2019年高考数学(理科)一轮复习达标检测(二) 命题及其关系 充分条件与必要条件

高考达标检测（二） 命题及其关系 充分条件与必要条件
一、选择题
1．命题“若α＝π4
，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4
，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α＝π4 D ．若tan α≠1，则α≠π4
解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可．
所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4
. 2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A ．都真
B ．都假
C ．否命题真
D ．逆否命题真
解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
3．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0<b <1”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交可得
|b |2<1，所以－2<b <2，因此，“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”
“0<b <1”，但“0<b <1”⇒“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋
y 2＝1相交”．故选C. 4．命题p ：“∀x >e ，a －ln x <0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A ．a ≤1
B ．a <1
C ．a ≥1
D ．a >1
解析：选B 由题意知∀x >e ，a <ln x 恒成立，因为ln x >1，所以a ≤1，故答案为B.
5．a 2＋b 2＝1是a si n θ＋b cos θ≤1恒成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为a 2＋b 2＝1，所以设a ＝cos α，b ＝sin α，则a sin θ＋b cos θ＝si n (α＋θ)≤1恒成立；当a sin θ＋b cos θ≤1恒成立时，只需a sin θ＋b cos θ＝
a 2＋
b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2
≤1即可，所以a 2＋b 2≤1，故不满足必要性．
6．若向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 若“a ⊥b ”，则a ·b ＝(x －1，x )·(x ＋2，x －4)＝(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝
2x 2－3x －2＝0，则x ＝2或x ＝－12
；若“x ＝2”，则a ·b ＝0，即“a ⊥b ”，所以“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．
7．在△ABC 中，“sin A －sin B ＝cos B －cos A ”是“A ＝B ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B 在△ABC 中，当A ＝B 时，sin A －sin B ＝cos B －cos A 显然成立，即必要性成立；当sin A －sin B ＝cos B －cos A 时，则sin A ＋cos A ＝sin B ＋cos B ，两边平方可得
sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2
，即充分性不成立．则在△ABC 中，“sin A －sin B ＝cos B －cos A ”是“A ＝B ”的必要不充分条件．
8．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( )
A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件
B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件
D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件
解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当m ⊂α时，“m ⊥β”⇒“α⊥β”；当m ⊂α时，“α⊥β” “m ⊥β”，故B 正确；当m ⊂α时，“m ∥n ”“n ∥α”， n 也可能在平面α内，故C 错误；当m ⊂α时，“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”，反之不成立，故D 正确．
二、填空题
9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案：2
10．下列命题正确的序号是________．
①命题“若a >b ，则2a >2b ”的否命题是真命题；
②命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是真命题；
③若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件；
④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解的充要条件是a ＝±12
. 解析：①否命题“若2a ≤2b ，则a ≤b ”，由指数函数的单调性可知，该命题正确； ②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；
由互为逆否命题可知，③是真命题；
④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解，
则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝1－4a 2＝0，a ≠0，求解可得a ＝0或a ＝±12，故④是假命题． 答案：①②③ 11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．
解析：A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，
∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.
答案：(2，＋∞)
12．给出下列四个结论：
①若am 2<bm 2，则a <b ；
②已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，若变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关； ③“已知直线m ，n 和平面α，β，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β”为真命题；
④m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件． 其中正确的结论是________(填序号)．
解析：由不等式的性质可知，①正确；
由变量间相关关系可知，当变量y 和z 是正相关时，x 与z 负相关，故②正确；
③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误；
④当m ＝3时，直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直；当直线(m ＋
3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直时，(m ＋3)m －6m ＝0，则m ＝3或m ＝0，
即m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确．
答案：①②④
三、解答题
13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．
(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．
14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪
y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．
解：y ＝x 2－32
x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716
≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪
716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，
∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．
∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，
∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716
，
解得m ≥34或m ≤－34
， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭
⎫34，＋∞.
1．下列四个命题中，
①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；
③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；
④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0且n ≠0”；
⑤对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18
OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面． 其中真命题的为________．(填序号)
解析：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”，故①正确；
②x ＝4⇒x 2－3x －4＝0；由x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4.
∴“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分不必要条件，故②正确；
③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”，是假命题，如m ＝0时，方程x 2＋x －m ＝0有实根，故③错误；
④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故④错误；
⑤∵34＋18＋18＝1，∴对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18
OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面，故⑤正确．
答案：①②⑤
2．已知p ：－x 2＋4x ＋12≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．
(1)若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________；
(2)若“綈p ”是“綈q ”的充分条件，则实数m 的取值范围为________．
解析：由题知，p 为真时，－2≤x ≤6，q 为真时，1－m ≤x ≤1＋m ，
令P ＝{x |－2≤x ≤6}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．
(1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴P Q ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >6或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥6，
解得m ≥5， ∴实数m 的取值范围是[5，＋∞)．
(2)∵“綈p ”是“綈q ”的充分条件，∴“p ”是“q ”的必要条件，
∴Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤6，
m >0，解得0<m ≤3，
∴实数m 的取值范围是(0,3]．
答案：(1)[5，＋∞) (2)(0,3]。