2019高考数学一轮复习 第11章 计数原理和概率 第3课时 二项式定理练习 理

第3课时 二项式定理
1．(2017·衡水中学调研卷)若(x －
1
23x
)n
的展开式中第四项为常数项，则n ＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
答案 B
解析 依题意，T 4＝C n 3
·(－12)3·x n －32－1，∵其展开式中第四项为常数项，∴n －32－1＝0，∴n ＝5.故选B.
2．(2017·长沙一模)(x 2
－1x )6的展开式中( )
A ．不含x 9
项 B ．含x 4
项 C ．含x 2
项 D ．不含x 项
答案 D
解析 T r ＋1＝(－1)r
C 6r x
12－2r x －r
＝(－1)r C 6r x
12－3r
，故x 的次数为12，9，6，3，0，－3，－6.选D.
3．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx＋1)(n∈N *
)的展开式中一次项系数为( ) A ．C n 2
B ．
C n ＋12
C ．C n
n －1
D.12
C n ＋13 答案 B
解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n·（n ＋1）2＝C n ＋12
.
4．(1－x)4
(1＋x)4
的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4
答案 A
解析 原式＝(1－x)4
(1＋x)4
＝(1－x)4
，于是x 的系数是C 41
·(－1)＝－4. 5．(x 2
－x ＋1)10
展开式中x 3
项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30
答案 A
解析 (x 2
－x ＋1)10
＝[x 2
－(x －1)]10
＝C 100
(x 2)10
－C 101
(x 2)9
(x －1)＋…－C 109x 2
(x －1)9
＋C 1010
(x －1)10
，所以含x 3
项的系数为－C 109
C 98
＋C 1010
(－C 107
)＝－210，故选A. 6．(2018·杭州学军中学)二项式(ax ＋36)6的展开式的第二项的系数为－3，则⎠
⎛－2
a x 2
dx 的值为( ) A.73
B ．3
2
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C ．3或7
3
D ．3或－10
3
答案 A
解析 二项展开式的第二项为T 2＝C 61
(ax)5
×36，则由题意有36×C 61a 5＝－3，解得a ＝－1，所以⎠
⎛－2
－1x 2
dx ＝13x 3|－1－2＝－13－(－83)＝73
. 7．(2017·山东师大附中月考)设复数x ＝2i 1－i
(i 为虚数单位)，则C 2 0171x ＋C 2 0172x 2＋C 2 0173x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋i D ．1＋i
答案 C 解析 x ＝
2i 1－i
＝－1＋i ，C 2 0171x ＋C 2 0172x 2＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝(1＋x)2 017－1＝i 2 017
－1＝i －1，故选C. 8．(2018·湖北宜昌一中模拟)二项式(1x －x x)n 的展开式中含有x 2
项，则n 可能的取值是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
答案 D
解析 展开式的通项为T k ＋1＝C n k (1x )n －k (－x x)k ＝(－1)k C n k x 5k
2－n ，由5k 2－n ＝2，得n ＝5k 2－2.k ＝4时，n ＝8，
选D.
9．若(x ＋a x )(2x －1x )5
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
A ．－40
B ．－20
C ．20
D ．40
答案 D
解析 令x ＝1，得(1＋a)(2－1)5
＝2，∴a ＝1.
∴(2x －1x )5的通项为T r ＋1＝C 5r ·(2x)5－r ·(－1x )r ＝(－1)r ·25－r ·C 5r ·x 5－2r
.
令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.
∴展开式的常数项为(－1)2
×23
·C 52
＋(－1)3
·22
·C 53
＝80－40＝40. 10．(2017·湖北四校联考)(1x 2＋4x 2＋4)3
展开式的常数项为( )
A ．120
B ．160
C ．200
D ．240
答案 B
3
解析 (1x 2＋4x 2＋4)3＝(1x ＋2x)6，展开式的通项为T r ＋1＝C 6r ·(1x )6－r ·(2x)r ＝C 6r 2r x 2r －6
，令2r －6＝0，可得r
＝3，故展开式的常数项为160.
另解：展开式的常数项为：43
＋C 31
·4·C 21
·4＝64＋96＝160.
11．(2018·广东普宁一中期末)若(x 6
＋1x x )n 的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案 C
解析 (x 6＋1x x )n 展开式的通项为C n r (x 6)n －r (x －32)r ＝C n r
x6n －152r ，r ＝0，1，2，…，n ，则依题设，由6n －
152r ＝0，得n ＝5
4
r ，∴n 的最小值等于5.
12．若(x －1)4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
答案 B
解析 (x －1)4
＝1＋C 41
x(－1)3
＋C 42x 2
(－1)2
＋C 43x 3
·(－1)＋x 4
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋a 3x 3
＋a 4x 4
， ∴a 0＝1，a 2＝C 42＝6，a 4＝1. ∴a 0＋a 2＋a 4＝8.
13．(2018·西安五校联考)从(4
x ＋1x )20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )
A.521
B.27
C.310
D.37
答案 B
解析 (4x ＋1x )20的展开式的通项为T k ＋1＝C 20k (4x)20－k (1x )k ＝C 20k
x5－34k ，其中k ＝0，1，2， (20)
而当k ＝0，4，8，12，16，20时，5－3
4k 为整数，对应的项为有理项，
所以从(4
x ＋1x )20的展开式中任取一项，
则取到有理项的概率为P ＝621＝2
7
.
14．(2017·衡水中学调研卷)设a ，b ，m 为整数(m>0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a≡b(mod m)．若a ＝C 200
＋C 201
·2＋C 202
·22
＋…＋C 2020
·220
，a ≡b(mod10)，则b 的值可以是( ) A ．2 018 B ．2 019 C ．2 020
D ．2 021
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答案 D
解析 a ＝C 200
＋C 201
·2＋C 202
·22
＋…＋C 2020
·220
＝(1＋2)20
＝320
＝(80＋1)5
，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b 的值可以是2 021. 15．(2018·广东湛江调研)若(2x －1)2 018
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x
2 018
(x∈R )，记S 2 018＝∑2 018
i ＝1 a i
2
i ，则S 2 018的值为________． 答案 －1
解析 令x ＝0，则a 0＝1.令x ＝12，则(2×12－1)2 018
＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 0182
2 018＝1＋∑2 018i ＝1 a i 2i ＝0，∴S 2018＝∑2 018
i ＝1 a i 2i ＝－1.
16．(x ＋2)10
(x 2
－1)的展开式中x 10
的系数为________． 答案 179
解析 (x ＋2)10
(x 2
－1)＝x 2
(x ＋2)10
－(x ＋2)10
，
本题求x 10
的系数，只要求(x ＋2)10
展开式中x 8
及x 10
的系数T r ＋1＝C 10r x 10－r
· 2r
.
取r ＝2，r ＝0得x 8
的系数为C 102
×22
＝180， x 10
的系数为C 100
＝1， ∴所求系数为180－1＝179.
17．在(ax －1)6
的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a ＝________． 答案 －2
解析 ∵在(ax －1)6
的二项展开式中共有7项，展开式的中间项为第4项，此时T 4＝C 63
(ax)3
(－1)3
，∴中间项的系数为－a 3
C 63
＝－20a 3
＝160，∴a ＝－2.
18．若(x －a 2x )8
的展开式中常数项为1 120，则展开式中各项系数之和为________．
答案 1
解析 (x －a 2x )8的展开式的通项为T r ＋1＝C 8r x 8－r (－a 2)r x －r ＝C 8r (－a 2)r x 8－2r ，令8－2r ＝0，解得r ＝4，所以C 84
(－
a 2)4
＝1 120，所以a 2
＝2，故(x －a 2
x )8＝(x －2x
)8.令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)8
＝1.
19．设函数f(x ，n)＝(1＋x)n (n∈N *
)． (1)求f(x ，6)的展开式中系数最大的项；
(2)若f(i ，n)＝32i(i 为虚数单位)，求C n 1－C n 3＋C n 5－C n 7＋C n 9
. 答案 (1)20x 3
(2)32
解析 (1)展开式中系数最大的项是第4项T 4＝C 63x 3＝20x 3
. (2)由已知(1＋i)n ＝32i ，两边取模，得(2)n
＝32，所以n ＝10.
所以C n 1－C n 3＋C n 5－C n 7＋C n 9＝C 101－C 103＋C 105－C 107＋C 109，而(1＋i)10＝C 100＋C 101i ＋C 102i 2＋…＋C 109i 9＋C 1010i 10＝(C 100
－C 102＋C 104－C 106＋C 108－C 1010)＋(C 101－C 103＋C 105－C 107＋C 109)i ＝32i ，所以C 101－C 103＋C 105－C 107＋C 109
＝
32.
5
1．(2018·四川绵阳模拟)在(x 2－13
x )8
的展开式中，常数项是( )
A ．－28
B ．－7
C ．7
D ．28
答案 C
解析 ∵展开式的通项T r ＋1＝C 8r (x 2)8－r (－x －13)r ＝C 8r (12)8－r (－1)r
x8－43r ，当8－43r ＝0时，r ＝6，∴常数项是
C 86×(12)2×(－1)6
＝7.
2．(2017·保定模拟)(1x
－2x 2)5
的展开式中常数项是( )
A ．5
B ．－5
C ．10
D ．－10
答案 D
解析 常数项为C 51
(
1
x
)4(－2x 2
)＝－10. 3．(2015·湖南，理)已知(x －a x
)5
的展开式中含x 3
2的项的系数为30，则a ＝( )
A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6
答案 D
解析 由二项展开式的通项可得 T r ＋1＝C 5r
(x)
5－r
(－
a
x
)r ＝(－a)r C 5r x 5－r 2－r 2＝(－a)r C 5r x 52－r ，令52－r ＝32，得r ＝1，所以(－a)r C 5r ＝(－a)×C 5
1
＝30，则a ＝－6，故选D.
4．(2018·四川成都七中月考)化简2n
－C n 1
×2n －1
＋C n 2×2
n －2
＋…＋(－1)
n －1
C n
n －1
×2＝( )
A ．1
B ．(－1)n
C ．1＋(－1)n
D ．1－(－1)n
答案 D 解析 2n
－C n 1
×2
n －1
＋C n 2×2
n －2
＋…＋(－1)
n －1
C n
n －1
×2＝C n 0×2n ×(－1)0－C n 1×2
n －1
＋C n 2×2
n －2
＋…＋(－1)
n －1
C n
n
－1
×2＋(－1)n
C n n
×20
－(－1)n C n n
×20
＝(2－1)n
－(－1)n
＝1－(－1)n
.
5．已知(xcos θ＋1)5的展开式中x 2的系数与(x ＋54)4的展开式中x 3
的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ＝( )
A.π4
B.π4或3π4
C.π3
D.π3或2π3
答案 B
6
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解析 由二项式定理知(xcos θ＋1)5的展开式中x 2的系数为C 53cos 2θ，(x ＋54)4的展开式中x 3的系数为C 41
×54，
所以C 53cos 2θ＝C 41×54，解得cos 2
θ＝12，解得cos θ＝±22，又θ∈(0，π)，所以θ＝π4或3π4，故选B.
6．已知(1＋ax)(1＋x)5
的展开式中x 2
的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1
答案 D
解析 方法一：(1＋x)5
的展开式的通项为T r ＋1＝C 5r x r
(0≤r≤5，r ∈Z )，则(1＋ax)(1＋x)5
的展开式中含x 2
的项为C 52x 2
＋ax·C 51
x ＝(10＋5a)x 2
，所以10＋5a ＝5，解得a ＝－1.故选D.
方法二：(1＋ax)(1＋x)5
是6个因式之积，所以展开式中x 2
的系数为C 52
＋aC 51
＝10＋5a ，所以10＋5a ＝5，解得a ＝－1.故选D.
7．已知(3x －1)n
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a n x n
(n∈N *
)，设(3x －1)n
的展开式的二项式系数之和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n∈N *)，则( ) A ．S n >T n
B ．S n <T n
C ．n 为奇数时，S n <T n ；n 为偶数时，S n >T n
D ．S n ＝T n
答案 C
解析 由题意知S n ＝2n
，令x ＝0，得a 0＝(－1)n
，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n
，所以T n ＝2n
－(－1)n
，故选C.
8．设(5x －x)n
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3
项的系数为( ) A ．500 B ．－500 C ．150 D ．－150
答案 C
解析 N ＝2n
，令x ＝1，则M ＝(5－1)n
＝4n
＝(2n )2
， ∴(2n )2
－2n
＝240，2n
＝16，n ＝4. 展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C 4r
·(5x)4－r
·(－x)r
＝(－1)r
·C 4r
·5
4－r
·x4－r 2
.
令4－r 2
＝3，即r ＝2，此时C 42·52·(－1)2
＝150.
9．已知在(3
x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．
答案
454x 2，－638，45256
x －2
7
解析 (3
x －1
23
x
)n
的展开式中的通项T r ＋1＝C n r
(－12)r x n －2r 3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r
3＝
0，即n ＝10.根据通项，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，
r ∈Z ，令10－2r 3＝k(k∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－3
2k ，所以0≤5
－32k ≤10，解得－103≤k ≤10
3，又k∈Z ，r ∈Z ，所以k 可取2，0，－2，即r 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256
x －2.
10．在(1＋x ＋1x 2 017)10的展开式中x 2
项的系数为________(结果用数值表示)．
答案 45
解析 因为(1＋x ＋1x 2 017)10＝[(1＋x)＋1x 2 017]10＝(1＋x)10＋C 101(1＋x)91x 2 017＋…＋C 1010(1x 2 017)10，所以x 2
项只能在
(1＋x)10
的展开式中，即C 102x 2
，系数为C 102
＝45.
11．(2016·北京)在(1－2x)6
的展开式中，x 2
的系数为________．(用数字作答) 答案 60
解析 二项式(1－2x)6
的展开式的通项公式为T r ＋1＝C 6r
(－2x)r
＝C 6r
·(－2)r x r
，令r ＝2，则x 2
的系数为C 62
·(－2)2
＝60.
12．(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3
(x ＋2)2
＝x 5
＋a 1x 4
＋a 2x 3
＋a 3x 2
＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________． 答案 16 4
解析 由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 32
×12
×C 22
×22
＋C 33
×13
×C 21
×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33
×13
×C 22
×22
＝4. 13．(2016·山东)若(ax 2
＋1x
)5的展开式中x 5
的系数是－80，则实数a ＝________．
答案 －2 解析 (ax 2
＋
1x
)5展开式的通项公式为T r ＋1＝C 5r a
5－r x
10－2r
·x －r 2＝C 5r a 5－r x10－52r.令10－52
r ＝5得r ＝2，即C 52a
3
＝－80，故a ＝－2.
14．(1)求证：1＋2＋22
＋…＋2
5n －1
(n∈N *
)能被31整除；
(2)求S ＝C 271
＋C 272
＋…＋C 2727
除以9的余数． 答案 (1)略 (2)7
解析 (1)证明：∵1＋2＋22
＋…＋25n －1
＝25n
－1
2－1
＝25n
－1＝32n
－1＝(31＋1)n －1 ＝C n 0
×31n
＋C n 1
×31n －1
＋…＋C n
n －1
×31＋C n n
－1
＝31(C n 0
×31n －1
＋C n 1
×31
n －2
＋…＋C n n －1
)，
显然C n 0×31
n －1
＋C n 1
×31
n －2
＋…＋C n
n －1
为整数，
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∴原式能被31整除．
(2)S ＝C 271
＋C 272
＋…＋C 2727
＝227
－1＝89
－1
＝(9－1)9
－1＝C 90
×99
－C 91
×98
＋…＋C 98
×9－C 99
－1 ＝9(C 90
×98
－C 91
×97
＋…＋C 98
)－2. ∵C 90
×98
－C 91
×97
＋…＋C 98
是整数， ∴S 被9除的余数为7.。