浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试(一)数学(理)试题 含解析

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集}4,3,2,1,0{=U ,集合}2,1,0{=A ，集合}3,2{=B ,则(U
C
=B A )
A ．∅
B ．}4,3,2,1{
C ．}4,3,2{
D ．}4,3,2,1,0{
【答案】C 【解析】
试题分析：因为全集}4,3,2,1,0{=U ，集合}2,1,0{=A ，集合}3,2{=B ，所以
{}4,3=A C U ，所以(U C =B A )}4,3,2{，应选
C 。

考点：集合的交、并、补运算.
2．已知直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直,则=a
A ． 1或1-
B ．1
C ．1-
D ．0 【答案】D 【解析】
试题分析：因为直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直， 所以0011=⇒=⨯+⨯a a a ,故应选D 。

考点：两直线的位置关系.
3.已知向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行，则锐角α等于
A ．4π
B ．6
π
C ．3π
D ．12
5π
【答案】A
【解析】
试题分析:因为向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行， 所以12sin 6cos sin 12=⇒=ααα，又因为α是锐角，所以=α4
π
考点：向量平行的坐标运算。

4.三条不重合的直线c b a ,,及三个不重合的平面γβα,,，下列命题正确的是
A ．若βα//,//a a ,则βα//
B ．若γβγαβα⊥⊥=,,a ,则γ⊥a
C ．若b c a c c b a ⊥⊥⊂⊂⊂,,,,βαα，则βα⊥
D ．若βαγβα//,//,,c c c a ⊂= ，则γ//a 【答案】B 【解析】
试题分析：A ．若βα//,//a a ,则βα//或βα,相交故A 错误；C ．若
b c a c c b a ⊥⊥⊂⊂⊂,,,,βαα,当b a ,平行时虽然b c a c ⊥⊥,但是c 不一定垂直平面
α,所以βα,不一定垂直故C 错误;D ．若βαγβα//,//,,c c c a ⊂= ,则γ//a 或γ⊂a .
考点：空间几何元素的位置关系。

5.
已知条件043:2
≤--x x
p ，条件096:22≤-+-m x x q ．若p 是q 的充分不
必要条件，则m 的取值范围是
A ．]1,1[-
B ．]4,4[-
C ．),4[]4,(+∞--∞
D ．),4[]1,(+∞--∞ 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可得：41:043:2
≤≤-⇒≤--x p x x p ，
令()22
96m x x
x f -+-=则该函数开口向上且对称轴为3=x ，
所以结合图像观察若
p
是q 的充分不必要条件，则应满足
()401≥⇒≤-m f 或4-≤m .
考点：充分必要条件的应用.
6.已知直线)(2sin cos :R y x l ∈=⋅+⋅ααα，圆0sin 2cos 2:22
=⋅+⋅++y x y x
C θθ
)
(R ∈θ，则直线l 与圆C 的位置关系是
A ．相交
B ．相切 C
．
相
离
D ．与θα,相关 【答案】D 【解析】 试题分析:()()1sin cos sin 2cos 22
2
22
=-+-=⋅+⋅++θθθθy x y x y x
，
所以圆的圆心坐标为()θθsin ,cos --半径为1，则直线到圆心的距离为
()θαθ
θαθαθ-+=+-•-•-=
cos 2sin cos 2
sin sin cos cos 2
2
d []3,1∈，所以直线l 与圆C 的位置关系
是相切或相离,故应选D.
考点：直线与圆的位置关系。

7.如图，已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上有一点A ，它关于原点的对称
点为
B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6
,12[π
πα∈,则该双
曲线离心率e 的取值范围为 A ．]32,3[+ B ．]13,2[+
C ．]32,2[
+
D ．]13,3[
+
【答案】B 【解析】
试题分析：在ABF Rt ∆中，c AB c OF 2,=∴=,ααcos 2,sin 2c BF c AF ==∴
a c AF BF 2|sin cos |2||=-=-∴αα，|)4
cos(|21
|sin cos |1πααα+=
-==
∴a c e ,12
54
3
,6
12
ππ
απ
π
απ
≤
+
≤∴
≤
≤
]2
2
,213[|)4cos(|2],21,426[
)4
cos(-∈+-∈+∴παπ
α]13,2[+∈∴e 。

考点：双曲线的定义及其性质. 8.已知函数
⎩⎨
⎧>≤-=)
0(ln )
0(2)(x x x e x f x ，则下列关于函数)0(1]1)([≠++=k kx f f y 的零点个数的判断正确的是
A ．当0>k 时,有3个零点；当0<k 时，有4个零点
B ．当0>k 时，有4个零点;当0<k 时,有3个零点
C ．无论k 为何值，均有3个零点
D ．无论k 为何值,均有4个零点 【答案】C
考点：函数的
零点.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共7小题,第9—12题每题6分，第13—15题每题4分,共36分）
9.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≥-142
2y y ax y x ，目标函数y x z 2+=。

若1=a ，则z 的
最大值为 ▲ ；若z 存在最大值，则a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】6，()10,0 【解析】
试题分析：当1=a 时，不等式组表示的可行域为：
当目标函数平移到点()2,2A 时值最大,最大值为6;
若z 存在最大值，不等式组对应的可行域应当是一个封闭的图形，直
线1-=y 与直线22-=x y 是不变的,而直线4+-=ax y 是变动的但是直线经过定点()4,0，所以要使不等式组对应的可行域应当是一个封闭的图形，应满足直线4+-=ax y 的斜率满足010<<-a 即()10,0∈a .
考点:线性规划的应用。

10．一个几何体的三视图如图,其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图
由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由 ▲ 和
▲ 组成的，若它的体积是62
+π，则=a ▲ ．
【答案】一个三棱锥，半个圆锥，1 【解析】
试题分析：由三视图可知：该空间几何体可以看成是由一个底面边长为2，该底边上的高为1，三棱锥的高为1的三棱锥和一个底面圆半
1
1
正视图 a
（第10题）
1
1
1
俯视图
1
1
侧视图
径为a ,高为1的半圆锥组成的,所以它的体积是
=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯a a 122
1
31131212π62+π，所以1=a .
考点：三视图、空间几何体的体积。

11。

在ABC ∆中,若︒=∠120A ，DC BD BC AB 2
1
,13,1=
==,则=AC ▲ ；=AD
▲ ． 【答案】3，3
7 【解析】
试题解析:在ABC ∆中,由余弦定理可得：BAC AB AC AC AB BC ∠•-+=cos 2222
，
所以0122
=-+AC AC
，即3=AC ；
在ABD ∆中，由余弦定理可得：ADB BD AD BD AD AB
∠•-+=cos 2222
，
即ADB AD AD ∠•-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=cos 313
231312
2; 在ADC ∆中，由余弦定理可得：ADC DC AD DC AD AC
∠•-+=cos 2222
,
即ADC AD AD ∠•-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=cos 31322313292
2;所以37
=AD 。

考点:余弦定理的应用。

12.设等差数列}{n
a 的前n 项和为n
S ，若24942=++a a a
，
则=9S ▲ ;10
810
8
S S
⋅
的
最大值为 ▲ ． 【答案】72，64 【解析】 试题分析:由24942=++a a a
可得85=a ，所以()7292
922
95
5919==⨯=⨯+=
a
a a a s ;
1029
101082788102910108278810
8111110
8d a d a d a d a S S ⨯+⋅
⨯+=⨯+⋅⨯+
=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=d a d a 2927112
2
2
555264222⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d d a d a d a ,所以10
810
8
S
S ⋅的最大值为64.
考点：等差数列的定义及性质。

13。

M 是抛物线x y
42
=上一点，F 是焦点，且4=MF ．过点M 作准线l 的
垂线，垂足为K ，则三角形MFK 的面积为 ▲ ． 【答案】34
【解析】
试题分析:由题意可得：4==MF MK ，12
=p ,所以点()
32
,3M ,
所以()343222
1
324221=⨯⨯-⨯+⨯=
-=∆∆HFK MFHK MFK
s s s
四边形。

考点：抛物线的定义. 14。

设0,,>z y x ，满足822
=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是 ▲ ．
【答案】23
【解析】
试题分析：因为0,,>z y x 且822
=++z y
xyz ，所以
(
)
()()()8242422882
2
22
2
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+≤-•=-•≤--•=••yz yz yz yz yz yz z y yz z y x 所以()
2
3
8log log log log log
42
24224=≤=++z
xy z y x . 考点：基本不等式、对数的运算性质。

15。

正四面体OABC ，其棱长为1．若OC z OB y OA x OP ++=（1,,0≤≤z y x ），且满足1≥++z y x ，则动点P 的轨迹所形成的空间区域的体积为 ▲ ．
三、解答题：
(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．(本题满分14分）
已知函数)]8
cos()8
)[sin(8
sin(21)(πππ+-++-=x x x x f ．
(I ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）当]12
,2[ππ-∈x ，求函数)8
(π+x f 的值域．
【答案】(I ）π；（II ）]2,1[-。

【解析】
试题分析:（I ）利用二倍角公式和降幂公式化简得到()ϕω+=x A y sin 的形
式，再利用周期公式ω
π2=T 计算即可；（II)首先得出函数)8
(π
+x f 的解析式，再求出定义域根据函数的单调性计算函数在值域即可。

试题解析：（I ）)]8
cos()8
)[sin(8
sin(21)(πππ+-++-=x x x x f
)8cos()8sin(2)8(sin 212π
ππ+⋅+++-=x x x
)42sin()42cos(π
π+++=x x
x x x 2cos 2)2
2sin(2)442sin(2=+=++=π
ππ……5分
所以)(x f 的最小正周期ππ==2
2T 。

……7分
(Ⅱ）由（I ）可知)4
2cos(2)8(2cos 2)8(πππ+=+=+x x x f 。

(9)
分
]12
,2[π
π-∈x ，]125,43[42πππ-∈+∴x ，……11分
]1,2
2
[)42cos(-∈+∴πx ，
∴]2,1[)8
(-∈+
π
x f .
所以，)8
(π+x f 的值域为]2,1[-.……14分
考点：三角恒等变换、三角函数的性质.
17．（本题满分15分）
在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ,ABC ∆是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上,且2=PN ．
(I ）求证://MN 平面PDC ;
（Ⅱ）求二面角B PC A --的余弦值．
【答案】(I)略；（II)7
7
.
【解析】
A
N M
B
D C
P （第17题）
试题分析：(1）根据条件得出MD
BM NP
BN =，即可说明PD MN //,进而证明直
线MN 与平面PDC 平行;(2)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系,准确写出相关点的坐标，从而将几何问题转化为向量问题。

其中灵活建系是解题的关键。

（3）求出平面APC 与平面BPC 的法向量，计算法向量夹角的余弦值即可得到二面角B PC A --的余弦值. 试题解析:（Ⅰ)在正三角形ABC 中，32=BM 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点,AC DM
⊥，
所以CD AD =，︒=∠120CDA ，所以3
32=DM ，
所以1:3:=MD BM ……4分
在等腰直角三角形PAB 中，24,4===PB AB PA ， 所以1:3:=NP BN ，MD BM NP BN ::=,所以PD MN //。

又⊄MN 平面PDC ,⊂PD 平面PDC ，所以//MN 平面PDC 。

……7分 (Ⅱ)因为︒=∠+∠=∠90CAD BAC BAD ，
所以AD AB ⊥，分别以AP AD AB ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以)4,0,0(),0,3
3
4,
0(),0,32
,2(),0,0,4(P D C B ．
由（Ⅰ）可知，)0,3
34
,4(-=DB 为平面PAC 的法向量……10分
)4,0,4(),4,32,2(-=-=PB PC ，
设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x n =，
则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
0PB n PC n ,即⎩⎨⎧=-=-+04404322z x z y x , 令3=z ,则平面PBC 的一个法向量为)3,3,3(=n ……13分
设二面角B PC A --的大小为θ， 则7
7
|
|||cos =⋅=DB n θ, 所以二面角B PC A --余弦值为7
7。

……15分
考点:线面平行的判断及其二面角.
18．（本题满分15分）
已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆a y x =+22
3相交于B A 、两个不同的点，记l
与y 轴的交点为C ． (Ⅰ）若1=k ，且2
10
||=
AB ，求实数a 的值；
（Ⅱ）若CB AC 2=，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程． 【答案】（I ）2；（II ）2
3
，5322=+y x 。

【解析】
试题分析：(1）当1=k 时，联立直线与椭圆的方程表示出弦长构造方程即可得到实数a 的值；
（2)根据条件CB AC 2=以及韦达定理表示三角形的面积，然后利用基本不等式即可得到结论.
试题解析：设),(),,(2
2
1
1
y x B y x A ．
（Ⅰ）41,21012431
2121222a x x x x a x x a y x x y -=-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=,
22
10
432||2||21=⇒=-
⋅=-=a a x x AB ．……5分
（Ⅱ）012)3(31
2222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=a kx x k a
y x kx y ,
2
2
122131,32k a
x x k k x x +-=+-
=+⇒，……7分
由212
2
1
1
2)1,(2)1,(2x x y
x y x CB AC -=⇒-=--⇒=,代入上式得：
2
2
22213232k k
x k k x x x +=⇒+-
=-=+，……9分
23323|||
|333||3||23||||212221=
≤+=+==-=
∆k k k k x x x OC S AOB ,……12分
当且仅当32
=k 时取等号，此时3
2)3(422,322
222
22122-=+-=-=+=k k x x x k k x ． 又6
13122
1a
k a x
x -=+-=
，因此53
26
1=⇒-=-a a ．
所以，AOB ∆面积的最大值为2
3
，此时椭圆的方程为5322=+y x ．……15分
考点：椭圆的性质. 19．（本题满分15分） 设二次函数),()(2
R b a c bx ax x f ∈++=满足条件:①当R x ∈时，)(x f 的最大值为
0,且)3()1(x f x f -=-成立；②二次函数)(x f 的图象与直线2-=y 交于A 、B 两
点,且4||=AB ．
(Ⅰ)求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）求最小的实数)1(-<n n ，使得存在实数t ,只要当]1,[-∈n x 时,就有
x t x f 2)(≥+成立．
【答案】（1）2
)1(2
1)(--=x x f ；（2)4=t 。

【解析】
试题分析：（1)根据条件得出函数的对称轴、最大值以及AB 的长度由
此列出方程组得到
相应的参数值即可;（2)解不等式转化成恒成立问题，然后构造函数
t
t t g 21)(---=判
断单调性即可得到要求结论。

试题解析：(Ⅰ）由)3()1(x f x f -=-可知函数)(x f 的对称轴为1=x ，……2分
由)(x f 的最大值为0，可假设)0()1()(2
<-=a x a x f 。

令2)
1(2
-=-x a ，a x 2
1-±
=,则易知422=-a
，21-=a .
所以2
)1(2
1)(--=x x f .……6分
（Ⅱ)由x t x f 2)(≥+可得，x t x 2)
1(2
12
≥+--，即0)1()1(222≤-+++t x t x ,
解得t t x t t 2121+--≤≤---.……8分
又x t x f 2)(≥+在]1,[-∈n x 时恒成立,可得⎪⎩⎪⎨
⎧
-≥+--≤---)
2(121)
1(2
1t t n
t t ，
由（2）得40≤≤t 。

……10分
令t t t g 21)(---=，易知t t t g 21)(---=单调递减，所以9)4()(-=≥g t g ， 由于只需存在实数t 故9-≥n ，则n 能取到的最小实数为9-。

此时，存在实数4=t ，只要当]1,[-∈n x 时,就有x t x f 2)(≥+成立．……15分 考点：二次函数的性质及其恒成立问题. 20。

(本题满分15分） 在数列}{n
a 中，2,2,311
+=+==-n n n n a b a a a
，.,3,2 =n
（Ⅰ）求3
2
,a a ，判断数列}{n
a 的单调性并证明； (Ⅱ)求证：),3,2(|2|4
1
|2|1 =-<
--n a a
n n ； (III)是否存在常数M ，对任意2≥n ,有M b b b n
≤ 3
2？若存在,求出M 的值;
若不存在，请说明理由． 【答案】（1）25,532
+=
=a a
;(2)略; （3）略.
由
2)2)(2(1-=+--n n n a a a 易知，2-n a 与21--n a 同号，由于02321>-=-a 可知，02>-n a 即2>n
a
，42>+∴n a ，4
1
21<+∴
n a ,所以|2|41|2|1-<--n n a a 得证。

……10分
（III ） 2)2)(2(1-=+--n n n a a a ,22
21--=
+-n n n a a a ，即2
21--=-n n n a a b ，
则2
1
222222221132213
2-=
--=--⋅⋅--⋅--=
-n n n n n
a a a a a a a a a b
b b 。

……13分
由|2|41
|2|1-<
--n n a a
可知, 111332214
1
|2|41|2|41|2|41|2|41|2|-----=-<<-<-<-<-n n n n n n a a a a a ，
所以
14|2|1->-n n a ，因为2>n a ，所以142
1
->-n n a .当∞→n 时,∞→-14n ，故不存在
常数M ，对任意2≥n ，有M b
b b n
≤ 3
2成立. ……15分
考点：数列与不等式的综合应用。