求证：三点共线的充
要条件是
证明：如图，建立仿射坐标系：
3）已知
中，是边上的中点，是上的任一点，连结
并延长交于，连并延长交
于，求证//．
证明：如图，延长AD 至K 使得
AKC 中，根据平行线分线=AF AE FB EC ，所以FE ∥BC。