含有绝对值的不等式_高二数学教案_模板

含有绝对值的不等式_高二数学教案_模板
教学目标
（1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法；
（2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法；
（3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法；
（4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。

教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神．
②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点．
三、教学建议
（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例．
（2）课前复习应充分．建议复习：当时
；
；
以及绝对值的性质：
，为证明例1做准备．
（3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论．
（4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨．
（5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论．
（6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神．
教学设计示例
含有绝对值的不等式
教学目标
理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。

教学重点难点
重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。

难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。

教学过程（）
一、复习引入
我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。

当时，则有：
那么与及的大小关系怎样？
这需要讨论当
当
当
综上可知：
我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？
.
当时，有：或.
二、引入新课
由上可知，积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。

那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗？
1．定理探索
和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想
.
怎么证明你的结论呢？
用分析法，要证.
只要证
即证
即证，
而显然成立，
故
那么怎么证？
同样可用分析法
当时，显然成立，
当时，要证
只要证，
即证
而显然成立。

从而证得.
还有别的证法吗？（学生讨论，教师提示）
由与得.
当我们把看作一个整体时，上式逆用可得什么结论？。

能用已学过得的证明吗？
可以表示为.
即（教师有计划地板书学生分析证明的过程）
就是含有绝对值不等式的重要定理，即.
由于定理中对两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢？个实数和的绝对值呢？
亦成立
这就是定理的一个推论，由于定理中对没有特殊要求，如果用代换会有什么结果？（请一名学生到黑板演）
，
用代得，
即。

这就是定理的推论成立的充要条件是什么？
那么成立的充要条件是什么？
.
例1 已知，求证. （由学生自行完成，请学生板演）
证明：
例2 已知，求证.
证明：
点评：这是为今后学习极限证明做准备，要习惯和“配凑”的方法。

例3 求证 .
证法一：（直接利用性质定理）在时，显然成立.
当时，左边
.
证法二：（利用函数的单调性）研究函数在时的单调性。

设，
, 在时是递增的.
又，将，分别作为和，则有
（下略）
证法三：（分析法）原不等式等价于，
只需证，
即证
又，
显然成立.
原不等式获证。

还可以用分析法证得，然后利用放缩法证得结果。

三、随堂练习
1．①已知，求证.
②已知求证.
2．已知求证：
①；
②.
3．求证.
答案：1. 2. 略
3．与同号
四、小结
1．定理. 把、、看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.
2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理及其推论。

3．对要特别重视.
五、布置作业
1．若，则不列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
2．设为满足的实数，那么（）
A．B．
C．D．
3．能使不等式成立的正整数的值是__________.
4．求证：
（1）；
（2） .
5．已知，求证.
答案：1．D 2． B 3．1、2、3
4．
5．
=
注：也可用分析法.
六、板书设计
6.5含有绝对值的不等式（一）
1．复习
2．定理
推论
例1
例2
例3
课堂训练
函数的图象(一)
一、教学目的
1．使学生初步认识函数的图象．
2．使学生了解函数的列表表示法．
3．使学生了解函数的图象表示法．
4．使学生会用描点法画出简单函数的图象．
二、教学重点、难点
重点：介绍函数图象的初步知识．
难点：对于函数图象的认识．
三、教学过程
复习提问
1．一种豆子每千克售2元，写出买豆子的总金额y(元)与所买豆子的数量x(千克)之间的函数关系．(答：y=2x．)
2．在第一题的函数式中，谁是自变量？谁是函数？说出自变量的取值范围．(答：x是自变量，y是x的函数，x可取所有非负实数．)
3．由函数y=2x，填出下表：
(答：下一行：0，1，2，3，4，5，6．)
4．平面直角坐标系是怎样组成的？(答：在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系．)
5．什么是点的横坐标、纵坐标、坐标？(答：平面直角坐标系中一个点A在x轴上的坐标叫横坐标a，点A在y轴上的坐标叫纵坐标b，把a，b合起来，且a在前、b在后：(a，b)就是点A的坐标．)
6．点A的坐标如(5，4)，又可以称作什么？(答：一对有序实数．)
7．坐标平面内的点与有序实数对的关系是什么？(答：一一对应关系．)
新课
1．函数的表示法——列表法．
通过上述1～3个问题的提问及学生的回答，由y=2x及表格，按照函数定义，对于x 的每一个值，y都有唯一的值和它对应．这就告诉我们，上面的表格本身也表示了y与x之间的函数关系．于是我们把这种通过列表表示函数的方法叫列表法．列表法的优点：容易由自变量的值求出对应的函数的值．列表法的缺点：不能把一个函数在自变量取值范围内的所有值都列出来，所以有局部性；或所求的函数值是近似值．
2．通过上述复习提问第3～7题及学生的回答，我们把第3题的表中的x，y值对应地写出来，就得出了一列有序实数对：(0，0)，(0.5，1)，(1，2)，(1.5，3)，…．这里强调学生要进一步明确“有序”的意义，(1.5，3)，(3，1.5)是不相同的有序实数对．再联系到平面内的点与有序实数对的一一对应关系，于是我们借助平面直角坐标系，就可以把这些有序实数对转化为坐标平面内的点．这样就可以用平面内的图形来表示函数关系．
3．从最简单的函数y=x入手来分析及画出其图象．
(1)让学生完成x与y的对应值表．
(2)在有坐标格的小黑板上，把表中给出的7个有序实数对作为点的坐标，师生一道描出这7个点．
(3)分析函数y=x的特点：自变量与函数的值相等．它的任意一对对应值都可以表示成(m，m)的形式(m可取全体实数)．借助坐标平面可知，表示(m，m)的点就是到x轴的距离与到y轴的距离相等的点．我们把x轴与y轴所划分的坐标平面的四个角叫象限角，依次有第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角．由平面几何知识可知，到一个角的两边的距离相等的点，它的轨迹是这个角的平分线．换一句话说，到这个角两边距离相等的点，都在这个角的平分线上；反之，在这个角的平分线上的所有的点，到这个角的两边距离都相等．于是函数y=x的整个图象就可以画出了．它是第一象限角和第三象限角的两个角的平
分线，是一条直线．
4．对于函数图象要辩证地双向分析：图象上每一个点的坐标，都是这个函数的一对对应值；反之，每个坐标是这个函数的一对有序的对应值的点，都在这个函数的图象上．5．函数的表示法——图象法．我们用图象来表示一个函数的方法，叫图象法．函数的图象法优点：形象、直观．缺点：求得的函数值是近似的．
小结
1．画函数图象的方法步骤：
(1)根据函数的解析式列出函数对应值表．
(2)用这些对应值作为点的坐标，在坐标平面内描点．
(3)把这些点用平滑曲线连结起来，可得函数图象．
2．函数的三种表示法：(1)解析法，(2)列表法，(3)图象法．
练习；选用课本练习(只要求列表、描点．)
补充例题
1．解答课本本章题图中的两个问题．
2．画出函数y=3x的图象．(只要求列表、描点．)
作业：选用课本习题(只填表、描点，不要求连线．)
四、教学注意问题
1．注意双向思维的渗透与训练．比如，由函数的关系式可得函数图象；反之，由函数的图象也可表示函数关系，等等．
2．注意渗透转化思想方法．比如，把有序实数对转化为坐标平面内的点等等．
3．注意精微，要善于区分邻近概念，比如“实数对”与“有序实数对”虽两字之差，但意义不同．
教学目标
（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．
（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．
（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．
（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．
（5）进一步理解数形结合的思想方法．
教学建议
教材分析
（1）知识结构
曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．
（2）重点、难点分析
①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．
②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．
教法建议
（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．
（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．
（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：
设表示曲线上适合某种条件的点的集合；
表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．
可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即
（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．
这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即
文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程
由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”
（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．
教学设计示例
课题：求曲线的方程（第一课时）
教学目标：
（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．
（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．
（3）初步掌握求曲线方程的方法．
（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．
教学重点、难点：求曲线的方程．
教学用具：计算机．
教学方法：启发引导法，讨论法．
教学过程（）：
【引入】
1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．
学生思考并回答．教师强调．
2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．
对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．
（2）通过方程，研究平面曲线的性质．
事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．
【问题】
如何根据已知条件，求出曲线的方程．
【实例分析】
例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．
首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．
解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），
由斜率关系可求得l的斜率为
于是有
即l的方程为
①
分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？
（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．
证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．
设是线段的垂直平分线上任意一点，则
即
将上式两边平方，整理得
这说明点的坐标是方程的解．
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
设点的坐标是方程①的任意一解，则
到、的距离分别为
所以，即点在直线上．
综合（1）、（2），①是所求直线的方程．
至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合
由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为
将上式两边平方，整理得
果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．
让我们用这个方法试解如下问题：
例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．
分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．
【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：
分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：
首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；
（2）写出适合条件的点的集合
；
（3）用坐标表示条件，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．
上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．
下面再看一个问题：
例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．
【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合
由距离公式，点适合的条件可表示为
①
将①式移项后再两边平方，得
化简得
由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．
【练习巩固】
题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．
分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．
根据条件，代入坐标可得
化简得
①
由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为
【小结】师生共同总结：
（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？
（2）如何求曲线的方程？
（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？
【作业】课本第72页练习1，2，3；
【板书设计】
§7．6 求曲线的方程
坐标法：
解析几何：
基本问题：
（1）
（2）
例1：
例2：
求曲线方程的步骤：
例3
练习：
小结：
作业：
教学目标
1．掌握分析法证明不等式；
2．理解分析法实质——执果索因；
3．提高证明不等式证法灵活性.
教学重点分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法启发引导式
教学活动
（一）导入新课
（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．
（学生活动）回答和思考教师提出的问题．
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？
［问题2］能否用比较法或综合法证明不等式：
[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）
设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．（二）新课讲授
【尝试探索、建立新知】
（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．
［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？
［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？
［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？
［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．
[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）
设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．
【例题示范、学会应用】
（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．
（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．。