高一数学人教A版必修二课件第一章 空间几何体1章末高效整合

2．斜二测画法的考查角度： 对斜二测画法的考查，一般是通过计算平面图形的面积去考查斜二测画法的
规则．
[特别提醒] 若平面图形的面积为 S，则该平面图形的斜二测直观图的面积
S′＝
2 4 S.
如图所示，是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直 观图(尺寸自定)．
[规范解答] 由这个空间几何体的三视图可以看出，该几何体是一个六棱台， 直观图如图③所示．
A．16
B．64
C．16 或 64
D．都不对
解析： 当 S′＝2×4×sin 45°＝4 2时， ∵S′＝ 42S，∴4 2＝ 42S， 解得 S＝16. 当 S′＝8×4×sin 45°＝16 2时， ∵S′＝ 42S，∴16 2＝ 42S，解得 S＝64. 答案： C
空间几何体的计算问题 空间几何体体积与表面积的计算方法 (1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰 当地进行换底等积变换便于问题的求解． (2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体的体积的一个重要 方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体； “补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体．总之，割补法的核心思想是将 不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决．
第一章
空间几何体
1．把握空间几何体的结构特征，明晰多面体与旋转体的区别
(1) 棱柱
棱锥
棱台
结 ①有两个面互相平行； 构 ②其余各面都是平行四 特 边形； 征 ③侧棱互相平行
①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个 公共顶点的三角形
①上、下底面互相平行， 且是相似图形； ②各侧棱延长线交于一 点
(2)
1．以长方体的各顶点为顶点，能构成四棱锥的个数是( )
A．4
B．8
C．12
D．48
解析： 设长方体 ABCD－A1B1C1D1，若点 A 为四棱锥的顶点，则底面可以 为不过点 A 的矩形 A1B1C1D1，矩形 BCC1B1，矩形 CDD1C1，矩形 BB1D1D，矩形
BCD1A1，矩形 CDA1B1，共有 6 个不同的四棱锥，8 个顶点可以分别作为四棱锥
(2015·安徽淮南一中月考)如图，某三棱锥的三视图都是直角边为 2的 等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是( )
A. 3 B．2 3 C．1 D．2
[规范解答] 由三视图可知该几何体是三条棱两两垂直的三棱锥，其最大面
为边长为 2 的正三角形．最大面的面积为 43×22＝ 3.故选 A. 答案： A
根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称． (1)由六个面围成，其中一个面是正五边形，其余各面是有公共顶点的三角形； (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180°形成的封闭曲 面所围成的图形； (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几 何体．
[规范解答] (1)如图①，因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形，所 以是棱锥，又其底面是正五边形，所以是正五棱锥．
3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12， 则该几何体的俯视图可以是( )
解析： 方法一：由题意可知当俯视图是 A 时，即每个视图都是边长为 1
的正方形，那么此几何体是正方体，显然体积为 1，注意到题目要求体积是12，知
其是正方体的一半，可知选 C.
方法二：当俯视图是 A 时，该几何体是正方体，体积是 1；当俯视图是察得到的图形，画直观图的方法是斜二测画 法，可简记为：横不变、纵折半，平移位置不变．
(3)三视图与直观图都是在平行投影下得到的，二者的互化是高考的重点，一 般由三视图确定几何体的形状和几何度量，然后画出它的直观图．
3．牢记表面积、体积公式，体会展开思想 (1)多面体的展开图是由多个平面图形组成的，计算其表面积需分别计算各个 面的面积，然后相加即可． 特别地，直棱柱的侧面展开图是矩形，侧面积为 S＝ch(c 为底面周长，h 为 侧棱长)；
(4)简单组合体是由简单几何体(柱体、锥体、台体、球)组合而成，有两种基 本形式：一是由简单几何体拼接而成，二是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
2．体会三视图和直观图应用，掌握各自要点 三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化． (1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形： 正视图——几何体前后方向的投影图； 侧视图——几何体左右方向的投影图； 俯视图——几何体上下方向的投影图． 三视图的排列规则是：侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边． 画三视图的两点注意： 一是“长对正、高平齐、宽相等”； 二是分界线和可见轮廓线用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．
答案： A
空间几何体的三视图 空间几何体三视图再透析 三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形： 正视图：物体前后方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和长度； 侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度； 俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，它能反映物体的长度和宽度． 注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出， 不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先 拆，后画，再检验．
圆柱
圆锥
圆台
球
以直角三角形的
以矩形的一边所
用一个平行于圆
一条直角边所在
定义 在直线为轴，其余
锥底面的平面截
直线为轴，其余两
三边旋转而得
圆锥而得
边旋转而得
以半圆的直径所 在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周 而得
①有两个互相平
①上、下底面互相
①球的表面是旋
行的面，且这两个 ①底面是圆面；② 平行，且是不相等
正棱锥的侧面展开图是几个全等的等腰三角形，侧面积为 S＝12ch′(c 为底面 周长，h′为斜高)；
正棱台的侧面展开图是几个全等的等腰梯形，侧面积为 S＝12(c＋c′)h′(c， c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．
(2)圆柱的侧面展开图是矩形，侧面积为 S＝2πrl(r 为底面半径，l 为母线长)； 圆锥的侧面展开图是扇形，侧面积为 S＝πrl(r 为底面半径，l 为母线长)； 圆台的侧面展开图是扇环，侧面积为 S＝π(r′＋r)l(r′，r 分别为上、下底 面半径，l 为母线长)． (3)柱体、锥体、台体体积公式间的关系如下(柱体、锥体中 S 为底面面积，h 为高，台体中 S′，S 分别为上、下底面面积，h 为高)：
该几何体是圆柱，底面积 S＝π×122＝π4，高为 1，则体积是π4；当俯视图是 C 时，
该几何体是直三棱柱，故体积 V＝12×1×1×1＝12；当俯视图是 D 时，该几何体
由圆柱切割而成，其体积 V＝14π×12×1＝π4.故选 C.
答案： C
斜二测画法及空间几何体的直观图 1．斜二测画法的步骤及标准： (1)建坐标系，定水平面； (2)与坐标轴平行的线段保持平行； (3)水平线段等长，竖直线段减半．
如图(2)，建立坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知： A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝ 43a.过 C′作 C′D′⊥O′x′于 D′，则 C′D′＝ 22O′C′＝ 86a.
的顶点，共 6×8＝48 个不同的四棱锥．
答案： D
2．下列判断中正确的个数是( )
①半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球；
②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；
③球面和球是同一个概念；
④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫 球，①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；经过球面上不同的 两点只能作一个最大的圆，若两点恰好为最大的圆的直径，则过此两点的大圆有 无数个，故④错误．
所以 AE＝2 2， 设球半径为 R，在 Rt△AEO 中，AE2＋OE2＝AO2， 即(2 2)2＋(6－R)2＝R2，解得 R＝131， 则 S＝4πR2＝4π1312＝4894π，故选 B. 答案： B
5．正四棱锥 S－ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，点 S，A，B，C，D
都在同一个球面上，则该球的体积为________． 解析： 如图所示，正四棱锥外接球球心应在体高 SO 上，设球心为 O1，连
(2015·合肥市 168 中高二(上)期中)正四棱锥的顶点都在同一球面上，
若该棱锥的高为 6，底面边长为 4，则该球的表面积为( )
A.434π 81
C. 4 π
B.4894π D．16π
[规范解答] 如图，正四棱锥 P－ABCD 中，PE 为四棱锥的高，根据球的相 关知识可知，四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上， 因为底面边长为 4，
②圆柱的母线是连圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；
③矩形的任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；
④矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：
序号 正误
理由
①√
圆柱的轴是旋转轴，过上、下底面圆的圆心
②×
母线是与轴平行的线段
③√
绕矩形的任意一条边所在直线旋转，都可得到圆柱
画法：(1)作出两个同心的六边形，并在一个水平放置的平面内画出它们的直 观图；
(2)建立 z′轴，把里面的六边形向上平移高的大小； (3)连接两六边形相应顶点，并擦去辅助线，遮住线段用虚线表示，即得要画 的六棱台．
4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正
方形的面积是( )
结构
转而成的曲面；
面是等圆；
有无数条母线，等 的圆；②有无数条
特征
②球即球面及其
②有无数条母线，长且交于顶点 母线，等长且延长
内部空间
等长且与轴平行
线交于一点
(3)多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，棱柱、棱锥、棱台都是多面 体；旋转体是由一个平面图形绕轴(定直线)旋转所形成的封闭几何体，圆柱、圆 锥、圆台、球都是旋转体．
(2)如图②，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直 角梯形旋转 180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．
(3)如图③，过直角梯形 ABCD 的顶点 A 作 AO⊥CD 于点 O，将直角梯形分 为一个直角三角形 AOD 和一个矩形 AOCB，绕 CD 旋转一周形成一个组合体， 该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．
(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间 问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球 除外)两点间的距离问题．
(4)构造法：对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置在我们 熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何 体的性质．
(4)若球的半径为 R，则表面积为 S＝4πR2，体积为 V＝43πR3. (5)求解棱锥、棱台的表面积或体积时，注意棱锥中两个直角三角形，棱台中 两个直角梯形的应用．
热点考点例析
空间几何体的结构特征 空间几何体的结构特征再解读 (1)类比记忆棱柱、棱锥、棱台等多面体的概念、性质． (2)圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，其轴截面其实为旋转的平面图形及其关于 旋转轴对称的图形的组合，它反映了这三类几何体基本量之间的关系，因此轴截 面是解决这三类几何体问题的关键． (3)球是比较特殊的旋转体，球的对称性是解题的突破口． (4)对于简单组合体的性质的研究多采用分割法，将其分解为几个规则的几何 体再进行研究．
接 OB，O1B，设外接球半径为 R， 由 O1S＝O1B＝R，SO＝1，OB＝1，OO1＝1－R. 在 Rt△OO1B 中，(1－R)2＋12＝R2，解得 R＝1，
即外接球球心应为底面 ABCD 的中心 O，所以 V 球＝43π. 答案： 4π
3
一、选择题
1．下列命题正确的个数为( )
①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；
应是绕矩形的任意一条边所在直线旋转，否则不一定围成圆柱，如 ④×
绕矩形的对角线所在直线旋转，围成的几何体就不是圆柱
答案： B
2．已知正△ABC 的边长为 a，那么正△ABC 的直观图△A′B′C′的面积 是( )
A. 43a2 C. 86a2
B. 83a2 D.166a2
解析： 如图(1)为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy.