高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》知识点总复习含解析

【高中数学】数学高考《平面解析几何》试题含答案
一、选择题
1．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36 【答案】B
【解析】
【分析】
先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案.
【详解】
圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=,
其圆心为(2,2)M ,半径3r =,
过点E 最长的弦长是直径,故6AC =,
最短的弦是与ME 垂直的弦,又ME =
=
所以122
BD ===,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =
⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B.
【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.
2．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．)+∞
D ．)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得
1b a
>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围．
【详解】 解：不妨设该双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>， 由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，
所以直线y x =与双曲线有交点，
所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b a >． 离心率21()2b e a =+>． 所以该双曲线的离心率的取值范围是(2，)+∞．
故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
3．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A ．16
B ．10
C ．12
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．
【详解】
解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥．
由抛物线定义知1||||||2
AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
4．已知双曲线22
:1124
x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 【答案】C
【解析】
【分析】
由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可.
【详解】
不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，
4OF =，∴OP =POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =
∴6PQ ==.
故选C
【点睛】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.
5．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r ，则BC =（ ）
A ．4
B ．
C ．6
D ．8 【答案】D
【解析】
【分析】
作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2
ACN ∠=
，则可求出x 的值，进而得到BC 的值.
【详解】
作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，
因为3AF FB =uu u r uu r ，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =， 根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=，
所以1sin sin 2
AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==，
故选：D ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
6．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( )
A ．(0,)c
B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点
∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2||
∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0） 则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0|
∵P 点在椭圆
上，
∴|x 0|∈（0，a]， 又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ）
∴|OM|∈（0，c ）．
故选A ．
7．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】
【分析】
设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r
表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.
【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则
22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6
故选：C
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
8．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2p x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1
B ．1或3
C ．2
D ．2或6 【答案】B
【解析】 4AF BF +=1212442422
p p x x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2
p x =的距离为1，所以121132
p x p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
9．已知双曲线2
2x a －22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2p x =-
，则p=4， 则抛物线的焦点为（2，0）；
则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；
点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±
， 由双曲线的性质，可得b=1；
则c =
10．如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围（ ）
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(2,4)
D ．[2,4]
【答案】A
【解析】 由题意知抛物线2
4y x =的准线为1x =-，设A B 、两点的坐标分别为1,0()A x y ， 2,0()B x y ，则1||1AF x =+．
由()222414
y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y 整理得2230x x +-=，解得1x =， ∵B 在图中圆()2214x y -+=的实线部分上运动，
∴213x <<．
∴FAB ∆的周长为1212(1)2()3(4,6)AF FB BA x x x x ++=+++-=+∈． 选A ．
点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用．特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单．
11．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）
A 3
B ．12
C ．22
D 6 【答案】D
【分析】
设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.
【详解】
如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22
222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-， 所以，22
23a c =，因此，椭圆的离心率为22263c c e a a ==== D. 【点睛】 本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
12．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A ．322-
B ．22-
C 32
D 21
【答案】D
【解析】 由已知，(01)(01)F Q ，
，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF
PM
m PQ PQ α===，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ
与抛物线相切于点P ．设2004x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得(21)P ，±，所以222PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴21a =+，1c =，∴21c e a ==-，故选D ． 13．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
【答案】A
【解析】
【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±
得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，
所以2212||46413F F =+=13c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a =±
=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
14．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF V 的面积为
A 2
B 3
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =
可得. 【详解】
由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为1x =-,
如图:过点P 作准线1x =- 的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,
设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x = 代入24y x =可得23y =±, 所以△POF 的面积为
1||2y OF ⋅=123132
⨯⨯=. 故选B .
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.
15．已知1F ，2F 是双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a =平行，12AF F ∆的周长为
9a ，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2 B
C ．3
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】
由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-， 解得21122a c AF -=
，1722
a c
AF -=， 直线1AF 与b
y x a =
平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c
∠=， 2
2
2
12
1214cos 22AF c AF a AF F c AF c
+-∠==
⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =. 故选：A 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
16．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B
【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．已知椭圆2
221(1)x y a a
+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的
一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（ ） A ．
3 B ．
22
3
C ．
22
D ．
6 【答案】B 【解析】 【分析】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】
设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得
AN AT =，
11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，
由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，
()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-
222(3)a F M a c =-=--，
则26a =，即3a =，
又1b =，所以2222c a b =-=， 因此椭圆的离心率为22
3
c e a ==
. 故选：B.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题
型.
18．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】
分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，
， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．
1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11
()112
a a a -+-
⨯-=-+， 解得1a =-，舍去． 综上可得：1a =-. 故选A ．
点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
19．已知椭圆22
198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别
相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ）
A ．12
B ．6+
C ．8
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】
画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，
根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.
20．已知椭圆1C ：2
2113x y +=，双曲线2C ：22
221(,0)x y a b a b
-=>，若以1C 的长轴为直
径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ） A 3B ．3
C 5
D ．5
【答案】A 【解析】
由已知得13OA =OA 的方程为()00,0y kx k x =>>，∴可设()00,A x kx ，进一步20113k x +=2
213
13,11k A AB k
k ∴++的一个三分点坐标为2213133131k k k ⎛⎫++，该点在椭圆上，2
2
221313111k k k ⎛⎫
⎪⎛⎫
+⎝⎭+=+，即(
)
2
2
11391k k
+=+，解得2
2k =，从而有,2
22222b b a a
==，解得
222
3c a b e a a
+===，故选A. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．。