函数的概念与基本初等函数章节测试

函数的概念与基本初等函数章节测试
一、选择题： 1．函数1
1
(1)
y x --=-的定义域是（ ） A ．{}0x x R x ∈≠且 B ．
{}
1x x R x ∈≠且
C ．
{}01x
x R x x ∈≠≠或或 D ．
{}
01x x R x x ∈≠≠且且
2．
-1)=a ，则
+1)= （ ）
A ．-a
B ．1
a C ．a-1 D ．1-a 3．关于x 的方程|2|
|2|
9
43
0x x a -----⋅-=有实根则a 的取值范围是（ ）
A ． a 4≥
B ． 40a -≤≤
C ．30a -≤<
D ． a<0 4
A ．(0,20]
B ．[2,5]
C ．{2,3,4,5}
D ．N
5．函数f(x)的图象与g(x)=
)3
1
(x
的图象关于直线y=x 对称，则f(2x-x2)的单调增区间是（ ）
A ．
[)1,+∞
B ．
(],1-∞
C ．
(]0,1
D ．
[)1,2
6．二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x)，且f(x)=0有两个实根
x 1
、x 2
，则x 1
+x 2
等于（ ）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．不能确定
7．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
8．设
4()lg(101)()2
x
x
x
b f x ax g x a b
-=++=
+是偶函数，是奇函数，那么的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．－
21 D ．2
1
9．设函数
1()8(0)
3
()0)x x f x x -<=≥⎧⎪⎨⎪⎩，若f （a ）＞1，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(2,1)-
B ．(,2)-∞-∪(1,)+∞
C ．（1，+∞）
D ．(,1)-∞-∪（0，+∞） 10．R 上的函数y=f(x)不恒为零，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x ＞0时，f(x)＞1，则当x ＜0时，一定有（ ）
A ．f(x)＜－1
B ．－1＜f(x)＜0
C ．f(x)＞1
D ．0＜f(x)＜1
11.若
210
()((6))x x f x f f x -≥=+⎧⎨
⎩ x<10，则f(5)的值等于（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
12．已知函数f(x)
满足2
f(
)=log x+|x|f(x)的解析式是（ ）
A ．
x log
2
B ．-x log 2
C ．2-x
D ．x-2
二、填空题：
13．已知函数(3)f x -的定义域是[2，3]，若
12
()[log (3)]
F x f x =-，则函数()F x 的定义域是
______________．
14．已知函数
9
()93x
x
f x =
+，则123456()()()()()()777777f f f f f f +++++的值是________ ．
15．设函数
1,0()0,
01,0
x f x x x >==-<⎧⎪⎨⎪⎩，则方程
()
1(21)
f x x x +=-的解为_________________ ．
16．设函数1
,221,0,()0x
x f x x x --≤=>⎧⎪⎨⎪⎩若0()1f x >，则
x 0
的取值范围是 ____________________．
三、解答题：
17．设x ∈[2，4]，函数2
2
11()log ()log ()
a a
f x a x ax =⋅的最大值为0，最小值为1
8-
，求a 的值．
18．设
1()3,(18)2,()34
x ax x
f x f a
g x -==+=-的定义域是区间[0,1],
(1)求g(x)的解析式； (2)求g(x)的单调区间； (3)求g(x)的值域．
19．(1)已知x ∈[-3,2]，求f(x)=111
42
x
x
-+的最小值与最大值．
(2)已知函数2
33
()x x f x a
-+=在[0,2]上有最大值8,求正数a 的值．
(3)已知函数221(0,1)
x
x
y a a a a =-->≠在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值．
20．定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x 、y ∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f(1x y
xy ++)． (1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)如果当x ∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数； 21．
已知二次函数
2
()(),,,f x ax bx c g x bx a b c R
=++=-∈和一次函数其中且满足
,a b c >>(1)0f =．
（1）证明：函数()()f x g x 与的图象交于不同的两点A ，B ；
（2）若函数()()()[2,3]F x f x g x =-在上的最小值为9，最大值为21，试求b a ,的值；
（3）求线段AB 在x 轴上的射影A 1
B 1
的长的取值范围．
22． 在距A 城50km 的B 地发现稀有金属矿藏，现知由A 至某方向有一条直铁路AX ，B 到该铁路的距离为30km ，为在AB 之间运送物资，拟在铁路AX 上的某点C 处筑一直公路通到B 地．已知单位重量货物的铁路运费与运输距离成正比，比例系数为1
k (1
k ＞0); 单位重量货
物的公路运费与运输距离的平方成正比，比例系数为2
k (2
k ＞0)．设单位重量货物的总运费为
y 元，AC 之间的距离为xkm ． 将y 表示成x 的函数；(2)若1220k k ，则当x 为何值时，单位重量货物的总运费最少．并求
出最少运费．
函数的概念与基本初等函数章节测试答案
1.D;
2.D;
3.C;
4.C;
5.D;
6.C;
7.A;
8.D;
9.B; 10.D; 11.B; 12.B.
13. 5
[2,]
2; 14.3; 15. 0，2
或－14+; 16.（-∞，-1）∪（1，+∞）;
17.
2
2
11()log ()log ()a a f x a x ax =⋅11(log 2)(log )22a a x x =----2131
(log )228a
x =+-,因x ∈[2，4], 函数的最小值为1
8-
,所以0<a<1, 而函数的最大值为0,只有当x=2或4时取得,若x=2,由
2
1
3
1(log 2)0
228a +-=得log 212a =--或,
解得
122a =或,
但2a = 时,
由2
30
2
x +
=得
3
42[2,4]x =∉,舍去； 若x=4, 由21
31(log 4)0228a
+-=得log 412a =--或,解得
11
42a =或,但14a =
时,由
14
3log 0
2
x +
=得8[2,4]x =∉,舍去;综上所述,
12a =
．
18.(1)因
1
3()log f x x
-=,得
3log 182
a =+,从而3log 2a =,3
log 2()(3)4x x g x =-24x x
=-; (2)记
2[1,2]x
t =∈,得
2
211()24y t t t =-+=--+
在[1,2]上单调递减,故g(x)在区间[0,1] 上单调递减; (3)由(2)得g(x)min=g(1)=-3,g(x)max=g(0)=0, 值域是[-3,0]．
19. (1)解：f(x)=2111314212
1(2)4
2
24x x x
x x
x
-----+=-+=+=-+, ∵x ∈[-3,2], ∴128
4x
-≤≤．则
当2-x=21,即x=1时,f(x)有最小值43
；当2-x=8,即x=-3时，f(x)有最大值57．
(2)解:设
2
233()33()24g x x x x =-+=-+,当∈x [0,2]时,max min 3()3,()4g x g x ==
, 当0<a<1时,3
4
8,16a a ==,矛盾;当a>1时,3
8,2a a ==.综上所述,a=2．
(3)原函数化为
2
(1)2
x y a =+-,当a>1时，因[1,1]x ∈-,得1[,]x a a a -∈,从而2
(1)214,3a a +-==,
同理, 当0<a<1时,
13a =
．
20.(1)证明：令x ＝y ＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，故f(0)＝0.
令y ＝－x ，则f(x)+f(－x)=f(2
1x x
x --)=f(0)=0.∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
(2)证明：设x1＜x2∈(－1，1)，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f(
12
12
1x x x x --).
∵x1＜x2∈(－1，1)，∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.因此12
12
1x x x x --＜0，∴f(
12
12
1x x x x --)＞0，
即f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)在(－1，1)上是减函数．
21. （1）由
22
()()20,
(1)0
g x bx f x ax bx c ax bx c f a b c =-=++++==++=与得，
2
,0,0,40,a b c a c b ac >>∴><∆=->从而即函数()()f x g x 与的图象交于不同两点A ，B ；
（2）,,,2,2,
b c a b a b c a c a b a b a
=-->>>=-->--
<即得知函数F （x ）在[2，3]上为增函数，(2)339,(3)8521,2,1;F a b F a b a b =+==+===解得
（3）设方程122
12122()20,,b x x a F x ax bx c x x c x x a +=-=++==⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩的两根为得
22
211121213||()44[()],24c A B x x x x a =+-=++1,,,(2,),
2
c a b c b a c a a c c a >>=-->-->∈--由得
设
2
21113||()4[()],24c c A B h a a ==++的对称轴为11,()(2,)
22c c x h a a =-∈--在上是减函数2
1111||(3,12),||(3,23).
A B A B ∴∈∈得
22. (1)过点B 作BD ⊥AX ，D 为垂足，由于AC ＝x ，AB ＝50，BD ＝30
所以AD ＝40，CD ＝40－x ， 由勾股定理得2
2
2
2
2
(40)
30
BC CD BD
x ．根据题意得：
2
2
12((40
)
30)
y
k x k x ，
即2
22
12(80)2500y
k x
k k x
k (
0x
).
(2)因为
12
20k k ，所以y
2
222
602500k x
k x k ,当
22
6030
2k x
k 时，min
2
1600y
k =.
答：当x =30km 时，单位重量货物的总运费最小，最小值为16002k 元．。