【配套K12】[学习]内蒙古包头市第四中学2018届高考数学模拟试题 理

内蒙古包头市第四中学2018届高考数学模拟试题 理
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数1z i =-，则2
1
z z =- （ ）
A. 2
B. －2
C. 2i
D. －2i 2.设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x
B ,03, 则A ∩B= （ ）
A ．]2,3(--
B ．]25,0[]2,3(⋃--
C ．),25[]3,(+∞⋃--∞
D ．),25
[)3,(+∞⋃--∞ 3．下列说法错误．．
的是( ) A ．命题“若1,0232
==+-x x x 则”的逆否命题为：“若1x ≠则2320x x -+≠” B ．命题"01,:"2
<++∈∃x x R x p 使得，则"01,:"2
≥++∈∀⌝x x R x p 均有 C ．若“q p 且” 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题 D ．若0,a a b a c ≠⋅=⋅则“”是“c b =”的充要条件 4.已知函数()[]11y f
x =-在，上的图象如图所示，则()[]11y f x =-在，上的图象可能是
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
5.已知()()2
3
1x a x +-的展开式中4
x 的系数为1，则0
sin a
xdx =⎰
A. 1cos1-
B. 1cos 2-
C. cos 21-
D. cos11-
6..函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪
⎝
⎭
的最小正周期是π，若其图象向右平移6
π
个单
位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （ ）
A ．关于点,012
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
对称
B ．关于直线12x π=对称
C ．关于点)0,6
(
π
对称
D ．关于直线6
π
=
x 对称 7.已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线22
21,(0)x y a a
-=>交于,A B 两点，点F 为抛物线的
焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( ) A
．2 D ．3 8.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若()cos 3
f x x π
=，则输出的S 的值为 A.0
B.671.5
C.671
D.672
9.三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，三棱锥的外接球的体积记为V 1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V 2，则12V V =
A.
B.
C. 12
D.
10. . (9题图) (8题图
)
A 0
B 1
C 2
D 3
11.已知
P
为椭圆22
12516x y +=上的一点，,M N 分别为圆
22
(3)1x y ++=和
圆
22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）
A ． 5
B ． 7
C ．13
D ． 15
12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，且x ＜0时，
()()20xf x f x '->恒成立，设()()()1,24,39,f a f b f c ===则a ，b ，c 的大小关系为
A. a ＞b ＞c
B. a ＜b ＜c
C. b ＜a ＜c
D. b ＞a ＞c
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ．
14.已知,x y 满足10,20,20,x y x y x my -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
若z
x y =+的最大值为32
，则常数m=__________.
15.已知
0,1a a >≠，函数
()22,01,0
x
x x f x a x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩在R 上是单调函数，且
()52f a a =-，则实数a =___________.
16. 已知ABC ∆的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
17. （本小题满分12分）已知数列
{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程
220,()n n
x x b n N *
-+=∈的两根，且11a = （1）求证：数列123n n a ⎧
⎫
-⨯⎨⎬⎩
⎭
是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
18．（本小题满分12分）某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：
(19题图)
（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X 元，求X 的概率分布表与数学期望； （2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．
19. （本小题满分12分）
如图所示，正方形BCDE 所在的平面与平面ABC 互相垂直，其中
120,2,,ABC AB BC F G ∠===o 分别为CE ，AB 的中点.
（I ）求证：FG //平面ADE ；
（II ）求二面角B AC E --的余弦值.
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.
（Ⅰ）求圆O 的方程；
（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列， 求
PA PB ∙的取值范围.
21. （12分）已知函数
()()2
1ln ,2
f x x x a
g x x ax =+=
+，其中a R ∈.
（I ）若曲线
()y f x =在点()()1,1f 处的切线与曲线()y g x =也相切，求a 的值；
（II ）()()1
1,2
x f x g x ∀>+<恒成立，求a 的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题
号,每小题10分，共计10分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．选修4—1：几何证明选讲
如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点B 、C ，AQ ⊥OP ，垂足为Q ．若PA ＝4，PC ＝2，求AQ 的长．
23．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3
2
t ，y ＝2＋1
2t (t 为参数 )，圆C
的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝
3＋cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)．若点P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距
离的最小值．
（第22题图）
B
包四中高三年级第三次周考数学试卷(理) 答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. A
2. D
3. D
4. B
5. B
6. B
7. B
8. A
9. B 10. B 11. B. 12. A
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13． 5 14. 2 15. 2 16. 315
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
18．解：（1）因为P (X ＝10)＝1C 25＝110，P (X ＝5)＝C
13C 25
＝3
10，
P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，P (X ＝0) ＝C 13C 25
＝3
10，
所以X 的概率分布表为：
从而E (X )＝
110
＋310
＋310
＋3
10
＝3.1元． 分 （2）记该顾客一次摸球中奖为事件A ，由（1）知，P (A )＝7
10
，
从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P ＝1－[1－P (A )]2
＝91100．
答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91
100．
17．解： （1）∵a n +a n+1=2
n
)23
1
(23111n n n n a a ⋅--=⋅-∴++
1231231
1
1-=⋅-⋅-++n n n n a a 是⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-∴n n a 231等比数列
])1(2[3
1
1,31321n n n a q a --=∴-==-∴
（2）S n =a 1+a 2+……+a n
22111
1
[(222)((1)(1)(1))]
3
12(12)(1)(1(1))[]3121111(1)[22]3222
33
2133
n n n n n
n n n n n +++=+++--+-++-----=--+-+-=--
⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩偶奇
19.
20.解：（Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，
即 2
3
14=+=
r
得圆O 的方程为422=+y x .
（Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121=<x x x x B x A 由即得
A （－2，0），
B （2，0）
设),(y x P ，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得
222222)2()2(y x y x y x +=+-⋅++
即 .22
2
=-y x
).
1(24)
,2(),2(222-=+-=--⋅---=⋅y y x y x y x PB PA
内于点P 在圆O 内做⎪⎩⎪⎨⎧=-<+2
4
22
2y x y x
由此得：y 2
<1, 所以 ⋅的取值范围为).0,2[-
21.
22．选修4—1：几何证明选讲
证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．
因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，
所以PA 2
＝PC ·PB ．……………………………… 3分
因为PA ＝4，PC ＝2，
所以42
＝2×(2＋2r )，解得r ＝3．……………… 5分 所以PO ＝PC ＋CO ＝2＋3＝5，AO ＝r ＝3． 由PA 是圆O 的切线得PA ⊥AO ，故在Rt △APO 中， 因为AQ ⊥PO ，由面积法可知，12×AQ ×PO ＝1
2×AP ×AO ，
即AQ ＝AP ×AO PO ＝4×35＝12
5
． …………………… 10分
23．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（方法一）
直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． …………………………………… 3分 因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)， 从而点P 到直线l 的距离
d ＝
|3＋cos θ－3sin θ＋3|
12
＋(－3)
2
＝
|23－2sin(θ－π
6
)|
2
． …………………… 7分
所以d min ＝3－1．
即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ……………………………… 10分 (方法二)
直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………………………… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1． 从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝
|3－0＋3|12
＋(－3)
2
＝3． ………………………… 6分
所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………………………… 10分
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