【志鸿优化】高三数学(理)一轮课件8.6 空间向量及其运算
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a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 cos<a,b>=
������ 1 ������1 +������ 2 ������2 +������ 3 ������3
2 +������ 2 +������ 2 · ������ 2 +������ 2 +������ 2 ������ 1 2 3 1 2 3
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2.已知向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( A.a∥c,b∥c C.a∥c,a⊥b 答案:C B.a∥b,a⊥c D.以上都不对
命题分析
高考中以选择题、填空题为主, 重在考查空间两点间距离公式的 应用,向量的概念、数量积及其 运算性质,运用空间向量的线性 运算及数量积考查点共线、点共 面、线共面问题.
考点基础
基础梳理
1-234源自51.中点坐标公式 x=
������ +������ ������1 +������2 ������ +������ ,y= 1 2,z= 1 2. 2 2 2
若点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB 的中点 M(x,y,z)满足
2.空间两点间的距离公式 空间中的两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离 |P1P2|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 .
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4.空间向量的数量积及其运算律 (1)数量积及其相关概念 ①两个向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作������������=a,������������ =b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>,其范围是 0≤ <a,b>≤ π.若<a,b>= ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. ②向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量 a,b 的数量积,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos<a,b>. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.
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1.下列命题中,真命题是(
)
A.分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共 面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反 C.若向量������������, ������������ 满足|������������|>|������������ |,且������������ 与������������ 同向,则������ ������ > ������������ D.若两个非零向量������������与������������ 满足������������ + ������������ =0,则������������ ∥ ������������ 答案:D 解析:A 错.∵空间中任意两个向量平移之后可共面,∴空间任意两个向量均共面. B 错.|a|=|b|仅表示 a 与 b 的模相等,与方向无关. C 错.∵空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比较,∴没有������������ > ������������ 这种说法. D 对.∵������������ + ������������ =0,∴������������=-������������ . 因此������������与������������ 共线.故������������ ∥ ������������正确.
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π 2
考点基础
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5.向量的坐标运算
向量和 向量差 数量积 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) a· b=a1b1+a2b2+a3b3 续表 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 共线 垂直 夹角公式
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3.空间向量的有关概念
语言描述 共线向量 (平行向 量) 共面向量 共线向 量定理 共面向 量定理 空间向量 基本定理 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 平行于同一个平面的向量. 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存在 λ ∈R,使 a=λ b 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面⇔存在唯一的 有序实数对(x,y),使 p=xa+yb. (1)定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组{x,y,z}使得 p=xa+yb+zc. (2)推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间一点 P 都存在唯 一的有序数组{x,y,z}使������������=x������������+y������������+z������������ 且 x+y+z=1.
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温馨提示
对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解.空 间向量基本定理是适当选取基底的依据,共线向量定理和共面向量定理是证明 三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具,三个定理保证了由向量作 为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”.
第 6讲
空间向量及其运算
考纲考向
考纲展示 1.空间直角坐标系 (1)理解空间直角坐标系,会用空间直角坐标 表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 2.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基 本定理及其意义,理解空间向量的正交分解 及其坐标表示. (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 cos<a,b>=
������ 1 ������1 +������ 2 ������2 +������ 3 ������3
2 +������ 2 +������ 2 · ������ 2 +������ 2 +������ 2 ������ 1 2 3 1 2 3
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2.已知向量 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( A.a∥c,b∥c C.a∥c,a⊥b 答案:C B.a∥b,a⊥c D.以上都不对
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高考中以选择题、填空题为主, 重在考查空间两点间距离公式的 应用,向量的概念、数量积及其 运算性质,运用空间向量的线性 运算及数量积考查点共线、点共 面、线共面问题.
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1-234源自51.中点坐标公式 x=
������ +������ ������1 +������2 ������ +������ ,y= 1 2,z= 1 2. 2 2 2
若点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 AB 的中点 M(x,y,z)满足
2.空间两点间的距离公式 空间中的两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离 |P1P2|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 .
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4.空间向量的数量积及其运算律 (1)数量积及其相关概念 ①两个向量的夹角 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作������������=a,������������ =b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>,其范围是 0≤ <a,b>≤ π.若<a,b>= ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b. ②向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量 a,b 的数量积,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos<a,b>. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.
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1.下列命题中,真命题是(
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A.分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共 面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反 C.若向量������������, ������������ 满足|������������|>|������������ |,且������������ 与������������ 同向,则������ ������ > ������������ D.若两个非零向量������������与������������ 满足������������ + ������������ =0,则������������ ∥ ������������ 答案:D 解析:A 错.∵空间中任意两个向量平移之后可共面,∴空间任意两个向量均共面. B 错.|a|=|b|仅表示 a 与 b 的模相等,与方向无关. C 错.∵空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比较,∴没有������������ > ������������ 这种说法. D 对.∵������������ + ������������ =0,∴������������=-������������ . 因此������������与������������ 共线.故������������ ∥ ������������正确.
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向量和 向量差 数量积 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) a· b=a1b1+a2b2+a3b3 续表 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 共线 垂直 夹角公式
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3.空间向量的有关概念
语言描述 共线向量 (平行向 量) 共面向量 共线向 量定理 共面向 量定理 空间向量 基本定理 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 平行于同一个平面的向量. 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存在 λ ∈R,使 a=λ b 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面⇔存在唯一的 有序实数对(x,y),使 p=xa+yb. (1)定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组{x,y,z}使得 p=xa+yb+zc. (2)推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间一点 P 都存在唯 一的有序数组{x,y,z}使������������=x������������+y������������+z������������ 且 x+y+z=1.
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第 6讲
空间向量及其运算
考纲考向
考纲展示 1.空间直角坐标系 (1)理解空间直角坐标系,会用空间直角坐标 表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 2.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基 本定理及其意义,理解空间向量的正交分解 及其坐标表示. (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.