2017-2018学年高中数学(选修2-3)课时跟踪检测(十)事件的相互独立性含答案

课时跟踪检测(十)事件的相互独立性
一、选择题
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( ）
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
解析：选A 由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故事件A与B,A与C均相互独立,且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥,故选A。

2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为（）
A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!
解析：选D 设A i(i＝1,2）表示继续比赛时，甲在第i局获胜,B 事件表示甲队获得冠军．
法一:B＝A1＋错误!1A2,故P（B）＝P(A1）＋P(错误!1)P（A2）＝错误!＋1
×错误!＝错误!。

2
法二：P（B)＝1－P(错误!1错误!2)＝1－P（错误!1）P(错误!2)＝1－错误!×错误!＝错误!。

3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A）是( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!D。

错误!
解析：选D 由P（A错误!)＝P(B错误!)，得P(A）P（错误!)＝P（B)P(错误!)，即P（A）［1－P（B）］＝P（B）［1－P（A）］，∴P（A）＝P(B)，又P(错误!错误!)＝错误!，
则P（错误!）＝P（错误!）＝错误!.∴P(A)＝错误!。

4.荷花池中,有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误!
解析：选A 青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径．第一条：
按A→B→C→A,P1＝错误!×错误!×错误!＝错误!；第二条:按A→C→B→A，P2＝错误!×错误!×错误!＝错误!,所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝错误!＋错误!＝错误!.
5．在如图所示的电路图中，开关a，b,c闭合与断开的概率都是错误!,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ）
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
解析：选B 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB C∪A错误!C,且A,B,C相互独立，ABC,AB错误!，A错误!C互斥，所以P（E）＝P(ABC∪AB错误!∪A错误! C)
＝P（ABC）＋P（AB错误!）＋P（A错误!C）
＝P(A)P(B)P（C)＋P（A)P（B）P（错误!)＋P(A)P(错误!)P（C)
＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!.
二、填空题
6．已知P(A）＝0.3,P（B)＝0。

5，当事件A，B相互独立时，P （A∪B）＝________，P(A|B）＝________.
解析:因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P（A)＋P(B）－P
（A）·P（B）＝0。

3＋0。

5－0.3×0。

5＝0。

65，P(A｜B)＝P（A)＝0。

3.
答案:0。

65 0.3
7．甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题为合格．则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为__________．
解析:设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B,事件A，B相互独立．
P（A)＝错误!＝错误!,P（B)＝错误!＝错误!.
所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P（A－错误!)＝P(错误!)（错误!）＝错误!错误!＝错误!,
故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P(错误!错误!）＝1－错误!＝错误!.
答案:错误!
8．同学甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0。

8，0。

6，0。

5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲
得分不低于300分的概率是________．
解析：设“同学甲答对第i个题”为事件A i(i＝1，2，3)，则P （A1）＝0。

8，P(A2）＝0。

6,P(A3）＝0。

5，
且A1，A2，A3相互独立,同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1错误!2A3∪错误!1A2A3发生，
故所求概率为
P＝P(A1A2A3∪A1错误!2A3∪错误!1A2A3）
＝P（A1A2A3)＋P(A1错误!2A3)＋P（错误!1A2A3)
＝P(A1）P(A2）P(A3)＋P（A1）P（错误!2)P（A3)＋
P（错误!1）P(A2）P(A3)＝0。

8×0。

6×0。

5＋0.8×0.4×0。

5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
答案:0.46
三、解答题
9．(山东高考节选)甲、乙两人组成“星队"参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对,则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是错误!，乙每轮猜对的概率是错误!；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2）“星队”两轮得分之和X的分布列．
解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，
记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C:“甲第二轮猜对”,
记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋A BCD＋A错误!CD＋AB错误!D＋ABC错误!，由事件的独立性与互斥性，
得P（E)＝P（ABCD)＋P(错误!BCD)＋P（A错误!CD)＋P(AB错误!D)＋P(ABC错误!）＝P(A)P（B）P（C)P(D）＋P（错误!)P(B）P(C）P（D）＋P(A）P（错误!）P(C)P（D）＋P（A）·P（B)P(错误!）P（D）＋P （A）P(B)P(C）P(错误!）＝错误!×错误!×错误!×错误!＋2×错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为2 3。

(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1,2，3，4,6。

由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!，
P (X ＝1）＝2×错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝10144＝572
， P （X ＝2)＝错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!,
P (X ＝3）＝错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!,
P （X ＝4）＝2×错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!，
P （X ＝6)＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!＝错误!。

可得随机变量X 的分布列为
10．（即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为错误!，甲胜丙的概率为错误!，乙胜丙的概率为错误!.
(1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
解：（1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，
则P(A)＝错误!×错误!×错误!＝错误!.
（2)甲队至少得3分有两种情况:两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场"，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B＋C，则P（B＋C）＝P(B）＋P(C)＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

11．A，B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为错误!，服用B有效的概率为错误!.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．
解：（1）设A i表示事件“一个试验组中,服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2。

B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”,i＝0,1,2。

据题意有:P（A0）＝错误!×错误!＝错误!，
P（A1）＝2×错误!×错误!＝错误!，
P（A2)＝2
3
×错误!＝错误!，P(B0)＝错误!×错误!＝错误!，P(B1)＝2×错误!×错误!＝错误!.
所求概率为P＝P（B0A1）＋P（B0A2)＋P(B1A2)＝1
4
×错误!＋错误!×
错误!＋错误!×错误!＝错误!。

（2）所求概率P′＝1－错误!3＝错误!.。