2023年扬州大学研究生自主命题 840数学分析与高等代数综合考试真题

扬州大学
2023 年硕士研究生招生考试初试试题（ A 卷）
科目代码840 科目名称数学分析与高等代数综合满分150 分
注意：①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
⎪ ⎝ ⎭ 科目代码 840 科目名称 数学分析与高等代数综合 满分 150 分
⎧ x 1 + x 2 + λx 3 = -2 二.（15 分）已知线性方程组 ⎪ x + λx + x = -2 ，其中λ是参数。

⎨ 1 2 3 ⎪λx + x + x = λ- 3 ⎩ 1 2 3
（1） 当λ满足什么条件时，该方程组有唯一解？
（2） 若该方程组有无穷多解，则λ取值是多少？求出此时方程组的通解（请用特解和导出方程组的基础解系表示）。

三.（15 分）现有向量组 I ：α = (0,1, -1)T ，α = (a , 2,1)T ，α = (b ,1, 0)T ，以及向量组 II ：
1 2 3
β = (1, 2, -3)T ， β = (3, 0,1)T ， β = (9, 6, -7)T ，其中a ， b 是实数。

1 2 3
（1） 求向量组 II 的秩。

（2） 若向量组 I 线性相关，且α3 可以由向量组
II 线性表示，求a ， b 的值。

⎛ -1 1 0⎫
四.（15 分）已知矩阵 A = -4 3 0⎪ ， A * 表示 A 的伴随矩阵。

1 0 2 ⎪
（1） 求 A 的特征值和特征向量。

（2） 求 A * 的迹与行列式。

（3） 判断 A 是否相似于对角矩阵？为什么？
⎛ a 2 -4⎫ ⎛ 1 ⎫ 五.（15 分）已知实对称矩阵 A = 2 a -1⎪ 有特征向量β= 4 ⎪ 。

⎪ ⎪ -4 -1 25 ⎪ 2 ⎪
⎝ ⎭ ⎝ ⎭
（1） 求a 的值以及β对应的特征值。

（2） 请判断实二次型 f ( X ) = X T AX 是否正定（须写明理由）。

（3） 如果非零向量γ与β正交，那么γ一定是 A 的特征向量吗？如果是，证明这个结论； 如果不是，给出反例。