2016届重庆市第一中学高三12月月考数学(文)试题
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
重庆市2016届高三数学12月月考试题文
重庆南开中学高2016级高三（上）12月月考数学试题（文史类）I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、函数sin cos y x x =+最小正周期是（ ） A 、2πB 、πC 、2πD 、4π 2、已知i 为虚数单位，则2413i i+=+（ ）A 、5 B 、5 C 、25 D 、53、已知函数22y x x =-的定义域为区间A ，值域为区间B ，则A C B =（ ） A 、()1,2B 、(]1,2C 、()0,1D 、(]0,14、等比数列{}n a 中，0n a >，公比482,8q a a =⋅=，则267a a a ⋅⋅=（ ） A 、2B 、4C 、8D 、165、已知,a b R ∈，且24a b +=，则33ab +的最小值为（ ） A 、23B 、6C 、33D 、126、已知向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma nb +与2a b -共线，则mn=（ ） A 、12B 、2C 、12-D 、2-7、已知双曲线22219x y b-=的一个焦点在圆22280x y x +--=上，则双曲线的离心率为（ ）A 、43B 、53C 、11 D 、238、已知函数()y f x =满足()2'34f x x x =--，则()3y f x =+的单调减区间为（ ） A 、()4,1-B 、()1,4-C 、3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D 、3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭9、运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A 、2-B 、2C 、5D 、710、若,x y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a的取值范围是（ ） A 、[]6,2-B 、()6,2-C 、[]3,1-D 、()3,1-11、一个直三棱柱被一个平面截后剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积与剩余部分的体积之比为（ ） A 、1:2 B 、2:3 C 、4:5 D 、5:7 12、已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（ ） A 、276B 、358C 、143D 、378II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济宁市第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题(解析版)
济宁一中高三12月份定时检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）1. 已知1i22i z -=+，则z z -=（ ）A. i -B. iC. 0D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2. 若集合{}2230A x x x =--≤，(){}lg 10B x x =+≤，则A B ⋃=（ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤C. {}13x x -≤≤ D. {}13x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求A ，再根据对数函数的定义域及单调性求B ，最后求并集即可.【详解】由()()[]2231301,3x x x x x --=+-≤⇒∈-，即{}13A x x =-≤≤，由()(](]lg 10lg110,11,0x x x +≤=⇒+∈⇒∈-，即{}10B x x =-<≤，故A B ⋃={}13x x -≤≤.故选：C3. 已知()2,3AB = ，()3,AC t = ，1BC = ，则AB BC ⋅=（ ）A 8B. 5C. 2D. 7【答案】C 【解析】.【分析】由()1,3BC AC AB t =-=-及1BC = ，可得3t =，从而根据向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】解：因为()2,3AB = ，()3,AC t = ，所以()1,3BC AC AB t =-=-，因为1BC = ，所以()22131t +-=，解得3t =，所以()1,0BC =u u u r，所以21302AB BC ⋅=⨯+⨯=，故选：C.4. 函数()3e e x xf x x-+=的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD ；再以图像的切线情况去排除错误选项A ，即可得到函数()3e e x xf x x -+=的正确图像.【详解】()3e e x xf x x -+=的定义域为{}0x x ≠()()()()33e e e e x x x xf x f x x x ----++-===---，则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD ；()()()()()3264e e 3e e e 3e e xx x x xx x x x x e x f x x x ------+--+'==的则()()()1010101010104410e e 3e e 7e 13e 1001010f -----+-'==>即函数()f x 在点()()10,10f 的切线斜率为正值，选项A 的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A.选项B 的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点.故选：B 5. 已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 3329πππθαααα⎛⎫⎛⎛⎫+=+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2532a a a =，47245a a +=，则5S =（ ）A. 29 B. 31C. 33D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据2532a a a =，47245a a +=可求出首项1a ，公比q ，然后利用等比数列求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，所以3252222a a a a q a q =⨯=，即222a q =，则42a =.又因为47245a a +=，故有714a =.所以37418a q a ==，则12q =，所有41316a a q ==，所有551161231112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，故B 项正确.故选：B.7. 已知抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，则其焦点坐标为（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由抛物线的定义可求p 的值，进而可求焦点坐标.【详解】解： 抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知322M p y +=，即3122p +=，所以1p =，所以122p =，∴抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A .8. 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则平面BCG 与平面EMQ 之间的距离是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，可推出11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，结合等体积法求得21A M ，结合对称性求得11M N 即可．【详解】如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，得21A C ==，由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故21EMQ S ==，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得1111323M ⨯=，解得21A M =根据对称性知2111A M N C =，所以112121112M N A C A M N C =--=-=，则平面EMQ 与平面BCG ．故选：D【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下列表述正确的是（ ）．A. 如果0a b >>，c d >，那么ac bd >B. 如果0a b >>>C. 如果0a b >>，0c d >>，那么11ac bd<D. 如果0a b ≥>，那么2a bb a +≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的单调性、不等式的性质等知识逐个验证选项即可．【详解】A ．如果0a b >>，c d >，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac bd =-=，故A 错误；B ．由于12y x ==在[0,)+∞为单调增函数，从而若0a b >>>B 正确；C ．如果0a b >>，0c d >>，则0ac bc bd >>>，而1()f x x =在(0,)+∞上单调递减，从而11ac bd<，故C 正确；D ．如果0a b ≥>，则22a a b b ≥+≥，故2a bb a +≤≤，故D 正确．故选：BCD ．10. 已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 必过点(1,0)B. 直线l 与圆E 必相交C. 圆心E 到直线l 的距离的最大值为1D. 当12m =时，直线l 被圆E 【答案】BC 【解析】【分析】利用直线和圆的相关性质求解即可.【详解】易知直线l 必过点(1,0)-，故A 错误；点(1,0)-在圆E 内，所以直线l 与圆E 必相交，故B 正确；圆心(0,0)E 到直线l 的距离d =，当0m =时距离取最大值1，故C 正确；当12m =时，直线:10l x y ++=，则直线l 被圆E 截得的弦长为=，故D 错误．故选：BC11. 把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B. ()g x 在[]0,π上有2个零点C. ()y g x =的图象关于直线π12x =对称D. ()g x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎢⎣【答案】BC 【解析】【分析】由题意，由函数sin(+)y A x ωϕ=的图象变换规律，求得()y g x =的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin 2y x =的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()πsin(2)3y g x x ==+的图象，π5π(,36x ∈时，π2(π,2π)3x +∈，则()g x 在π7π(,)312单调递减，在7π5π(,)126单调递增，故A 错误；令()0g x =，得π2π(Z)3x k k +=∈，即ππ26k x =-，因为[0,π]x ∈，所以ππ0π26k ≤-≤，解得1733k ≤≤，因为Z k ∈，所以1k =或2k =，所以()g x 在[]0,π上有2个零点，故B 正确；因为ππππ()sin(2)sin 1121232g =⨯+==，为()g x 的最大值，所以直线π12x =是()y g x =的图象的一条对称轴，故C 正确；当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()g x ⎡∈-⎢⎣，故D 错误.故选：BC12. 如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（ ）A. 37142L π=+ B. 31132S π=C. 1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D. 1212n n n S S π++=-【答案】ABD 【解析】【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，再分别写出n L 和n S 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可【详解】根据题意可得纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=- (1121)22n n n n L L π----=-，累加可得1210121112......222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112222111122n n ππ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++---1211222n n π--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以132171421222L ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=+，故A 正确，C 错误；又1211122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=- (121)2n n n S S π---=-，累加可得3521...2222n n S ππππ-=----111841214n ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--211132n π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故31132S π=正确，故B 正确；故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____．【答案】114##2.75【解析】【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解.【详解】解：1523a a a += ，∴112433a d a d +=+，∴1a d =，1012011045551119204S a d d a a d d +===+．故答案为：11414. 已知双曲线2222:1x y M a b-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO 为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.1+【解析】【分析】利用双曲线的对称性，连结1BF ，2BF ，根据图形分析可得12BF F △是直角三角形，且260BF O ∠= ，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点2F ，连结1BF ，2BF ，四边形1F ABO 是菱形，1212BO F F ∴=，12BF BF ∴⊥，并且根据对称性可知2OBF △是等边三角形，260BF O ∴∠=，1BF ∴=，根据双曲线定义可知，122B F B F a -=，2c a -=，即1c a ==1题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15. 如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm 和10cm ，侧面积为2780cm ，则其体积为________．【答案】32800cm 【解析】【分析】利用四棱台的结构特征，作出辅助线，根据侧面积列出方程，求出正四棱台的高，结合棱台的体积公式计算得结论【详解】如图，取11A B 的中点1E 、AB 的中点E ，上、下底面的中心1O 、O ，则1E E 为斜高，四边形11EOO E 为直角梯形．正四棱台的侧面积1114(1020)7802S EE =⨯⨯+⨯=，113cm EE ∴=，在直角梯形11EOO E 中，过点1E 作1M ⊥OE 于点M ，则115cm O E OM ==，11O O E M =，因为111115cm 2O E A B ==，110cm 2OE AB ==，所以5EM OE OM =-=cm ，1112O O E M ∴====cm ，∴该四棱台的体积为()()223112102010202800cm 3V =⨯⨯++⨯=故答案为：32800cm 16. 已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)1,+∞【解析】【分析】求导可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，故()()1212|xxf x f x a e e --等价于()()2121x xf x f x ae ae -<-，即()()1212xxf x ae f x ae ->-，设()()()1,0,2x xh x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤=-=++-∈⎢⎥⎣⎦，易知函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()()'10xh x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1xx cosx a e +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()()1,0,2xx cosx g x x eπ+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()211'0()x xx xcosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e ⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤，故函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥．故答案为：[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()sin()14f x x x π=+-．（1）求()4f π的值及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间[0,2π上的最大值和最小值．【答案】（1）(14f π=；单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈（2；最小值1-【解析】【分析】（1）由()sin()14f x x x π=+-，直接求()4f π；将函数转化为())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解；（2）根据函数())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解.【小问1详解】解：()sin 1442f πππ=-，11=-，1=；()sin(14f x x x π=+-，)1x x x =⋅-， 22sin cos 2cos 1x x x =+-，sin 2cos 2x x =+，4x π=+，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，322244k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈；【小问2详解】因02x π≤≤，所以52444x πππ≤+≤，所以sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 故124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，当2,42x ππ+=即8x π=时，()f x；当2,44x π5π+=即2x π=时，()f x 有最小值1-.18. 已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+ （2）()1422n n T n +=-++【解析】【分析】（1）利用赋值法可得数列的首项及公差；（2）利用错位相减法求数列的前n 项和.【小问1详解】当1n =时，1228a a +=①，当2n =时，23211a a +=②，②-①得，33d =，解得1d =，所以12112228a a a a +=++=，12a =，所以()2111n a n n =+-⨯=+；【小问2详解】由（1）得1n a n =+，为则()()2232nn n nn b a =++=，()()12314252622232n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+++++ ，()()234124252622232n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+++++ ，()12314222232n n n T n +∴-=⨯++++-+ ()()21121283212n n n -+-=+-+-()1422n n +=-+，()1422n n T n +∴=-++.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是BC 的中点.（1）求证：1//BD 平面1C DE ；（2）已知120ABC ∠=︒，1AA =，求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析. （2【解析】【分析】（1）连接1CD 交1DC 于O ，连接OE ，易得1//OE BD ，再根据线面平行的判定即可证结论.（2）F 为AB 中点，结合已知可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，写出对应点坐标，并求出直线1A D 的方向向量和平面1C DE 的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【小问1详解】由题设，连接1CD 交1DC 于O ，易知：O 是1CD 的中点，连接OE ，∵E 是BC 的中点，∴1//OE BD ，又OE ⊂面1C DE ，1BD ⊄面1C DE ，∴1//BD 面1C DE .【小问2详解】底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，即60DAB ∠=︒，若F 为AB 中点，则DF AB ⊥，∴30ADF ∠=︒，故在直四棱柱1111ABCD A B C D -中有DF DC ⊥、1DD DC ⊥、1DD DF ⊥，∴可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，∴1131(0,0,0),,0),42D E C A -，则1131,0),42DE DC DA ===- ，若(,,)m x y z = 是面1C DE的一个法向量，则13040DE m x y DC m y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令x =m=-，∴111|cos,|||||||m DAm DAm DA⋅<>===，故直线1A D与平面1C DE.20. 已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，6328SS=，数列{}nb满足()33log1n nb a=+．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若对任意的*n∈N，3n nb aλ<恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）13nna-=，*n∈N；32nb n=-，*n∈N（2）9,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=求得公比，再由11a=求解；进而由()33log1n nb a=+求解.（2）由332nnλ<-对于任意的*n∈N恒成立，令()332nf nn=-，*n∈N，求得其最小值即可.【小问1详解】解：设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=，显然1q≠，所以631281qq-=-，解得3q=，由于11a=，所以{}n a的通项公式为13nna-=，*n∈N；所以()1333log13log3132nn nb a n-=+=+=-，*n∈N，所以{}n b的通项公式为32nb n=-，*n∈N．【小问2详解】因为3n nb aλ<恒成立，即332nnλ<-对于任意*n∈N恒成立．的令()332nf n n =-，*n ∈N ，则()()()()()136733131323132n n nn f n f n n n n n +⋅-+-=-=+-+-，当1n >时()()1f n f n +>，，所以()()()()1234f f f f ><<<⋅⋅⋅，即()f n 的最小值为()924f =，所以实数λ的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝，且C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．【答案】（121y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）对直线l 分两种情况讨论，直线l 与x 轴重合时，直接求出PA PB ⋅的值，在直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出PA PB ⋅关于m 的代数式，综合可得出PA PB ⋅的取值范围．【详解】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立，由韦达定理可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+，由弦长公式可得()()221223114m PA PB m y y m +⋅=+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥ ，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+.综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数()21)xf x e ax a =-->（，（1）证明：函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）若函数()y f x =有两个不同零点12,x x 且12x x >，当12x x -最小时，求此时a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）求出导数，可判断()f x 在(,0)-∞单调递减，再根据零点存在性定理即可判断；（2）令120t x x =->，则由题可得()22212x t x e e ea tx --==，利用导数可得1()(0)t e g t t t -=>在(0,)+∞单调递增，判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值即可.【详解】（1）()x f x e a '=-， 0x <，1x e ∴<，又1a >，∴()0f x '<，∴()f x 在(,0)-∞单调递减，(0)10f =-<，220a f e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，存在唯一02,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得0()0f x =，所以函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）由条件知12122020x x e ax e ax ⎧--=⎨--=⎩，1212121222x x x x e e e e a x x x x ---∴===-，令()22122120,x t x e e e t x x a t x --=->∴==，则有22212x t x e e t x e --=，令1()(0)t e g t t t -=>，2(1)1()t t e g t t -+='，令()(1)1t h t t e =-+，()0th t te =>'，()h t ∴(0,)+∞单调递增，()(0)0h t h ∴>=，()g t ∴在(0,)+∞单调递增，要求t 的最小值即求()g t 最小值，令()22222x x e v x x e -=，()()()22222222222222,12220x x x x x x e x e x e v x x x e x e'-+-+-==<，在令()22222x m x x e =+-，()2220x m x e =->'，()2m x ∴在(,0)-∞单调递增，又1(0)10,(1)0m m e -=>-=-<，∴存在唯一0(1,0)x ∈-使得()00m x =.此时0022x e x =+，2x ()0,x -∞0x ()0,x +∞()2v x '-0+()2v x 极小 当02x x =时，()2v x 有最小值故12x x -取最小值时000022222x x e a x x +--===.【点睛】关键点睛：解决本题得关键是得出()22212x t x e e e a t x --==，利用导数判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值.。
2016届重庆市一中高三12月月考数学(理)试题(解析版)
2016届重庆市一中高三12月月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}23|1,|1213nM x N n n Z x ⎧⎫=<=≤≤∈⎨⎬⎩⎭且，则N M = （ ）A ．{}2,3B ．{}3C ．⎡⎣D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】试题分析：由{}|1213={1,2,3}nN n n Z =≤≤∈且知N M = {}2,3，故选A ．【考点】集合的交集．2．已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(21)(5)P c P X c X <+=>+，则c =（ ） A ．43-B ．-1C ．0D ．4 【答案】C【解析】试题分析：因为(21)(5)P X c P X c <+=>+，由正态分布的对称性知，=21X c +与=5X c +关于对称轴3X =对称，从而21+5=23c c ++⨯，所以0c =，故选C ．【考点】正态分布．3．已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z =（ ）A ．5B ．3 D 【答案】B【解析】试题分析：因为(1)112x x i yi i +==+-，所以(1)2(1)x i yi +=+，从而2,1x y ==，z =，故选B ．【考点】复数的运算．4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900 【答案】A试卷第2页，总16页【解析】试题分析：由频率分布直方图知，支出在[)50,60的频率为10.10.240.360.3---=，所以301000.3n ==，故选A ． 【考点】频率分布直方图．5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A．2x y =± B．2y x =± C．4x y =± D．4y x =± 【答案】D【解析】试题分析：由题意知椭圆焦距和双曲线焦距相等，所以22223523m n m n -=+，即228m n =，所以双曲线的渐近线方程是y ===，故选D ． 【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的几何性质．6．在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（ ） A ．34 B ．14 C ．12 D ．23【答案】B【解析】试题分析：由题意，01,01x y <<<<，所以基本事件空间是边长为1的正方形面积，满足2y x ≥的事件区域是三角形区域，所以1u Ω=，1111224A u =⨯⨯=，根据几何概型得：14A u P u Ω==，故选B ． 【考点】几何概型．7．如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）A ．362π+B ．365π+C ．368π+D ．3620π+ 【答案】A【解析】试题分析：该几何体是由一个长宽高分别为3,3,4的长方体，高是1，底面直径为2的两个圆柱构成的组合体，其体积为2334211362V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+，故选A ．【考点】三视图．8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】试题分析：设每个人由少到多的顺序得到面包数分别为12345,,,,a a a a a ，因为每个人所得的面包成等差数列，设公差为d ，则有1120510a d =+ ①；又最大的三份之和是较小的两份之和的7倍，得到：1111208a a d ++=⨯②，联立①②解得12a =，故选C ．【考点】1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式．9．若实数,x y 满足条件120y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-1B ．-2C ．52-D ．72- 【答案】D【解析】试题分析：作出可行域，如图所示.作直线0:l 20x y -=，再作一组平行于0l 的直线:l 2z x y =-，当直线l 经过点A 时，2z x y =-取得最小值，由21y x y x =+⎧⎨=-+⎩得：1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以min 17322z =--=-，故选D ． 【考点】线性规划．试卷第4页，总16页10．执行下图所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（ ）A ．120B ．240C ．360D ．720 【答案】C【解析】试题分析：初始条件6,4n m ==；运行第一次，133p =⨯=，2k =；运行第二次，13412p =⨯⨯=，3k =；运行第三次，134560p =⨯⨯⨯=，4k =；运行第四次，13456360p =⨯⨯⨯⨯=，不满足条件，停止运行，所以输出的360p =，故选C ．【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“4k <”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 【考点】程序框图．11．已知函数())cos()sin()cos()2f x x x x x πππ=--++-图像上的一个最低点为A ，离A最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB AC ⋅=（ ）A ．299π+B ．299π-C ．244π+D ．244π-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2(3s i n ()o s ()s i n (22f x x x xx x x πππ=--++-=-1cos 212sin(2)262x x x π-=-=+-，所以T π=，由正弦型函数图象的对称性知：AB AC = ，所以2cos AB AC AB BAC ⋅=⋅∠ ，设AB 、AC 分别交对称轴:l 12y =-于M 、N 点，过A 做AE l ⊥于E ，由周期知4ME π=，由()f x 知1AE =，在直角三角形AME 中，AM =，1cos MAE AM ∠=，又222c o s c o s 22c o s 11B A CM A E M A E AM ∠=∠=∠-=-， 所以2222222cos 4(1)8484(1)4164AB AC AB BAC AM AM AM ππ⋅=⋅∠=-=-=-+=-，故选D ．【考点】1、诱导公式；2、二倍角的正弦、余弦公式；3、两角和正弦公式；4、正弦型函数图象与性质；5、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是向量的数量积、诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式、两角和正弦公式及正弦型函数的图象与性质，属于难题．解题时一定要注意三角函数化简要准确，得到正弦型函数之后，充分考虑周期，对称性等性质．在求向量的数量积时，注意平面几何的运用，通过直角三角形的处理，求得AM 及1cos MAE AM∠=，再利用2AB AM =，cos cos 2BAC MAE ∠=∠进行处理．12．已知函数42421()()1x kx f x k R x x ++=∈++，若对任意三个实数a 、b 、c ，均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．24k -<<B ．142k -<< C ．21k -<≤ D ．112k -<≤【答案】B 【解析】试题分析：当x ≠时，4224242221(k 1)1()()11111x kx x k f x k R x x x x x x++--=∈=+=+++++++，令2211t x x =++，则3t ≥，所以①10k -=时， 即1k = ，()()()1f a f b f c ===，满足题意； ②10k ->时，当0x ≠时，111113k k y t --<=+≤+，又0x =时，(0)1f =，所以11()13k f x -≤≤+，所以2(1)2()()23k f a f b -≤+≤+，11()13k f c -≤≤+，由()()f(c)f a f b +>恒成立，所以11+23k -<，所以14k <<；③10k -<时，111113k k y t --+≤=+<，所以11()13k f x -+≤≤，2(1)2()()23k f a f b -+≤+≤，11()13k f c -+≤≤，由题意，2(1)213k -+>，所以112k >>-，综上故142k -<<，试卷第6页，总16页故选B ．【考点】1、函数的值域；2、基本不等式；3三角形的性质；4、分类讨论． 【方法点晴】本题主要考查的是利用基本不等式研究函数的值域及根据值域研究构成三角形的问题，属于难题．本题需要将均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，转化为任意两边之和大于第三边，即()()f(c)f a f b +>，然后利用()()f a f b +的最小值大于f(c)的最大值，所以这类问题重点转化为函数最值及恒成立问题，难度较大．二、填空题13．已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-，则a =________． 【答案】-1【解析】试题分析：由题意()21a f x x x '=++，所以(0)f a '=，又切线方程为y x =-，所以1a =-，所以答案应填：1-．【考点】导数的几何意义． 14．已知51(1)(1)x x-+ 的展开式中(15)r x r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________．【答案】2【解析】试题分析：由二项式展开式的通项知：51(1)(1)x x-+ 的通项为1551(1)()r r r r r C x C x x x--=-，所以51(1)(1)x x-+ 的展开式为0011102233244355555C ()C ()C ()C ()C ()x x x x x x x x x x --+-+-+-+-5545C ()x x +-，因为2355C C =，所以展开式中不含有2x 的项，所以答案应填：2．【考点】二项式定理．15．设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若ABC ∆的面积为2，AB 边上的中且cos sin b a C c A =+，则ABC ∆中最长边的长为________．【答案】4【解析】试题分析：因为c o s s i n b a C c A =+，根据正弦定理得：sin sin cos sin sin B A C C A =+，所以sin(A C)sin cos sin sin A C C A +=+，展开整理得：tan 1A =，因为A 是三角形内角，所以4A π=，因为1sin 224s bc π==，解得bc =，设中点为M ，在A M C ∆中，由余弦定理得：2264c b +=，所以22cb +=+bc =2,b c ==4b c ==，所以最大的边是4，所以答案应填：4．【考点】1、正弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角差的正弦公式；4、余弦定理． 【方法点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，两角和正弦公式和三角形面积公式，属于难题题．解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分．当确定角A 后，充分使用这一条件，得出bc =22c b +=43A ππ=<，必定不是最大角，从而a 不是最大边．16．如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：[]22,0,10x y y =∈．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】试题分析：设小球截面球心)b （0，，抛物线上任意点)x y （，，则点到圆心距离的平方是222()r x y b =+-2222222(1)y y by b y b y b =+-+=+-+，当2r 的最小值在(0,0)处取得时，小球触及杯底，即y 0=时二次函数取最小值，所以对称轴y 10b =-≤，解得：01b <≤，所以球的半径最大值为1，所以答案应填：1． 【考点】1、圆的性质；2、抛物线的的性质．【方法点晴】本题主要考查的是二次函数单调性的应用、抛物线的性质及圆与圆锥曲线的的综合，属于难题．解题时要把球与酒杯底部相切，转化为抛物线上动点到球心距离的最小值在抛物线顶点取得，进而转化为二次函数的最小值在0y =处取得，从而二次函数对称轴在0y =左侧，求出圆的圆心范围，从而得出半径的最大值，注意转化的数学思想在解题中的应用． 17．（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该试卷第8页，总16页（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量，独立性检验临界值表为：【答案】（1）15%；（2）有关，理由见解析；（3）分层抽样较好，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）由22⨯列联表知需要帮助的有75人，共500人，占比7515%500=；（2）根据独立性检验的公式计算2K ，根据检验临界值表得出结论；（3）由题意男性女性需要帮助的比例有显著差异，所以应采取分层抽样． 试题解析：（1）调查的500位老年人中有75位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为15%．（2）22500(5022525200)5006.6352502507542551K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【考点】1、22⨯列联表；2、独立性检验；3、分层抽样．三、解答题18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13(1),n n S a n Z +-=-∈． （1）求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足13()2n na b n a -= ，若n b t ≤对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）13()2n n a -=；（2）43t ≥． 【解析】试题分析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=，知数列是等比数列，写出通项公式；（2）已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=- ，当4n ≥时，10n n b b -->，所以数列是递减数列，此时3n b b >，当3n =时，23b b =，又12b b <，所以数列中最大的项是23b b =，从而2t b ≥即可．试题解析：（1）由已知32n n S a =-，令1n =可得11a =，又11113332n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=-⇒=， 所以数列{}n a 是以1为首项，32为公比的等比数列，所以13()2n n a -=． （2）有已知可求得211122(),(3)33n n n n n n b n b b n ----=-=-，所以max 234()3n b b b ===，则43t ≥． 【考点】1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题． 19．我国政府对PM2.5采用如下标准：某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）146天． 【解析】试题分析：（1）由茎叶图及中位数概念知，中位数为41；（2）由二项分布知，(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，441.610E ξ⨯==；（3）试卷第10页，总16页一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η ，得到23651465E η=⨯=（天）．试题解析：（1）10天的中位数为(3844)/241+=（微克/立方米）（2）由于(10,4,4)H ξ ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-=== ，即得分布列如下：所以441.610E ξ⨯== （3）一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η，得到23651465E η=⨯=（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天． 【考点】1、茎叶图；2、样本的数字特征（中位数）；3、二项分布；4、分布列、期望．20．已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C的离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在一个定点(0,1)T ． 【解析】试题分析：（1）因为直线截圆的弦长为1，所以1b =，又离心率e =，可求a =（2）假设存在(,)T u v ，斜率存在时设直线方程13y kx =-，联立直线与椭圆，根据直线与圆锥曲线的位置关系得12212189kx x k +=+，12216189x x k -=+，因为以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以0TA TB ⋅= ，将TA TB ⋅ 表示为12x x +，12x x ，然后代入整理得：222222(666)4(3325)062u v k ku u v v k +--+++-=+恒成立，即不论k 取何值，22222(666)4(3325)0u v k ku u v v +--+++-=，因此系数及常数项恒为0，解得0,1u v ==，当斜率不存在时，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ．试题解析：（1）则由题设可求的1b =，又e =，则a =C 的方程是2212x y +=．（2）解法一：假设存在点(,)T u v ，若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理得22(189)12160k x k +--=．设点A B 、的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189kx x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为111222(),()TA x u y v TB x u y v =--=-- 及112211,33y kx y kx =-=-，所以2121()3v T A⋅=222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-+．当且仅当0TA TB ⋅= 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266604033250u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩，解得0,1u v ==，此时以AB 为直径的圆恒过定点(0,1)T ．当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点(0,1)T ． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T ，满足条件．解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为试卷第12页，总16页22116()39x y ++=， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由22221116()39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． ．．．．．7分 事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点(0,1)T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-， 代入椭圆方程并整理得22(189)12160k x kx +--=，设点A B 、的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=- ，所以有2222121212121224161616163216()1(1)()039189k k k TA TA x x y y y y k x x k x x k ---++⋅=+-++=+-+==+ ，所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点(0,1)T ，综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T 满足条件．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、圆的几何性质；4、向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系及定点的存在型问题，属于难题．解题时的突破点在于以AB 为直径的圆恒过定点T ，利用圆的几何性质知TA TB ⊥ ，从而只需计算0TA TA ⋅= 恒成立，进入常规直线与圆锥曲线位置关系的计算即可，同时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误．21．已知存在实数,,a b c和,,αβγ使得32()f x x ax bx c =+++()(x x x αβγ=---． （1）若1a b c ===-，求222αβγ++的值；（2）当11()32αβγαβ-=>+且时，若存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n ++-=对任意x R ∈恒成立，求()f m 的最值．【答案】（1）3；（2）最大值486，无最小值． 【解析】试题分析：（1）当1a b c ===-时，32()1()()()f x x x x x x x αβγ=---=---，展开，对应项系数相等，所以1αβγ++=，1αββγγα++=-，从而2222()2()3αβγαβγαβ++=++-++；（2）由存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n++-=对任意x R ∈恒成立，可以证明(,)m n 是函数对称中心，又2()320f x x ax b '=++=的解12,x x 是()f x 的极值点，(,)m n 是对称中心，所以1223x x a m +==-，计算()()()()()3333a a a a f m f αβγ=-=------，又a αβγ++=-，13αβ-=，代入整理得： [][][]21()3()23()116()27f m γβγβγβ=---+-- ，换元得：21()(32)(31)(16)27f m t t t =-+-，利用导数求其最值． 试题解析：（1）由题意1,1a b αβγαββγγα++=-=++==-2222()2()3αβγαβγαββγγα⇒++=++-++=（2）由题意知()y f x =关于(,)m n 中心对称，所以m 取两个极值点的平均值，即3a m =-，则有 [][][]22()()()()()33331(2)(2)(2)2713()23()116()271(32)(31)(16)27a a a a f m f t t t αβγβγααγβαβγγβγβγβ=-=------=+-+-+-=---+--=-+- 其中11()26t γβαβ=->-=，令()(32)(g t t t t=-+-，则2()9(1861g t t t '=---，所以()g t在1(6上递增，在)+∞上递减．试卷第14页，总16页由此可求出max 21()27f m g ==，()f m 无最小值． 【考点】1、利用导数研究函数的最值；2多项式的性质；3、函数图像的中心对称性；4换元法．【方法点晴】本题主要考查的是多项式恒等、函数图象的中心对称性质、利用导数研究函数的最值，属于难题．本题最大特点在于运算，利用多项式恒等得,,a b c 与,,αβγ关系，222αβγ++变形为2()αβγ++与αββγγα++的形式，求解，而第二问根据中心对称的性质处理m ，对()()3a f m f =-进行大量变形，换元后利用导数求最值，对思维能力，运算能力要求较高．22．如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径．（1）求AC AB的值； （2）若BC =，求2O 到弦AB 的距离．【答案】（1）23；（2）１． 【解析】试题分析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，由圆直径性质得：2ABD ACE π∠=∠=，所以//BD CE ，利用平行线分线段成比例求解；（2）RT ABD ∆中，解出030A ∠=，再利用直角三角形求解．试题解析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，∵圆1O 与圆2O 内切于点A ，∴点2O 在AD 上．∴AD ，AE 分别是，圆1O 与圆2O 的直径．∴2ABD ACE π∠=∠=．∴//BD CE ． ∴23AC AD AB AE ==． （2）若BC =，由（1）问结果可知AB =6AD =，所以在RT ABD ∆中，030A ∠=，又由22AO =，推得2O 到弦AB 的距离为1【考点】1、圆的直径的性质；2、平行线判定与性质；3、直角三角形中角的三角函数．23．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值．【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标互化公式；（2）写出过点M 的直线l 的标准参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入圆的方程，得：210t -=，利用参数的几何意义表示MA MB +，从而求解．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=，（2）直线l 的普通方程为3y x =+，点M 在直线上l 的标准参数方程为221x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．代入圆方程得：210t -=．设A B 、对应的参数分别为12t t 、，则12t t +=121t t =．于是1212MA MB t t t t +=+=+=【考点】1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．24．已知函数()21,f x x x R =-∈．（1）解不等式()1f x x <+；（2）若对于,x y R ∈，有111,2136x y y --≤+≤．求证：()1f x <． 【答案】（1）02x <<；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）利用绝对值的性质()()f x a a f x a <⇔-<<求解即可；（2）试卷第16页，总16页 将21x -用1x y --和21y +表示出来，得：()212(1)(21)f x x x y y =-=--++，再利用绝对值的性质a b a b +≤+证明．试题解析：（1）()1121102f x x x x x <+⇔-<-<+⇔<<．（2）()212(1)(21)f x x x y y =-=--++115212121366x y y ≤--++≤⨯+=<． 【考点】1、绝对值不等式； 2、绝对值不等式的性质．。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
2022-2023学年重庆市第一中学校高三上学期12月月考化学试题
2022~2023学年重庆一中上期学情调研
高三化学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题；本题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(4)94.5%
(5)
18．C9H10O49.5氧化反应 +2NaOH +H2O+CH3OH 13
化学参考答案
1．B 2．C 3．C 4．D 5．D 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 13．C 14．D15．氯Cu2+的价电子排布式为3d9，Cu+的价电子排布式为3d10，3d能级上电子全满时较稳定，则Cu2O的稳定性强于CuO N>O>S S2->N3->F-O>N>C>H
已知：①二甲硫醚是一种无色挥发性液体，由硫酸二甲酯与硫化钠反应制得：(CH3O)2SO2+Na2S→CH3SCH3+Na2SO4
②硫酸二甲酯，微棕色油状液体，遇水迅速水解成硫酸和甲醇；
③HNO2为一元弱酸，不稳定，易分解为NO和NO2。
(1)仪器B的名称为_______；仪器D的作用是_______。
（4）Z、M、E所形成的简单离子的半径由大到小的顺序为__________（用离子符号表示）。
（5）X、Y、Z、Q的电负性由大到小的顺序为_______（用元素符号表示）。
16．某柔性屏手机的柔性电池以碳纳米管做电极材料，以吸收ZnSO4溶液的有机高聚物做固态电解质，其电池总反应为：MnO2+Zn+(1+ )H2O+ ZnSO4 MnOOH+ ZnSO4[Zn(OH)2]·xH2O，电池结构如图甲所示，图乙是有机高聚物的结构片段。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷202525
高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【热点题型】题型一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【提分秘籍】作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【举一反三】设函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．题型二利用三角函数图象求其解析式例2、(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f(0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．【提分秘籍】已知f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【举一反三】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为( )A ．－32B ．－62 C.3 D ．－ 3(2)函数f(x)＝Asin(ω＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为______．题型三函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】已知向量a ＝(m ，cos 2x)，b ＝(sin 2x ，n)，函数f(x)＝a·b ，且y ＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．【提分秘籍】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f(x)化为y ＝asin x ＋bcos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【举一反三】已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值； (2)求函数y ＝f(x)＋f⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 【高考风向标】【高考山东，文4】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点最近的对称中心.5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，1．(·天津卷) 已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π2．(·安徽卷) 若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π43．(·重庆卷) 将函数f(x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．4．(·北京卷) 函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．.5．(·福建卷) 已知函数f(x)＝2cos x(s in x ＋cos x)．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．6．(·广东卷) 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A ．l1⊥l4B ．l1∥l4C ．l1与l4既不垂直也不平行D ．l1与l4的位置关系不确定7．(·湖北卷) 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)． (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．8．(·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 9．(·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 10．(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③11．(·山东卷) 函数y ＝32sin 2x ＋cos2x 的最小正周期为________． sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .12．(·陕西卷) 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π134．(·浙江卷) 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位14．(·四川卷) 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度15.(·四川卷) 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【高考押题】1．函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π2．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π43．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象 ( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3解析 由图象知f(x)的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，又T ＝2πω，ω>0，∴ω＝2.由于f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的一个最高点为⎝⎛⎭⎫5π12，2，故有2×5π12＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，即φ＝2kπ－π3，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π3，选A.答案 A5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A ．y ＝f(x)是奇函数 B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 6．将函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝______．7．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f(x)＝________．8．设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f(x)的最小正周期为________．9．已知函数f(x)＝4cos x·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标系上作出f(x)在[0，π]上的图象．10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成[50,60),[)[)60,70,70,80,[80,90),[90,100)五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（）据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．分层抽样主要用于个体数量较多，且个体间具有明显差异的，这时采用分层抽样合适．4．D【分析】分甲得2个和甲得1个磁力片两种情况分类求解，再由分类加法计数原理得解.【详解】若甲分得两个磁力片，共有1232C A 6=种分法，若甲只分得一个磁力片，共有2232C A 6=种分法，由分类加法计数原理，可得共有6612+=种分法.故选：D 5．A【分析】根据递推关系式可知数列{}n a 是以6为周期的周期数列，根据周期性和对数运算法则可求得结果.【详解】由题意知：0n a >，31n n a a +=Q ，361n n a a ++\=，6n n a a +\=，即数列{}n a 是以6为周期的周期数列；()()()1234561425361a a a a a a a a a a a a ==Q ，()()()33712202412202412345612ln ln ln ln ln ln a a a a a a a a a a a a a a \++×××+=×××××=+ln1ln 2ln 2=+=.故选：A.6．C【分析】根据题意找出相应的规律，第37个数为第21行第3个数，从而可求解.【详解】由题意可得每行有2个数且从第3行开始计数，所以第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数，所以20n =，3r =，所以3122020C C 190-==.故C 正确.故选：C.=。
6.3 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际-2017届高三数学跨越一本线 含解析
2017届高三数学跨越一本线精品问题三 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题 不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考． I 基础知识 1．(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222ba ab +≤(当且仅当b a =时取“=")．2．(1）若00a ,b >>,则abb a ≥+2；(2)若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”)； （3)若00a ,b >>，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）．3．若0x >，则12x x+≥(当且仅当1x =时取“=”)；若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“="）;若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x+≤-(当且仅当b a =时取“=”）．4．若0>ab ，则2≥+ab ba （当且仅当b a =时取“="）；若0ab ≠,则2a bb a+≥，即2a b ba+≥或2a b ba+≤-(当且仅当b a =时取“=”）．5．若R b a ∈,,则22222a ba b （当且仅当b a =时取“=”）．II拓展1．一个重要的不等式链：2112a b a b +≤≤≤+．2。
()()22223()3ab bc ca a b c a b c ++≤++≤++3．函数()()0,0b f x ax a b x=+>>图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如右图所示：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质:①值域：()2,ab ab,⎡-∞-+∞⎣;②单调递增区间：,,,b ba a ⎛⎤⎫-∞-+∞ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎭；单调递减区间：,,0b ba a ⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．注：(1）当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． III 基本不等式的应用 一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中,以定值为本．因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用．主要有两种类型:一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式． 类型一 给出定值【例1】【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知,a b ∈R ,且24a b +=，3b+的最小值为( ）A． B ．6 C． D ．12 【答案】B【解析】36b+≥==，当且仅当a=2,b=1时,等号成立．故选B ．【小试牛刀】设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是__________． 【答案】14．【分析一】考虑通法,消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】121)2(2)1()12(1222222222=++≥+++++++=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++xy y x y x y x y x y x y x y y x x 【分析二】考虑整体替换的方法，分母的和为常数． 【解析二】设2x s +=,1y t +=，则4s t +=，()()()2222214141414262,21s t x y s t s t x y s t s t s t s t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-++-+=+++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()224114114915,.444214t s x y s t s t s t s t x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥∴+≥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 类型二 未知定值【例2】【2017届山西晋中榆社中学高三11月月考】已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【答案】D【解析】434311333x y x x y x y x x y x ++=+-≥=++，当且仅当433x x yx y x+=+时取等号,故选D 。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷14613
高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【重点知识梳理】 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a ，b ∈R)． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R)． (4)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大) 【高频考点突破】考点一 利用基本不等式证明简单不等式 【例1】 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8. 【规律方法】利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是：利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【变式探究】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.考点二 利用基本不等式求最值 【例2】 解答下列问题：(1)已知a ＞0，b ＞0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值； (3)已知x ＜54，求f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值；(4)已知函数f(x)＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，求a 的值． 【规律方法】(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．【变式探究】(1)设a ＞0，若关于x 的不等式x ＋ax ≥4在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．16 D ．1(2)设0＜x ＜52，则函数y ＝4x(5－2x)的最大值为______．(3)设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为________．考点三 基本不等式的实际应用【例3】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 【规律方法】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【真题感悟】1.【高考湖南，文7】若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、42b a =ab 2.【高考重庆，文14】设,0,5a b a b ,则1++3a b 的最大值为________.3.【高考福建，文5】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a ，b 满足4a2－2ab ＋4b2－c ＝0且使|2a ＋b|最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．5．（·山东卷）若⎝⎛⎭⎫ax2＋b x 6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 6．(·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元7．(·重庆卷)若log4(3a ＋4b)＝log2ab ，则a ＋b 的最小值是________．8．（·四川卷）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是()A ．2B ．3 C.1728 D.109．(高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为()A ．0 B.98 C ．2 D.9410．（·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为() A ．9 B.92 C ．3 D.3 22 【押题专练】1．设非零实数a ，b ，则“a2＋b2≥2ab”是“a b ＋ba ≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5 3．若正数x ，y 满足4x2＋9y2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53C ．2D.544．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是 ( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若ax ＝by ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.126．设正实数x ，y ，z 满足x2－3xy ＋4y2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为 ( ) A ．0B ．1C.94D ．37．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 8．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．9．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)10．函数f(x)＝lgx2－x，若f(a)＋f(b)＝0，则3a＋1b的最小值为________．11．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。
函数问题的灵魂-定义域问题-学会解题之高三数学多题一解(解析版)
函数问题的灵魂——定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．方法一 直接法万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板第一步 找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形：（1） 分式中分母不为0； （2） 偶次方根中被开方数非负； （3） 0x 的底数不为零；（4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5） 正切函数tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．第二步 列出不等式（组）；第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域．【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =-- ） A ．[]1,2 B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)1,2【答案】C【分析】根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可.【详解】解：由题意得：1020x x ->⎧⎨-≥⎩ 解得12x x >⎧⎨≤⎩，即()f x 的定义域为(]1,2.故选：C.【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()261xf x x x x =-++-的定义域为（ ）A ．(][)23∞∞--⋃+，，B ．[)(]3112-⋃，，C ．[)(]2113-⋃，，D ．()()2113-⋃，，【答案】C【分析】由具体函数的定义域列出方程式即可得出答案.【详解】由26010x x x ⎧-++≥⎨-≠⎩，解得：23x -≤≤且1x ≠.故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可 【详解】由题意，得2sin102x π-≥，1sin22x π≥，所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈， 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B【变式演练2】5．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22ln 2y x x a x =+++的定义域为[)1,+∞，则=a （ ） A ．-3 B ．3C ．1D ．-1【答案】A【分析】根据题意可知1x =为方程220x x a ++=的一个根，从而可求出a 的值【详解】由22020x x a x ⎧++≥⎨+>⎩，得2202x x a x ⎧++≥⎨>-⎩，由题意可知上式的解集为[)1,+∞，所以1x =为方程220x x a ++=的一个根，所以120a ++=，得3a =-， 故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,4【答案】D【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解.【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤； 当0a <时，无法满足定义域为R ． 综上所述：04a ≤≤，D 正确． 故选：D【变式演练3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【答案】[1，+∞）【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x =++的定义域为R ， 即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立； 当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0， 解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立． 综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．方法二 抽象复合法 万能模板 内 容使用场景涉及到抽象函数求定义域解题模板 利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∈函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∈112x -≤≤，1122x ≤+≤∈函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ ∈24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为[24，]． 故选：D【变式演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31g x x =-的定义域为（ ） A ．1,43⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所()f x (,)a b [()]f g x ()a g x b <<[()]f g x [()]f g x (,)a b ()f x a x b <<()g x ()f x以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.【变式演练5】11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x -+=+，则{}10M x x =-<<， ()2122log 2xf x x -=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．方法三 实际问题的定义域万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 求函数的自变量的取值范围； 第二步 考虑自变量的实际限制条件；第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为( ) A ．()10,20 B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【答案】A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围. 【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为.①21305h t t =-求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数. 【答案】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ，描述见解析. 【解析】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ≤≤， 对于数集{|026}t t ≤≤中的任一个数t ，在数集{|0845}h h ≤≤中都有唯一确定的数21305h t t =-与之对应. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.【高考再现】1．【2017山东理】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ，则A B ⋂=（A ）（1，2） （B ） （C ）（-2，1） （D ）[-2，1)【答案】D【考点】 1．集合的运算2．函数的定义域3．简单不等式的解法．【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理． 2．【2016·全国卷①】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D【解析】 y ＝10lg x ＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意． 3．【2014山东．理3】 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A ．)21,0(B ．),2(+∞C ．),2()21,0(+∞D ．),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C ． 【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性． 4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】由解得或，故选D ． 【考点定位】函数的定义域与二次不等式．【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解．本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．6.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．22(x)log (x 2x 3)f [3,1](3,1)(,3][1,)-∞-+∞(,3)(1,)-∞-+∞0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 3-<x 1>x 256()4||lg 3x x f x x x -+=--(2,3)(2,4](2,3)(3,4](1,3)(3,6]-C ()y f x =()f x 2564||0,03x x x x -+-≥>-22,2,3x x x -≤≤>≠()f x (2,3)(3,4]C7．【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += ．【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数，所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数，所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以32a b +=-．【考点定位】指数函数的性质．【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用． 8．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ ． 【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域．由已知得2760x x +-≥，即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-．【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．【反馈练习】1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，只需21020x x x -≠⎧⎨->⎩，解得102x x ≠⎧⎨<<⎩，即函数定义域为{|01x x <<或12}x <<.故选D.2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数21y x =-A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )()()221log 21f x x x x =+--()1,2()(),02,-∞+∞()(),11,2-∞()()0,11,2A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->，即11x -<<，所以{}11A x x =-<<， 函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以()0,1A B =，故选：A. 【名师点睛】本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答. 【详解】函数()y f x =的定义域是[1，3]， ∈1213x ≤-≤，解得12x ≤≤． 又0x >，且1x ≠，∈(]1,2x ∈． 故函数()h x 的定义域是(]1,2． 故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，则函数()211f x x --的定义域为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．()()0,11,2 D ．()(),11,1-∞--【答案】C【分析】先求出()f x 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域. 【详解】因为函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，故1211x -<-<， 所以()f x 的定义域为()1,1-， 故函数()211f x x --中的x 需满足：211110x x -<-<⎧⎨-≠⎩， 故02,1x x <<≠，故函数()211f x x --的定义域为()()0,11,2.故选：C5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.6．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由复合函数的定义域求得集合B ，记2()1g x x x =-+，问题转化为求()g x 在x B ∈时的最小值，从而得参数范围．【详解】∈()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∈114x ≤≤，12134x -≤-≤，则12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．令()21g x x x =-+，x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，即a 大于()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．∈213()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∈()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为113416g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∈实数a 的取值范围是13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．7．（2019·河北张家口中学月考）若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】∵函数f （x ）的定义域为R ，∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ， ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；40cm ()y cm ()x cm ()10,20()0,10()5,10[)5,10②m ≠0时，则2080m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解得0＜m <8． 综上得，实数m 的取值范围是[0,8)，故选A ．【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．8．（2022·全国·高三专题练习）函数()1ln 34y x x=-+的定义域是________ 【答案】()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，所以()3,00,4x ∞⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭. 所以函数的定义域为()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 故答案为：()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 9．（2022·全国·高三专题练习）函数()()02112y x x x =++-的定义域是________． 【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果．【详解】函数()()02lg 2112x y x x x -=+++-的解析式有意义， 由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<，故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-．故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-10．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）函数()1f x x=-的定义域为___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数、分式及根式的性质列不等式组求定义域. 【详解】由解析式知：010x x >⎧⎨->⎩可得01x <<， 所以函数定义域为(0,1).故答案为：(0,1)11．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lg 1tan π14y x x =+-___________. 【答案】11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】使对数的真数大于零，二次根式的被开方数大于等于零列出不等式组，结合正切函数的性质求解.【详解】由题意得：21tan π0πππ,2140x x k k x +>⎧⎪⎪≠+∈⎨⎪-≥⎪⎩Z ，解得1142x -<<. 故答案为：11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭. 12．（2023·全国·高三专题练习）函数()()21lg 2f x x x +-的定义域是_______．【答案】1[,2)2- 【分析】依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域【详解】由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤< 则函数()()21lg 2f x x x =++-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2- 13．（2023·全国·高三专题练习）函数()()22log 29142f x x x =-+-的定义域为___________. 【答案】()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【详解】由题意可知()22log 291420x x -+->，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此229144x x -+>，求解可得2x <或52x >． 故答案为：()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 14．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lgcos 25f x x x =-的定义域为______．【答案】335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【分析】由题意可得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，分别令k =-1、0、1，综合即可得答案.【详解】由题意得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩， 令k =-1，解得35,2x π⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 令k =0，解得,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 令k =1，解得3,52x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上，定义域为335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 故答案为：335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域.【答案】定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【解析】如图，连接AD ，过,B C 分别作AD 的垂线，垂足为,E F ，因为AB BC CD a ++=，所以20BC EF a x ==->，即02a x <<， 因为120ABC ︒∠=，所以60A ︒∠=，所以2x AE DF ==， 3BE x =，13()2(2)222x x x y BC AD BE a x ⎤=+⋅=-++=⎥⎣⎦)222333333)323a a x x x ax x ⎫-=-=-⎪⎝⎭， 故当3a x =时，y 23，故它的定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. AB BC CD a ++=120ABC ︒∠=【点睛】本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．(1)设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置． 【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033km 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+，求得π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=，则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+-，则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+ π10sin 103cos 20,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ= 此时π101010tan103(km)63OP =-=- 所以确定污水处理厂的位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033 km 17．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 为曲线与x 轴的交点.(1)若直线l 过原点，且斜率为-2，与曲线交于点D ，求此时等腰梯形ABCD 的面积；(2)若设2CD x =，等腰梯形ABCD 的面积为()S x ，写出函数()S x 的解析式，并求出函数的定义域. 【答案】(1)12+；(2)()()2211S x x x =+-，定义域为()0,1【分析】（1）联立方程得到2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，再计算面积得到答案.（2）计算得到()2,21D x x --，根据面积公式得到解析式，再计算定义域得到答案. (1)直线l 方程为：2y x =-，22214y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，222x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去）， 故2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2AB =，()1222122S =+⨯=+(2)2CD x =，()2,21D x x --，故()()()22122212112S x x x x x =+⨯-=+-， ()22104y x y +=≥，2CD x =，故01x <<，故定义域为()0,1.。
重庆市第一中学2020届高三数学10月月考试卷 文
重庆市第一中学2020届高三数学10月月考试卷 文数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟． 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合11A x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，11,0,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则=B A I （ ）A. 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. 11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D.φ2．函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 3.设a R ∈，则“3a >”是“函数log a y x =在定义域上为增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知实数0,a b m R >>∈，则下列不等式中成立的是（ ）A ．2211a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22a b --> C ．m a b m >D ．b m ba m a+>+ 5.已知sin 3sin()2πθθ=+，则tan()4πθ+的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12 D ．12- 6．存在实数x ，使得不等式210x ax -+<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(,2][2,)-∞-+∞UC ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞U7．已知数列{}n a 满足：1111,(,2),(1)n n a a a n N n n n *-==+∈≥+则20a =（ ）A.1920 B. 1942 C. 6142 D. 9208．已知,,220,a b R a b ∈-+=且则124ab +的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C.12 D. 149．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =（ ）A. 55B. 11C. 50D. 60 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，若(1)2f =且(2)f x +为偶函数，则(8)(9)(2019)f f f ++=（ ）A ．2B ．1C ．6D ．411．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2212,21(),n n a a S n n N *+==++∈若对任意的n ∈*N ，123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++L 恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(,2]-∞B ．(,1]-∞C ．1(,]4-∞ D ．1(,]2-∞12．函数()x x f x e=，关于x 的方程2()(2)()20f x m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值 范围是( )A. 22(,2)e e e e -+B. 22(,)e e e e -+∞+C. 22221(,)e e e e -++∞+ D. 22221(,2)e e e e-++第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量(,1),(3,4),//a x b a b ==r r r r，则实数x =__________.14．曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则实数a =__________.15．点,A B 是圆22:4O x y +=上两个动点，||2,32,AB OC OA OB M ==-u u u r u u u r u u u r u u u r为线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为__________.16．某小商品生产厂家计划每天生产A 型、B 型、C 型三种小商品共100个，生产一个A 型小商品需5分钟，生产一个B 型小商品需7分钟，生产一个C 型小商品需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个A 型小商品可获利润8元，生产一个B 型小商品可获利润9元，生产一个C 型小商品可获利润6元．该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是__________元.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出演算步骤或证明过程）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知ABC ∆的面积为33，0cos 3sin =-A A ，13=a ，且b c >.（1）求边b ；（2）如图，延长BC 至点D ，使22=DC ，连接AD ，点E 为线段AD 中点，求ACEDCE∠∠sin sin 。
误区8.1 忽视直线的斜率不存在失误-2016届高三数学跨越一本线(原卷版)
2016届高三数学跨越一本线精品误区一：忽略直线的斜率不存在失误斜率是研究直线的重要工具，它贯穿于整个直线与方程的始终，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，所以在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解．一、用直线的点斜式方程，忘记讨论斜率不存在而致误方程()00y y k x x -=-表示经过点()00,x y ，斜率为k 的直线，该方程称作直线的点斜式方程，在利用直线的点斜式方程解题时，首先要判断直线的斜率是否存在，若有可能不存在，则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．【例1】已知直线l 经过直线250x y +-=与 20x y -=的交点. （1）点(10)A ，到直线l 的距离为1，求l 的方程； （2）求点(10)A ，到直线l 的距离的最大值。
【分析】（1）依题意可得直线250x y +-=与 20x y -=的交点为（2,1），当l 的斜率不存在时，方程为2x =，满足题意；当l 的斜率存在时，由点斜式方程得1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，由点到直1=故0k =方程为1y =；（2）当l 的斜率不存在时，方程为2x =，距离为1；当l 的斜率存在时，点A 到直线l 的距离为d ===≤=k<0）, 当且仅当1k =-取等号, 点A 到直线l. 【解析】（1）联立25020x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得交点(2,1)B ，若直线l 的斜率不存在，即方程为2x =， 此时点A 到直线l 的距离为1，满足题意；若直线l 的斜率存在，设方程为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=，1=，解得0k =，直线方程为1y =；综合得：直线l 的方程为2x =或1y =.（2）若直线l 的斜率不存在，即方程为2x =，距离为1 ， 若直线l 的斜率存在，设方程为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=， 点A 到直线l的距离为d ===， 显然0k <时，d有最大值，且d =≤=当且仅当1k =-取等号 ∴点A 到直线l【点评】若忽视斜率不存在，则容易漏解． 【小试牛刀】已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．二、用直线的斜截式方程，忘记讨论斜率不存在而致误方程y kx b =+表示斜率为k ，且在y 轴上的截距为b 的直线，称作直线的斜截式方程，在利用直线的斜截式方程解题，也要判断直线的斜率是否存在，若有可能不存在，则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值. 【分析】第2问，在设直线l 方程时要考虑斜率存在与不存在两种情况。
重庆市第一中学2016届高三12月月考理数试题01Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}23|1,|1213nM x N n n Z x ⎧⎫=<=≤≤∈⎨⎬⎩⎭且，则N M =（ ）A ．{}2,3B ．{}3 C．⎡⎣D ．[)2,+∞【答案】A考点：集合的运算．2. 已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(21)(5)P X c P X c <+=>+，则c =（ ） A ．43-B ．-1C ．0D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：由正态分布的性质知2156c c +++=，解得0c =，故选C ． 考点：正态分布3. 已知复数()z x yi x y R =+∈、，且有11xyi i=+-，则z =（ ） A ．5 B．3 D【答案】B 【解析】试题分析：由11x yi i =+-得122x x i yi +=+，所以122x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以2z i =+=B ．考点：复数的相等与复数的模．4. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有30人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．900 【答案】A考点：频率分布直方图．5. 已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．2x y =±B ．2y x =±C ．4x y =±D ．4y x =± 【答案】D 【解析】试题分析：由题意22223523m n m n -=+，则228m n =，所以222233322816n n m n ==⨯，所以渐近线为y x =±．故选D ． 考点：椭圆与双曲线的焦点，双曲线的渐近线．6. 在区间(0,1)内任取两个数,x y ，则满足2y x ≥概率是（ ）A ．34 B ．14 C ．12 D ．23【答案】B考点：几何概型．7．右图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的体积为（ ）A ．362π+B ．365π+C ．368π+D ．3620π+ 【答案】A 【解析】试题分析：该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，尺寸如图，则23341(11)V π=⨯⨯+⨯⨯+362π+．故选A ．考点：三视图，组合体的体积．8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】C考点：等差数列的性质．9．若实数,x y 满足条件120y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为 （ ）A ．－1B ．－2C ．－52D ．－72【答案】D 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y -=，把直线l 向上平移时z 增大，平移直线l ，当直线l 过点13(,)22A -时，z 取得最小值1372222--⨯=-．故选D ．考点：简单的线性规划问题．10. 执行右图所示框图，若输入6,4n m ==，则输出的p 等于（ ）A ．120B ．240C ．360D ．720 【答案】C考点：程序框图．11. 已知函数())cos()sin()cos()2f x x x x x πππ=--++-图像上的一个最低点为A ，离A 最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB AC =（ ） A ．299π+B ．299π-C ．244π+D ．244π-【答案】D 【解析】 试题分析：由已知()cos (sin )sin f x x x x x =+-⋅2112sin 2cos 222x x x x =-=+-1sin(2)62πx =+-，取一个最低点23(,)32A π-，离A 最近的两个最高点为1(,)62πB ，71(,)62πC ，(,2)2πAB =-，(,2)2πAC =，所以244πAB AC ⋅=-．故选D ．考点：函数()f x =sin()A ωx φ+的性质，向量的数量积．【名师点睛】三角函数问题一般都要化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式，然后结合正弦函数的性质可研究()f x 的性质，“五点法”在研究其图象与性质时起着重要的作用．12. 已知函数42421()()1x kx f x k R x x ++=∈++，若对任意三个实数a 、b 、c ，均存在一个以()f a 、()f b 、()f c 为三边之长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A ．24k -<<B ．142k -<<C ．21k -<≤D ．112k -<≤ 【答案】B考点：函数的最值，三角形性质．【名师点睛】解决有关任意性的命题，有时可以采取极端性原则，求出()f x 的取值范围（最大值、最小值），而任意的()f a 、()f b 、()f c 能作为三角形的三边长，就是要求任意两个较小数的和大于最大的数，具体解题时，用极端性原则，就是()f x 的最小值的2倍大于最大值，由此可得k 的范围．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-，则a =________． 【答案】-1 【解析】试题分析：'()21a f x x x =++，由题意'(0)0101a f =+=-+，1a =-． 考点：导数的几何意义．14. 已知51(1)(1)x x-+的展开式中(15)rx r Z r ∈-≤≤且的系数为0，则r =________．【答案】2考点：二项展开式的系数．15. 设ABC ∆内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若ABC ∆的面积为2，AB边上的中线长为，且cos sin b a C c A =+，则ABC ∆中最长边的长为________．【答案】4 【解析】试题分析：因为cos sin b a C c A =+，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，所以sin()sin cos sin sin A C A C C A +=+，所以cos sin sin sin A C C A =，因为sin 0C ≠，所以cos sin A A =，所以4πA =，ΔABC S =1sin 224πc b ⨯⨯=，bc =D 是AB 边中点，在ΔADC中，222()2cos 224c c πb b =+-⨯⨯⨯，即2224c b +=②，①②联立解得2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或4b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩43ππA =<，因此边a 不是最大边，从而最大边为4或．考点：解三角形，正弦定理，余弦定理，三角形的面积．【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，用正弦定理化已知条件为角的关系，以求出角A，由三角形的面积与余弦定理建立三角形的两边的方程组是解题的基础，由三角形的边角关系可知小于60°的内角所对的边一定不是最大边，所以本题还考查了学生分析问题的能力以及计算能力．16. 如右图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：[]22,0,10=∈．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大x y y半径为________．【答案】1考点：柱、锥、台、球的结构特征，圆的标准方程与一般方程，直线与抛物线的应用．【名师点睛】本题考查圆与抛物线的位置关系，本题具有实际意义，从数学上讲，本题就是圆与抛物线切于抛物线的顶点处，从生活常识中可知，圆的半径很小时，圆一定与抛物线切于其顶点处，当圆半径很大时，圆不可能与抛物线切于顶点处，要满足题意，这个半径一定C r，则抛物线上点P到C的距离的最小值在原点处有最大值，从数学上来解，设圆心为(0,)+∞上的最大值在自变量为0时取得，由此可得r的取得，实质上本题转化为二次函数在[0,)最大值（范围）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；] （2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++为样本容量，独立性检验临界值表为：【答案】（1）15%；（2）在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；（3）采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．考点：独立性检验，分层抽样与简单随机抽样． 18. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13(1),n n S a n Z +-=-∈．（1）求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足13()2n na b n a ⋅+=，若n b t ≤对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）13()2n n a -=；（2）43t ≥．考点：已知n S 与n a 的关系，求通项公式，数列的最大项，不等式恒成立． 【名师点睛】在已知前n 项和n S 与n a 的关系求通项n a 的时，容易出错的是只考虑1n n n a S S -=-，不考虑11a S =与前面的方法是不一样的．因此这类问题，对2n ≥时，用1n n n a S S -=-求，对1n =，11a S =，如果1a 适合1n n n a S S -=-，则通项是一个式子，如果1a 不适合1n n n a S S -=-，则通项为分段函数形式． 19. （本题满分12分）我国政府对PM2.5采用如下标准：某市环保局从一年365天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求这10天数据的中位数；（2）从这10天数据中任取4天的数据，记ξ为空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列和期望；（3）以这10天的数据来估计这一年365天的空气质量情况，并假定每天之间的空气质量相互不影响．记η为这一年中空气质量达到一级的天数，求η的平均值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）146（II ）由于(10,4,4)H ξ，所以446410()(0,1,2,3,4)k kC C P k k C ξ-===，即得分布列如下：所以 1.610E ξ==（III ）一年中每天空气质量达到一级的概率为25，由2(365,)5B η，得到23651465E η=⨯=（天），一年中空气质量达到一级的天数平均为146天． 考点：中位数，随机变量分布列，数学期望，二项分布． 20. （本小题满分12分）已知直线1y x =+被圆2232x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C 的离心率e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1(0,)3M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在且定点为(0,1)T ．（2）假设存在点(,)T u v ，若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理得22(189)12160k x k +--=．设点A B 、的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为111222(),()TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,33y kx y kx =-=-， 所以22212121212121()()()()(1)()()339v TA TB x u x u y v y v k x x u k kv x x u v ⋅=--+--=+-+++++++＝222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-+．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，是解析几何中的重要问题之一，求椭圆的标准方程的方法一般是找到关于,,a b c 的两个等式，求出,,a b c ．第（2）小题是探索性问题，一般都是假设存在，设出直线方程（假设斜率存在），交点坐标，把结论TA TB ⊥表示成k 的恒等式，由恒成立求得,u v ，如能解出，则说明真正存在，如不能求出，说明不存在．此题还可这样去做，用两特殊情形求出定点T ，然后再证明这点T 对其他一般情形的直线也满足．另解：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为221x y +=， 若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆为22116()39x y ++=， 由22221116()39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． 事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点(0,1)T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-， 代入椭圆方程并整理得22(189)12160k x kx +--=，设点A B 、的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，所以有21212121212416()1(1)()39TA TB x x y y y y k x x k x x ⋅=+-++=+-++22221616163216189k k k k ----++=+0=，所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点(0,1)T ， 综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)T 满足条件． 21. （本小题满分12分）已知存在实数,,a b c 和,,αβγ使得32()()()()f x x ax bx c x x x αβγ=+++=---， （1）若1a b c ===-，求222αβγ++的值； （2）当11()32αβγαβ-=>+且时，若存在实数,m n 使得()()2f m x f m x n ++-=对任意x R ∈恒成立，求()f m 的最值．【答案】（1）3；（2）max 21()27f m g ==，()f m 无最小值．考点：根与系数的关系，函数图象的对称性，导数与函数的最值．22. （本小题满分10分）如右图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为3与2，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上），AD 是圆1O 的一条直径．（1）求ACAB的值；（2）若BC =，求2O 到弦AB 的距离． 【答案】（1）23；（2）1．【解析】试题分析：（1）利用圆的性质，两圆相切时，切点一定在连心线上，即12,,A O O 共线，设AD 交圆2O 于点E ，则,A D A E 分别是两圆直径，则有2ABD ACE π∠=∠=．于是有//BD CE ，这样比值ACAB就可用两圆半径表示出来；（2）由（1）及BC =得AB =这样Rt ABD ∆可解，点2O 到弦AB 的距离可得．试题解析：（1）设AD 交圆2O 于点E ，连接,BD CE ，∵圆1O 与圆2O 内切于点A ，∴点2O 在AD 上．∴AD ，AE 分别是，圆1O 与圆2O 的直径．∴2ABD ACE π∠=∠=．∴//BD CE ．∴23AC AD AB AE ==．（2）若BC =由（1）问结果可知AB =而6AD =，所以在Rt ABD ∆中，030A ∠=，又由22AO =，推得2O 到弦AB 的距离为1． 考点：两圆的位置关系，解直角三角形． 23. （本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值 ．【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用． 24. （本小题满分10分）已知函数()21,f x x x R =-∈，（1）解不等式()1f x x <+；（2）若对于,x y R ∈，有111,2136x y y --≤+≤．求证：()1f x <．【答案】（1）02x <<；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式可分类讨论，也可应用绝对值的性质：x a a x a <⇔-<<；（2）要证明题设不等式，关键是找出21x -与1x y --，21y +的关系，实质上21x -=2(1)x y --(21)y ++，再由绝对值不等式性质可证明．试题解析：（1）()1121102f x x x x x x <+⇔--<-<+⇔<<． （2）()212(1)(21)f x x x y y =-=--++115212121366x y y ≤--++≤⨯+=<． 考点：解绝对值不等式，绝对值不等式的性质．。
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重庆一中高2016级2015-2016学年度高三上期第四次月考数学试题卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足(20152016)z i i =+ ，则z 为（ ） A ．20152016i + B ．20152016i - C ．20162015i -+ D ．20162015i --2.已知集合{}{}{}2|50,|6,|2M x x x N x p x M N x x q =-<=<<=<< ，则p q +等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93.函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）A ．[](]2,00,2-B ．(](1,0)0,2-C ．[]2,2-D ．(]1,2-4.在等比数列{}n a 中，公比15241,17,16q a a a a <+==，则数列{}n a 的前10项和10S 等于（ ） A ．511 B ．2012 C ．2013 D ．20145．若向量a 、b 满足(1,2),(1,3)a b ==-则向量a 与b 的夹角等于（ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π7．执行如下图所示的程序框图，输出S 的值 为（ ） A ．0 B ．-1 C ．12-D ．32-8．如上图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）A ．20+B ．20+C ．20+D ．20+9．已知点A 为抛物线2:4C x y =上的动点（不含原点），过点A 的切线交于x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF ∠一定是（ ）A ．钝角B ．锐角C ．直角D ．上述三种情况都可能10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2x f x =，则4(log 9)f 的值为（ ） A ．-3 B ．13-C ．13D ．311．已知曲线y =x 轴的交点为,A B ，分别由,A B 两点向直线y x =作垂线，垂足为,C D ，沿直线y x =将平面ACD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD ，是四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．16π B ．12π C ．8π D ．6π12．已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12x x ，且12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,3B ．(3,)+∞C ．(1,3)D ．[)3,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13.在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足090AMB ∠<的概率为________． 14.把函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，得到2sin(3)4y x π=-的图象，则函数()y f x =的解析式是________．15.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=________． 16.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，令cos2n n n b a π=，记数列{}n b 的前n 项为n T ，则2015T =________．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，ABC ∆，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设,s i n BAD αα∠==；（1）求sin BAC ∠和sin C ；（2）若28BA BC =，求AC 的长．18.央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据．（1）请画出上表数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx =-=-==--∑∑） 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，E F 、分别是SC SD 、的中点，2,SA AD AB ===（1）求证：SD ⊥平面AEF ；（2）求三棱锥F AED -的体积．20.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点为12,F F ，点P 是椭圆C 上任意一点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于,A B 两点（点A 在第一象限），,M N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，求证：直线MN 的斜率为定值． 21.（本小题满分12分）已知函数()()ln f x x x a x =+-，其中a 为常数，（1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）若()f x 是区间1(,1)2内的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线()y f x =相切？请说明理由．22.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，直线ADE CFD CGE 、、都是圆O 的割线，已知AC AB =，求证：//FG AC ．23.在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参数方程为cos sin 2x r y r θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（θ为参数，0r >），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()14πρθ+=，若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．24.（本小题满分10分）已知函数()210f x x x =-+-，且满足()8()f x a a R <∈的解集不是空集，（1）求实数a 的取值范围；（2）求24a a +的最小值．参考答案一、填空题1—5 DBBCD 6---10 AACCB 11---12 BC 二、填空题： 13．18π-14．2sin(3)4y x π=+ 15．4 16． -2014三、解答题：17．解：（1）4sin sin 22sin cos 5BAC ααα∠====，34sin sin()sin cos cos sin 55C B A B A B A =+=+==， （2）由28cos 284BA BC AB BC AB BC π=⇒=⇒=sin 104sin 85AB C BC A ===，所以解得7,AB BC ==由余弦定理得：2222cos 49325625AC AB BC AB BC B =+-=+-= ， 所以5AC =18．解：（1）散点图如图所示：（2）4142537586106i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，457864x +++==，235644y +++==，42222214578154i i x ==+++=∑，则12221ˆˆ4106464ˆ1154464ni ii nii x y xybxx =-=--⨯⨯===-⨯-∑∑, ˆ462a y bx=-=-=-，故线性回归方程为ˆˆˆ2y bx a x =+=-，（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7天． 19．解：（1）∵SA AD =，F 为SD 的中点，∴SD AF ⊥， ∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB SA ⊥ ∵AB AD ⊥，SA AD 、是平面SAD 内的两条相交直线， ∴AB SAD ⊥平面，∵SD SAD ⊂平面，∴SD AB ⊥， ∵//EF AB ，∴SD EF ⊥∵AF EF 、是平面AEF 内的两条相交直线 ∴SD ⊥平面AEF （2）111122332226F AED E AFD AFD DC V V S EF --∆====20．解：（1）由题12c a =①，12PF F ∆122c b =由方程组222122,1c a bc a b c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += （2）3(1,)2A ，设1122(,)(,)M x y N x y 直线MN 方程为：y kx m =+，代入椭圆22143x y +=得：222(43)84120k x kmx m +++-=， 所以121222840,,4343km mx x x x k k -∆>+==++，又由题M N 、是椭圆上位于直线l 两侧的动点， 若MAB NAB ∠=∠，等价于：化简得：(21)(223)0k m k -+-=，所以当12k =时上式恒成立． 所以直线MN 的斜率为定值，且等于12． 另解：可以设直线AM 的斜率求,M N 的坐标，再求斜率．21．解：（1）当1a =时，2121(21)(1)()21(0)x x x x f x x x x x x----'=--==> 所以()f x 在区间(0,1)内单调，在区间(1,)+∞内单调递增，于是()f x 有极小值(1)0f =，无极大值．（2）易知1()2f x x a x '=--在区间1(,1)2内单调递增， 所以由题意可得1()20f x x a x '=--≥在1(,1)2内恒成立，即12a x x ≤-在1(,1)2内恒成立，所以min 1(2)a x x ≤-，因为函数1()2h x x x =-在1(,1)2x ∈时单减，所以()(1,1)h x ∈-所以1a ≤-，的数a 取值范围是(],1-∞．（3）设切点为2(,ln )t t at t +-，则切线方程为：21(2)()ln y t a x t t at t t=------，因为过原点，所在210(2)()ln t a t t at t t=------，化简得21ln 0t t -+=设2()1ln h t t t =-+则1()20h t t t'=+>，所以()h t 在(0,)+∞内单调递增，又(1)0h =，故方程21ln 0t t -+=有唯一实根1t =，所以满足条件的切线只有一条． 22．证明：∵AB 为切线，AE 为割线，∴2AB AD AE = ，又∵AC AB =，∴2AD AE AC = ，∴AD ACAC AE=，又∵EAC CAD ∠=∠， ∴ADC ACE ∆∆ ， ∴ADC ACE ∠=∠， 又∵ADC EGF ∠=∠， ∴EGF ACE ∠=∠， ∴//GF AC ．23．解：圆C的参数方程为cos sin 2x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数θ得：222(()(0)22x y r r +++=>，所以圆心(22C -），半径r ， 直线l 的极坐标方程为sin()14πρθ+=，化为普通方程为0x y +=，圆心(C到直线0x y +=的距离为2d ==，∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴3321r d =-=-= ． 24．（1）要2108x x a -+-<的解集不是空集，则()min2108x x a -+-<，2102108x x x x -+-≥--+=，∴881a a <⇒>（2）1a >时，224422a a a a a+=++，24322a a a ++≥=当且仅当242a a =，即2a =时等号成立，所以24a a +的最小值为3．。