高考数学总复习 课时提升作业(五十七) 1相似三角形的判定及有关性质 文 新人教A版选修41

课时提升作业(五十七)
相似三角形的判定及有关性质
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD ⊥AB 于点D,且AD=3DB,设∠COD=θ,则tan 22
θ=( )
【解析】选A.设半径为R,则3R AD R,BD ,22=
=, 由射影定理得:CD 2=AD ·BD, 则3CD R,23π=
θ=从而, 故tan 2123
θ=. 2.在平行四边形ABCD 中,E 为CD 上一点,DE ∶EC=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F,则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF =( )
A.4∶10∶25
B.4∶9∶25
C.2∶3∶5
D.2∶5∶25
【解析】选A.由已知易得△DEF ∽△BAF,且相似比为2∶5,故S △DEF ∶S △ABF =4∶25. 而△BED 与△BEA 有同底BE,高之比为2∶5,
故S △BED ∶S △BEA =2∶5,
即(S △DEF +S △BEF )∶(S △ABF +S △BEF )=2∶5,
由比例的性质可得:S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF =4∶10∶25.故选A.
3.如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 中点,F 是AD 上一点,且AF=
14
AD,EG ⊥CF 于G,则下列式子中不成立的是( )
A.EF·EC=EG·FC
B.EC2=CG·GF
C.AE2+AF2=FG·FC
D.EG2=GF·GC 【解析】选B.由题意,正方形ABCD中,
E是AB中点,F是AD上一点,
且AF=1
4
AD,所以△AEF∽△BCE,
所以∠AEF=∠BCE,所以∠FEC=90°.
因为EG⊥CF,所以EF·EC=EG·FC,AE2+AF2=EF2=FG·FC,EG2=GF·GC,即A,C,D正确,故选B.
二、填空题(每小题6分,共18分)
4.(2015·韶关模拟)如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为1cm2,则平行四边形ABCD的面积为cm2.
【解析】因为AE∥CD,所以△AEF∽△CDF,
所以AE∶CD=AF∶CF,
因为AE∶EB=1∶2,
所以AE∶AB=AE∶CD=1∶3,
所以AF∶CF=1∶3,
所以AF∶AC=1∶4,
所以△AEF与△ABC的高的比为1∶4,
所以△AEF与△ABC的面积的比为1∶12,
所以△AEF与平行四边形ABCD的面积的比为1∶24.
因为△AEF的面积等于1cm2,
所以平行四边形ABCD的面积等于24cm2.
答案:24
5. (2015·永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延
长线于E,交DA 的延长线于F,则AF= .
【解析】设AE=x,
因为∠BAC=120°,所以∠EAB=60°.
又AE ⊥EB,所以AB=2x,BE=3x, 所以AE
x 1
BE 3x 3==.
在Rt △AEF 与Rt △BEC 中,
∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,
所以△AEF ∽△BEC,所以AF AE
BC BE =,
所以AF=4×143
33=.
答案: 43
3
6.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC=90°,对角线AC ⊥BD 于P 点,若
AD ∶BC=1∶2,则BD ∶AC 的值是 .
【解析】因为AD ∥BC,
AD ∶BC=1∶2, 所以PA
PD
1
PC PB 2==.
令PA=t,那么PC=2t.
因为∠ABC=90°,AC ⊥BD,
所以PB 2=PA ·PC=2t 2,
所以PB=2t,PD=22t, 22t t BD 22,BD AC 22.AC t 2t 2
+===+所以即∶∶ 答案: 2∶2
三、解答题(每小题16分,共64分)
7.(2015·银川模拟)如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,E 是BD 的中点,AE 的延长线交BC 于
F.
(1)求BF FC
的值. (2)若△BEF 的面积为S 1,四边形CDEF 的面积为S 2,求S 1∶S 2的值.
【解析】(1)过点D 作DG ∥BC,并交AF 于G 点
,
因为E 是BD 的中点,所以BE=DE.
又因为∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG,
所以△BEF ≌△DEG,则BF=DG,
所以BF ∶FC=DG ∶FC.
又因为D 是AC 的中点,则DG ∶FC=1∶2,
则BF ∶FC=1∶2,即BF 1FC 2
=. (2)若△BEF 以BF 为底,△BDC 以BC 为底,
则由(1)知BF ∶BC=1∶3,
又由BE ∶BD=1∶2可知h 1∶h 2=1∶2,
其中h 1,h 2分别为△BEF 和△BDC 的高,
BEF 12BDC S 111,S S 15.S 326
=⨯==则则∶∶
8.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,且AB=2CD,E,F 分别是AB,BC 的中点.EF 与BD 相交于点M.
(1)求证:△EDM ∽△FBM.
(2)若DB=9,求BM.
【解析】(1)因为E 是AB 的中点,所以AB=2EB,
因为AB=2CD,所以CD=EB.
又AB ∥CD,所以四边形CBED 是平行四边形.
所以CB ∥DE,所以DEM BFM,EDM FBM,∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
所以△EDM ∽△FBM.
(2)由(1)知DM DE BM BF
=, 因为F 是BC 的中点,所以DE=2BF, 所以DM=2BM.所以BM=
13DB=3. 9.如图,AD,BE 是△ABC
的两条高,DF ⊥AB,垂足为F,交BE 于点G,交AC 的延长线于H,求证:DF 2
=GF ·HF.
【证明】在△AFH 与△GFB 中,
因为∠H+∠BAC=90°,
∠GBF+∠BAC=90°,
所以∠H=∠GBF.
因为∠AFH=∠BFG=90°,所以△AFH ∽△GFB,
所以HF AF BF GF
=,
所以AF·BF=GF·HF.
因为在Rt△ABD中,FD⊥AB,所以DF2=AF·BF.
所以DF2=GF·HF.
10.(2015·郑州模拟)如图,在锐角三角形ABC中,D为C在AB上的射影,E为D在BC上的射影,F
为DE上一点,且满足EF AD FD DB
=
,
(1)证明:CF⊥AE.
(2)若AD=2,CD=3,DB=4,求tan∠BAE的值.
【解析】(1)设CF与AE交于点G,连接DG,如图
.
EF AD ED AB
,,
FD DB FD DB
CD DB
CDE DBE,.
DE BE
CD AB
,
FD BE
==
=
=
因为所以
又∽所以
于是有
又因为∠CDF=∠ABE,所以△CDF∽△ABE,
所以∠DCG=∠DAG,所以A,D,G,C四点共圆.
从而有∠AGC=∠ADC=90°,所以CF⊥AE.
(2)在Rt△CEF中,因为CF⊥AE,
所以∠ECF=∠AED,
因为CD=3,DB=4,CD⊥AB,
所以BC=5,DE=
12
5
,
2EF AD 4,EF ,FD DB 5
9CD CE CB,CE ,5
44tan ECF ,tan DCB ,93
442439tan DCF ,16
43127
24
tan BAE .
43====∠=∠=-∠==+∠=又因为
所以由知所以又所以故。