电路理论习题解答第12章

第十二章习题解答
12－1周期性矩形脉冲如图所示，试求其傅立叶级数展开形式。

t
解：02212w T ππ
π
=
== 00011()22T m m U a f t dt U dt T π
ππ
=
==⎰⎰ 00
002211()cos 2cos sin 0T
m k m U a f t kw tdt U ktdt kt
T k
π
πππ=⋅===⎰⎰
000
2()sin 12sin 221
1(
)cos ()(cos 1)21cos 41,3,5,00,2,4,T
k m m
m m m
b f t kw tdt
T U ktdt U U kt k k k U k k U k k k π
ππ
ππππππ
=⋅==
=⋅⋅----=
⎧=⎪
=⎨⎪=⎩⎰
⎰ ∴14m
U b π
=
，343m U b π=
，54,5m
U b π
=
0135()sin sin 3sin 5444sin sin 3sin 5354111
(sin sin 3sin 5sin 7)
357m
m
m m m m f t a b t b t b t U U U U
t t t U U t t t t ππππππ=++++
=
+
+++
=++++
+
12-2已知某信号半个 周期的 波形如图所示。

试在下列各不同条件下画出整个周
期的波形：
（1）00a =；（2）所有0k b =;(3) 所有0k a =；（4）k a k a 和k b 只能出现在k 为奇数时。

t
解：(1)00a =
t
（2）所有0k b =
t
（3）所有0k a =
t
(4) k a 和k b 只能出现在k 为奇数时
t
12－3一个RLC 串连电路，其中11R =Ω,0.015L H =,70C F μ=,外加电压
()11141.4cos100035.4sin 2000V u t t t =+-，试求电路中的电流()i t 和电路消耗的
功率。

R
C
-
+()u t
解：∵012()11141.4cos100035.4sin 2000V ()()u t t t u u t u t =+-=++ (1)直流分量单独作用，即011V u =单独作用
∵电容具有隔直作用，∴00I = (2)1()u t 单独作用
∵.
21()141.4cos1000141.4sin(1000)V u t t t π==+ ∴.
110090V U ︒=∠
110000.01515L X wL ==⨯=Ω
16
11110014.29100070107
C X w C --=-
==-=-Ω⨯⨯ 相量模型为：
-+11Ω
15j Ω
14.29j -Ω
.
1
U
11(1514.29)110.6911.02 3.6Z j j ︒=+-=+=∠Ω
.
.
11100909.0786.4A 11.02 3.6
U I Z ︒︒
︒
∠===∠∠ ∴1()12.83sin(100086.4)A i t t ︒=+ (3)2()u t 单独作用
∵2()35.4sin 200035.4sin(2000180)V u t t t ︒=-=+
∴.
218025180V U ︒︒=
=∠ 21221530L L X X ==⨯=Ω，1
27.1452
C C X X =
=-Ω 相量模型为
-+11Ω
30j Ω
7.145j -Ω
.
2
U
11(307.145)1122.8525.3664.3Z j j ︒=+-=+=∠Ω
.
.
12251800.986115.7A 25.3664.3
U I Z ︒
︒︒
∠===∠∠ 2() 1.39sin(2000115.7)A i t t ︒=+
∴012()()()12.83sin(100086.4) 1.39sin(2000115.7)A i t I i t i t t t ︒︒=++=+++
9.12A I ==≈
229.1211915.6W P I R =⋅=⨯=
12-4在图示的电路中，12R =Ω,2wL =Ω,
1
18wC
=Ω
, ()1030)3V u t wt wt ︒=+++,求电磁式电流表，电动式电压表及
电动式瓦特表的读数。

解：∵013()1030)()()u t wt wt U u t u t ︒=+++=++ （1） 直流分量单独作用
∵电容具有隔直作用，∴00I =,'
0U =,00P = (2)1()u t 单独作用
∵1()30)V u t wt ︒=+ ∴18030V U ︒=∠。

相量模型为：
-
+
2j Ω
.
1U .
18j -Ω
12(218)12162053.1Z j j ︒=+-=-=∠-Ω
.
.
118030483.1A 2053.1
U I Z ︒︒︒
∠===∠∠- .
.
'1
1(122)(122)483.148.6692.6V U j I j ︒︒=+⨯=+⨯∠=∠
22
11412192W
P I R =⋅=⨯=
(3)3()u t 单独作用
∵3()u t wt =，∴.
3180V U ︒=∠ 相量模型为
-+
6j Ω.
3U 6j -Ω
I
.
.
33180 1.50A 1212
U I ︒︒∠===∠
.
.
'3
3(126)(126) 1.5020.1226.6V U j I j ︒︒=+⨯=+⨯∠=∠ 22
3312 1.5
27W P I R =⋅=⨯=
电流表的读数
4.27A I
===
电压表的读数 52.66V U === 功率表的读数 013019227219W P P P P =++=++=
12-5一全波整流器及滤波电路，5H L =,10F C μ=,2000R =Ω,
1()300200cos 240cos 4V u t wt wt =--,求负载电阻R 两端的电压(50Hz)f =。

-+()u t
解：1101214()300200cos 240cos 4u t wt wt U u u =--=++ （1） 直流分量10U 单独作用
∵对直流而言，电感相当于短路，∴010300V U U == (2)12()u t 单独作用
12()200cos 2200cos(2)200sin(290)200sin(290)V
u t wt wt wt wt ππ︒︒=-=+=++=-
∴.
1290V U ︒=
- ∵50Hz f =，∴2314rad s w f π== ∴22231453140L X wL ==⨯⨯=Ω，26
11
1592331410
C X wC -=-==-Ω⨯⨯ 相量模型为
-
+
.
2
U
-
+
.
2
U
'15920001592000
158.585.4520001592006.3 4.53
j j Z j ︒-⨯-⨯=
==∠-Ω-∠-
.
2158.585.45903140158.585.45158.585.4590314012.57158158.585.459012.572982158.585.4590
298289.7594.8V
U j j j j ︒︒
︒
︒︒
︒︒
︒︒
︒︒∠-=-+∠-∠-=-+-∠-=-+∠-=-∠=
∴2()10.63sin(294.8)V u t wt ︒=+ (3)14()u t 单独作用
14()40cos 440cos(4180)40sin(418090)40sin(490)V
u t wt wt wt wt ︒︒︒︒=-=+=++=-
∴1490V U ︒=
- 相量模型为：
-+
.
4
U
-
+
.
4
U
'79.5200079.5200079.4487.72200079.52001.58 2.28
j j Z j ︒︒
-⨯-⨯=
==∠-Ω-∠-
.
479.4487.7279.4487.729090
628079.4487.726280 3.1679.3879.4487.7279.4487.7290903.166200.66200.69092.28V
U j j j j ︒︒︒︒
︒︒︒︒
︒
︒
︒∠-∠-=-=-+∠-+-∠-∠-=-=-+∠=
∴4()0.512sin(492.28)V u t wt ︒=+
∴024()()()30010.63sin(294.8)0.512sin(492.28)V u t U u t u t wt wt ︒︒=++=++++ 注：314rad s w =
12-6在图示电路中，无源一端口网络N 的 端口电压和端口电流分别为
()100cos31450cos(94230)V u t t t ︒=+- 3()10cos314 1.75cos(942)A i t t t θ=++
若把N 看作为RLC 串连电路，试求：（1）R,L,C 之值；（2）3θ之值；（3）电路消耗的功率。

解：（1）13()100cos31450cos(94230)()()u t t t u t u t ︒=+-=+
313()10cos314 1.75cos(942)()()i t t t i t i t θ=++=+
∵1()100cos314u t t =
，∴.
10V U ︒
=
∵1()10cos314i t t =
，∴.
10A I ︒=
∵.
1U 与.
1I 同相，∴LC 串连分支对基波而言发生 串连谐振，
∴.
1
.1100
U R I ︒
===Ω
2
1314314C L =
⇒= ∵3()50cos(94230)V u t t ︒
=-,
∴.
330U ︒=
-
，3U = 33() 1.75cos(942)i t t θ=+，
∴.
33A I θ=
∴333501.75U Z I ====
∴22
110(942)816.33942L C
+-
= 2
1(942)716.33942L C -
= 1
94226.76942L C -=（∵w 时谐振，∴3w 时呈感性）
∵21
314C L
=
∴21
94226.761942
314L L -=
31494226.763
L
L -=
∴31.9mH L =
23
1
317.94F 31431.910C μ-==⨯⨯ (2)
∵.
330V U ︒
=-
,.33I θ= 33611
(942)10(94231.910)942942317.941010(30 3.34)28.4769.44Z R j L j C j --︒=+-
=+⨯⨯-⨯⨯=+-=∠Ω
.
33
33.
3
3
3028.4769.44U U Z I I θ︒︒=
=
∠--≈∠ ∴33069.44θ︒︒--=
∴33069.4499.44θ︒︒︒=--=-
（3）1︒1()100cos314V u t t =单独作用时，1()10cos314A i t t =
∴2
2
1110500W P I R =⨯=⨯= 2︒ 3()50cos(94230)V u t t ︒=-单独作用时，3() 1.75cos(94299.44)A i t t ︒=-
22
33101015.31W P I =⨯=⨯=
1350015.31515.31W P P P =+=+=
12－7图示电路为滤波电路，要求14w 的谐波电流传至负载，而使基波电流无法达到负载。

如电容1F C μ=,11000rad s w =，试求1L 和2L 。

负载
解：根据题意，该电路对14w 的谐波分量发生串连谐振，对基波分量发生并联谐振，即：
1
44000w =
11000w =
= ∵1F C μ=, ∴126
111H 1000100010
L w C -=
==⨯⨯ 2211121212
12
1
1616w w CL L L L L L C L L =
⇒=+⋅+ 21121(161)w CL L L ⇒-=，∴122111
0.067H 67mH 16115
L L w CL =
===-
12-8图示电路中，()s u t 为非正弦波，其中含有13w 和17w 的 谐波分量。

若要求在输出电压()u t 中不含这两个谐波分量，问L C 和应为多少？
()
s u t )t
解：方法一
对3次谐波发生并联谐振，对7次谐波发生串连谐振。

12
11
39
w L w =
⇒= 1211749w C w =
⇒=
方法二
对7次谐波发生并联谐振，对3次谐波发生串连谐振。

12
11
749
w L w =
⇒= 12
1139w C w =
⇒= 12－9在图示的 对称三相电路中，电源电压()100sin 40sin 3V A u t wt wt =+,负载的基波阻抗68Z R jwL j =+=+。

试求
（1）k 闭合时负载相电压，线电压，相电流及中线电流的有效值。

（2）k 打开时负载相电压，线电压，相电流及两中点间电压的有效值。

A
u 解 ：k 闭合
13()100sin 40sin 3()()A A A u t wt wt u t u t =+=+
1︒ 基波分量1()A u t 单独作用
1A
u .
Z
∵1()
100sin A u t wt =，∴.
10V A U ︒
=
681053.1Z R jwL j ︒=+=+
=∠Ω
.
.
1153.1A A A
U I Z ︒===- 2︒ 三次谐波分量3()A u t 单独作用
∵3()40sin 3
A u t wt =，∴.
30V A U ︒= 相量模型为
3B I 3C
I
624j +624
j +0
I ...
333 1.6274.96A A B C
I I I ︒=====∠- .
.
033 4.8674.96A A I I ︒==∠- ∴负载相电压的有效值为 76.16V p U =
=
负载线电压的有效值为
122.5V l U == 相电流的有效值为
7.16A p I =
= 中线电流的有效值为 0 4.86A I = （2） k 打开
1︒
基波分量1()A u t 单独作用
.
.
1153.1A A A
U I Z ︒===- 2︒ 三次谐波分量3()A u t 单独作用时
.
30A I =
∴k 打开时，负载相电压的有效值为
70.7V p U == 负载线电压的有效值为
122.5V l p U U ==
相电流的有效值为
17.07A p A I I ==
=
两中点间电压的有效值为
'30028.28V A U U ==
= 12－10求图示半波余弦脉冲()f t 的()F jw ，并画出其频谱图。

解：∵
42T
=0τ
∴11()cos [()()]cos ()()()2222
j j f t E t u t u t E t g t Ee g t Ee g t ππ
τ
ττττπττπττ-=+--=⋅=+
t
∵()(
)2
a w g t S τττ ∴
222
2
2()
()()()[()()]2222222
sin sin cos cos 2222[
][]22
22222cos []cos 2()2()212cos 21()a a a a E w E w E w w f t F jw S S S S w w w w E E w w w w w w w w E E w w E w w ππππττττ
ττττττττπτπτττττπτπτπτπττπτπτπ
τττππττττππ+-+-=
⋅+⋅=⋅+⋅+-=+=-+-+----==--==-2cos
21()w E w τττππ
-
2222
2()()()()
2222
[()()]222
sin sin 22[
]2
22cos cos 22[
]222
2cos []cos
2()2()212cos 21()a a a a E w E w f t F jw S S E w w S S w w E w w w w E w w w w w w E E w w E w w ππττ
ππττττττττττπτπττπτπττττπτπ
ττπτπτπ
τττππττττππ+-=⋅+⋅+-=⋅+⋅+-=++-=-+----==--==-2
cos
21()w E w τττππ
-
12-10’求图示三
角脉冲()f t 的()F jw ，并画出其频谱图。

t
解：2(),022
()2(),022t t f t t t τ
τττττ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩
22
2sin
4()()(
)2
4
jwt w F jw f t e dt w τττττ--==⋅⎰
12-11在图示稳态电路中，100R =Ω,1
200wL wC
=
=Ω ()20200cos 68.5cos(230)V s u t wt wt ︒=+++，求0()u t 。

R
0()
u t s u
解：∵012()20200cos 68.5cos(230)()()s s s s u t wt wt U u t u t ︒=+++=++
1︒ 直流分量0s U 单独作用
∵电感对直流而言，相当于短路，∴00U =
2︒ 基波分量1s u 单独作用
∵21200cos 200sin()s u wt wt π
==+ ∴
.
190V s U ︒=
相量模型为
100Ω
-
+
.
01
U s u
∵1
200wL wC
=
=Ω,∴对基波而言LC 并联分支发生并联谐振。

∴.
.
01190V s U U ︒==
∴01()200sin(90)200cos V u t wt wt ︒=+=
3︒ 二次谐波分量2()s u t 单独作用
∵2()68.5cos(230)68.5sin(2
120)s u t wt wt ︒︒=+=+ ∴.
2120V s U ︒=
相量模型为
100
Ω
-+
.
02U
100400400400
'100//4004001003
3
j j Z j j j j j
j -⨯=-=
=
=-Ω-
.02400
'4003120120120400100'3004001003
40012083.1350053.1j
Z j U Z j j j ︒︒︒
︒︒
︒--===+---==∠- ∴02()54.8sin(283.13)u t wt ︒=+
∴000102()()()200sin(90)54.8sin(283.13)V u t U u t u t wt wt ︒︒=++=+++
12-12图示电路为一对称三相电路，其中A 相电源的电压为
123()()()()A A A A u t wt wt wt u t u t u t =++=+
+()V A u t wt wt wt =++
并且24R =Ω,1wL =Ω，
1
25wC
=Ω,求负载上相电压，线电压，线电流和两中性点之间的 电压有效值及三相负载总功率。

N
()A u t
解：∵123()
()()()A A A A u t wt wt wt u t u t u t =++=++
1︒ 基波分量1()A u t 单独作用
∵1()A u t =， ∴.
1
480V A U ︒=∠ ∴单项等值电路为
-
+-+1
A I 1
A U 1LA
U
11
()24(125)242445Z R j wL j j wC
︒=+-
=+-=-=
-Ω .
.
11145A A A U I Z ︒︒
=== 22
11
2448W A P I
R =⋅=⨯=, ..
11480V LA A U U ︒==∠
2︒ 三次谐波分量3()A u t 单独作用
∵3()A u t wt = ∴.
3160A U ︒=∠
.
30A I =
..
'30160N N A U U ︒
===∠,.
30LA U =，∴3()0LA u t =
30P =
3︒ 五次谐波分量5()A u t 单独作用
∵5()A u t wt = ∴.
5120A U ︒=∠ 单相等值电路为
-+.
.
5
A U .
5LA U
51
(5)24(55)2424245Z R j wL j j wC
=+-
=+-=-=Ω .
.
55
51200.50A 24
A A U I Z ︒︒∠===∠ .
.
55120V LA A U U ︒==∠
2550.25246W A P I R =⋅=⨯=
∴负载上的相电压为
49.48V p U === 负载上的线电压为
49.4885.7V l p U == 线电流为
1.5A l I ==== 两中性点之间的电压为'16V N N U =
三相负载的总功率为 1548654W P P P =+=+=。