新华师大第18章平行四边形的性质与判定

第18章平行四边形的认识平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?读下去，你就会发现这些答案了．§18.1 平行四边形的性质平行四边形是随处可见的几何图形，本章导图上的桌面、书面……甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形．回忆我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)．你能从图18.1.1所示的图形中找出平行四边形吗?图18.1.1两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要性质．除此之外，它还有什么性质呢?探索如图18.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形．步骤1：画两条平行线．步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB．步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到 ABCD．图18.1.2如图18.1.3，用剪刀把 ABCD(可以先放大些)从方格纸上剪下，再在一张纸上沿 ABCD的边沿，画出一个四边形，记为EFGH．则四边形EFGH和ABCD完全一样，也为平行四边形．它们的对应边、对应角都相等．在 ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O．用一枚图钉在O点穿过，将 ABCD绕点O旋转180°．观察旋转后的 ABCD和纸上所画的 EFGH是否重合．你能从中得出 ABCD的一些边角关系吗?图18.1.3我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．由此可以得到AD＝BC， AB＝DC，∠A＝∠C，∠B＝∠D．即平行四边形的对边相等，对角相等．例1如图16.1.4，在 ABCD中，已知∠A＝40°，求其他各个内角的度数．图18.1.4解在 ABCD中，∠D＝∠B，∠C＝∠A＝40°(平行四边形的对角相等)．又∵ AD∥BC，∴∠B＝180°-∠A＝180°-40°＝140°，∴∠D＝∠B＝140°．例2如图16.1.5，在 ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．图18.1.5解在 ABCD中，AB＝DC， AD＝BC(平行四边形对边相等)．又∵AB＝8，AB+BC+CD+DA＝24，∴ CD＝8，AD＝BC＝4．练习1. 已知在 ABCD中，∠A＝120°，求其余各内角的度数．2. 已知在 ABCD中，AB＝5， BC＝3，求它的周长．观察在如图18.1.3那样的旋转过程中，你观察到OA与OC、OB与OD 的关系吗?我们已经发现， ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O 就是对称中心，所以OA＝OC， OB＝OD．即平行四边形的对角线互相平分．例3如图18.1.6，在 ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?图18.1.6解在 ABCD中，已知AB＝6，AO+BO+AB＝15，∴AO+BO＝15-6＝9．又∵AO＝OC， BO＝OD(平行四边形对角线互相平分)，∴AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)＝２×９＝18．试一试如图18.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．图18.1.7经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图16.1.7中也可以看到这一点)．这种现象说明了平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等．练习1. 在 ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，指出图形中相等的线段．(第1题) (第2题)2. 如图，如果直线l1∥l2，那么△ABC的面积和△DBC的面积是相等的．你能说出理由吗?你还能在这两条平行线l1、l2之间画出其他与△ABC面积相等的三角形吗?习题18.11. 如图，在 ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B＝55°，那么∠D与∠DAE分别等于多少度?(第1题)2. 如图，在 ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为２２厘米，CD的长为5厘米，求△OCD的周长．(第2题)3. 在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为２∶３，求这个平行四边形各个内角的度数．4. 如图，已知 ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长小20cm，求这个平行四边形各边的长．（第４题）§18.2 平行四边形的判定一．知识点：1.可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定。

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形。

二．学习过程：1．按教材的思路讲解，由实例和同学一起推导平行四边形的判定方法，并归纳相关的知识点。

2. 和学生一起完成课后习题。

三．例题及习题：教材中的题目。

行四边形的判定习题精选一、填空1．用边长分别为2cm，3cm，4cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。

2．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形。

3．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，连接BE，CE，则AB_________CE，AC_________BE。

4．若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足___________，从对角线的关系看应满足_______________。

5．已知E、F、G、H分别为 ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______________。

二、选择6．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD7．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种8．下列结论正确的是（）A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是平行四边形9．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC10．如图19－1－26，在 ABCD 中，E ，F 分别在BC ，AD 上，若想使四边形AFCE 为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ ）。

①AF=CF ；②AE=CF ；③∠BAE=∠FCD ；④∠BEA=∠FCE 。

A ．①或②B ．②或③C ．③或④D ．①或③或④11．如图19－1－27，在△ABC 中，DE ∥AB ，FD ∥BC ，EF ∥AC ，则下列说法中正确的有（ ）个。

①图中共有三个平行四边形；②AF=BF ，CE=BE ，AD=CD ；③EF=DE=DF ； ④图中共有三对全等三角形。

A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题12．如图19－1－28，在 ABCD 中，E ，F 为BD 上的点，BF=DE ，那么四边形AECF 是什么图形？试用两种方法证明。

13．已知：在△ABC 中，AB=AC ，EF 是△ABC 的中位线，分别交AB ，AC 于E ，F ，延长AB 到D ，使BD=AB ，连接CD 。

求证：12CE CD 。

14．如图19－1－29， ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作两条直线分别与AB ，BC ，CD ，AD 交于G ，F ，H ，E 四点。

求证：四边形EGFH 是平行四边形。

15．如图19－1－30，分别以△ABC 的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD ，等边三角形BCE ，等边三角形ACF ，连接DE ，EF 。

求证：四边形ADEF 是平行四边形。

四、思维拓展16．如图19－1－31，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，试证明EF和GH互相平分。

17．如图19－1－32，△ABC是边长为4cm的边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N，试猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化？并说明你的理由。

五、中考热身18．（2005年苏州市）如图19－1－33，在 ABCD中，下列各式不一定正确的是（）。

A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°答案1．六；三2．AB∥CD或AD=BC3．//；//4．∠A=∠C，∠B=∠D或∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°；AO=CO，BO=DO 5．平行四边形6．C 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B12．平行四边形。

方法一：连接AC，利用“对角线互相平分的四边形为平行四边形”来证明。

方法二：证△ABE ≌△CDF ， △AFD ≌△CEB ，利用“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”来证明。

13．提示：先证明△EBC ≌△FCB ，得CE=BF ，再证12BF CD 。

14．先证△AEO ≌△CFO ，得OE=OF ，同理可得OG=OH ，所以四边形EGFH 是平行四边形。

15．先证△EDB ≌△CFE ，可得BD=EF ，ED=CF 。

∵BD=DA ，CF=AF ，∴ED=AF ，EF=DA ，∴四边形ADEF 是平行四边形。

16．提示：连接GE ，EH ，HF ，GF ，先证GE=HF ，再证GE ∥HF 即可。

17．其值为8cm ，且不随P 位置的改变而变化。

理由：由△ABC 为等边三角形可得△AGH 也是等边三角形，∴GH=AG=AM+MG ①，同理，△BMN 也为等边三角形，∴MN=MB=MG+GB 。

②∵MN ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形AMPE 为平行四边形，∴PE=AM ，同理，BFPG 也为平行四边形， ∴PF=GB ，∴EF=PE+PF=AM+GB 。

③①+②+③得EF+GH+MN=AM+GB+MG+GB+AM+MG=2（AM+MG+GB ）=2AB=2×4=8cm 。