2022-2023学年辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高二(上)期末数学试题及参考答案

2022-2023学年辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高二（上）
期末数学试题及参考答案
一、单选题（本大题8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知双曲线C ：1622
2=-y x ，则它的渐近线的方程为（
）
A .x
y 3±=B .x y 3
3
±
=C .x
y 3±=D .x
y 3
1
±=2.过点()11，P 且方向向量为()3,1-的直线方程为（
）
A .043=++y x
B .043=-+y x
C .023=+-y x
D .0
23=--y x 3.已知椭圆1422=+y x ，21F F ，分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆的上顶点，则
=⋅21PF PF （）
A .2
-B .1
-C .1
D .2
4.()()5
131x x -+的展开式中3
x 的系数为（
）
A .0
B .20
C .10
D .30
5.已知圆()1632
2
=-+y x 内一点()12，P ,则过点P 的最短弦所在的直线方程是（
）
A .03=-+y x
B .01=-+y x
C .01=+-y x
D .0
1=--y x 6.现有语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史各一本书，平均分给2个人，其中政治和历史不分给同一个人，则不同的分配方法有（
）
A .35
B .36
C .40
D .60
7.已知椭圆E ：()0122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与E 相交
的另一点为M .点M 在x 轴上的射影为点N ，O 为坐标原点，若NM AO 3=，则E 的离心率是（
）
A .
3
3
B .
2
2C .
3
1D .
4
3
8.已知抛物线C ：x y 42
=的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上的点，过A 作l 额垂线，垂足为B ，4=BF ，则=∠BAF （
）
A .︒30
B .︒60
C .︒45
D .︒
90二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于5的是（
）
A .()1,1,1
B .()221，，
C .()5,32-，
D .()
4,0,310.现有男女学生共8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中男生有（
）
A .人
3B .4人
C .5人
D .6人
11.圆1O ：022
2
=-+x y x 022
2
=-+x y x 和圆2O ：0422
2
=-++y x y x 相交于点
B A ,两点，若点P 为圆1O 上的动点，点Q 为圆2O 上的动点，则有（）
A .公共弦A
B 的长为
2
2B .PQ 的最大值为1
522++C .圆2O 上到直线AB 距离等于
22
的点又3个D .P 到直线AB 距离的最大值为
12
2+12.已知O 为坐标原点，抛物线x y 42
=的焦点为F ，B A ,为抛物线上的两个动点，M 为弦AB 的中点，对M B A ,,三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为N D C ,,，则下列说法正确的是（
）
A .当A
B 过焦点F 时，MCD ∆为等腰三角形B .若BF AF 2-=，则直线AB 的斜率为3±
C 若︒=∠120AFB ，且AF BF 2=,则
7
73=AB
MN D .若AOF ∆外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为π
4
9
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.6
221⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为
.
14.已知方程14
2
2=-+m y m x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是
.
15.若抛物线x y 42
=上一点P 到焦点的距离为4，则点P 到原点的距离为.
16.如图，在四棱台D C B A ABCD ''''-中，4='A A ，
︒='∠='∠=∠60A DA A BA BAD ，则()
AD
y AB x +-()R y x ∈,的最小值为
.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知直线0243=-+y x 与直线022=++y x 交于点P .（1）直线1l 经过点P ，且平行于直线0543=+-y x ，求直线1l 的方程；（2）直线2l 经过点P ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线2l 的方程.（注：结果都写成直线方程一般式）
18.（12分）如图，平行六面体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且
︒=∠=∠=∠6011BAD AD A AB A ，11==AA AD .
（1）求1BC 与C A 1所成角的余弦值；
（2）若空间有一点P 满足：12AA AD AB AP ++=，求点P 到直线BD 的距离.
19.（12分）已知圆C 与y 轴相切，且在x 轴上的截距之和是6，圆心在直线032=-y x 上.（1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 上恰有两个点到直线0=++m y x 的距离为2，求实数m 的取值范围.（3）若圆M ：()()022
2
2
>=++a a y x 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.
20.（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，BC AD 3
1
=
，AD AB ⊥，CD BD ⊥，
E 为BC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起，使AC AB ⊥，如图2，连接AC AE ,.
（1）求证：平面⊥ABD 平面BCD ；（2）求二面角E AD C --的大小.
21.（12分）已知抛物线x y 92
=上一动点G .过点G 作x 轴的垂线，垂足为D ，M 是GD 上一点，且满足GD GM 3
1
=
.（1）求动点M 的轨迹C ；
（2）若()4,0x P 为曲线C 上一定点，过点P 作两条直线分别与抛物线交于B A ,两点，若满足2-=+PB P A k k ，求证：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标.
22.（12分）已知椭圆E ：()0122
22>>=+b a b
y a x ，点P 为E 上的一动点，21F F ，分别
是椭圆E 的左、右焦点，21F PF ∆的周长是12，椭圆E 上的点到焦点的最短距离是2.（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点()0,2的动直线l 与椭圆交于Q P ,两点，求PQ F 1∆面积的最大值及此时l 的方程.
参考答案
一、单选题1.A
解析：由题意可得：6,22
2
==b a ，∴62==
b a ，，
∴渐近线方程为：x x y 32
6±=±
=.
2.B
解析：∵直线的方向向量为()3,1-，∴直线的斜率为：
31
3
-=-，∴所求直线方程为：()131--=-x y ，即043=-+y x .3.A 解析：由题可得12==b a ，，∴3=
c ，∴221==PF PF ，3221=F F ，
∴︒=∠12021PF F ，∴22122cos 212121-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⨯⨯=∠⋅=⋅PF F PF PF PF PF .4.B
解析：由()5
1x -展开式的通项为()()r r r
r
r
r
r x C x C T ⋅-=-⋅⋅=-+555111
，
令3=r ，得()5
1x -展开式中3
x 的系数为()1013
53-=-C ，
2x 的系数为()101252
=-C ，
∴()()5
131x x -+的展开式中3
x 的系数为2010310=⨯+-.
5.D
解析：由题意得圆心()30，O ，当所求弦与OP 垂直时，弦长最短，
∵OP 的斜率为
10
23
1-=--，此时弦所在的直线斜率为1，此时直线方程为21-=-x y ，即01=--y x .6.C
解析：根据题意，8本书均分给2个人共有704
8=C 种，其中政治历史都分给同一个
人的有302
22
6=⋅A C 种，故政治和历史不分给同一人，不同的分配方法有403070=-种.7.B
解析：由题意可得：()()0,,0c F b A ，，由NM AO 3=，
则⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3,34b c M ，又点M 在椭圆上，则19916222
2=+b b a c ，即21
2
=
e ，即2
2=e .
8.B
解析：设准线l 与x 轴交于点M ，如图所示：
∴()()0101，，，-M F ，即2=FM ，
又4=BF ，故︒=∠30FBM ，︒=∠60FBA ，又由抛物线定义得AF AB =，∴ABF ∆为正三角形，故︒=∠60BAF .二、多选题9.ABD
解析：∵531112
2
2
<=
++，故A 正确；53221222<=++，故B 正确；
5403222=++，故D 正确；()53853222
2>=+-+，故C 错误.
10.CD
解析：男女学生共8人，设男生有n 人，则女生有n -8人，
从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有301
82
=-n n C C 种不同的选法，则()()6081=--n n n ，解得5=n 或6=n .11.BD
解析：由题设，将两圆方程相减，可得直线AB ：0=-y x ，
联立圆1O 并整理可得()01=-x x ，∴0=x 或1=x ，可令()00，A ，()11，B ，故2=
AB ，A 错误；
由题设可得：()()210121，，，-O O 且半径分别为5121=
=r r ，，∴2221=O O ，
要使PQ 最大，即为15222121++=++r r O O ，B 正确；由点2O 到直线AB ：0==y x 的距离为2
2
32=
d ，而2
2
2182022
3522<-=-
=
-d r ，
∴圆2O 上到直线AB 距离等于
2
2
的点有2个，C 错误；由1O 到直线AB ：0==y x 的距离为2
21=
d ，则P 到直线AB 距离的最大值为2
2
111+
=+d r ，D 正确.
12.AD
解析：选项A：画出图形，如图，∵M 为AB 中点，
又CD MN ⊥，∴点N 为CD 中点，则ND NC =，又MN MN =，∴MD MC =，∴MCD ∆为等腰三角形，故A 正确；
选项B：由BF AF 2-=,得A,F,B 三点共线，BF AF 2=，画出其中一种情况，如图，
过点A 作x 轴垂线交x 轴于点P ，过B 作x 轴于点Q ，准线交x 轴于点H ，
设直线AB 倾斜角为θ，
则θcos ⋅+=+==AF p FP FH AC AF ，整理得θ
cos 1-=
p
AF ，
同理得θcos ⋅-=-==BF p FQ FH BD BF ，整理得θ
cos 1+=p
BF ,
由BF AF 2=，解得3
1cos =
θ，进而求得22tan ±=θ，即直线AB 的斜率为22±，故B 错误；选项C：由︒=∠120AFB ，且AF BF 2=，设a AF =，则a BF 2=，
对ABF ∆由余弦定理可得()a
a AB
a a 222120cos 2
2
2⋅⋅-+=︒，
解得a AB 7=
，
由中位线定理可知，()()a BF AF BD AC MN 2
32121
=+=+=
，则1473723
=
=a
a AB MN ，故C 错误；选项D：AOF ∆外接圆与抛物线的准线相切，1=OF ，则圆心一定在2
1
=x 上，由圆心到准线距离可得23121=+=
r ，∴该圆的面积为
π
4
9
.
三、填空题
13.
16
15解析：二项式的展开式的通项公式为()
r
r
r
r
r x
x
C T 312626121--+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=，令0312=-r ，解得4=r ，则展开式的常数项为1615214
4
6
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅C .
14.()
4,0解析：要使14
2
2=-+m y m x 表示双曲线，只需要()04<-n m ，
解得40<<m ，∴实数m 的取值范围是()4,0.15.21
解析：设()00,y x P ，则P 到准线1-=x 的距离为410=+x ，
∴30=x ，∴122
0=y ，∴点P 到原点的距离为211292020=+=+y x .
16.
3
6
4解析：如图，
设AE AD y AB x =+，则∈E 平面ABCD ，
()
AD y AB x =-=+-，
的最小值即为棱台的高，
过A '作AD G A ⊥'，垂足为G ，过A '作AB H A ⊥'，垂足为H ，过A '作⊥'O A 平面ABCD ，垂足为O ，连接OH OG ，,
则322
3
460sin ==
︒'='='A A H A G A ，260cos =︒'==A A AH AG ，
∵︒='∠='∠90A HO A GO ，O A O A '=',∴HAO GAO ∆≅∆，∴OH OG =，
而AO AO =，∴AOH AOG ∆≅∆，∴︒=∠=∠30HAO GAO ，
∵⊂AH 平面ABCD ，∴AH O A ⊥'，∵A AH O A '=⊥'，∴AB ⊥平面HO A '，∵⊂OH 平面HO A '，∴OH AB ⊥，∴3
3
42
32=
=
AO ，∴3
6
43161622=
-
=-'='AO A A O A ，
的最小值为
3
6
4.过A 作向量B D AM '=，∈M 平面D C B A '''',
(
)()
EM AD y AB x AD y AB x =+-=+-，
EM 的最小值即为平面D C B A ''''到平面ABCD 的距离，
()
()R t x AD y AB x ∈+-,的最小值为3
6
4.四、解答题17.解：（1）联立⎩⎨
⎧=++=-+0220243y x y x 得⎩⎨⎧=-=2
2
y x ，∴()22，-P ,
设1l ：()5043≠=+-m m y x ，
将()22，-P 代入得()02423=+⨯--⨯m ，解得14=m ，∴1l 的方程为01443=+-y x .
（2）由题意直线2l 的截距存在且不为0，设2l ：1=+a y a x 或1=-b
y
b x ，将()22，-P 代入得122=+-a a 或12
2=--b
b ，解得a 无解或4-=b ，∴
14
4=---y
x ，即04=+-y x .∴2l 的的方程为04=+-y x .18.解：（1）AD AA BC +=1
13=
，11AA AD AB C A -+=
2=，
∴112
2
11111=⋅-+⋅+-⋅+⋅=⋅AA AD AD AB AD AA AD AA AB AA C A BC ，
∴6
6321=
⨯=
=
C A BC ，∴1BC 与C A 1所成角的余弦值为
6
6
.（2）12AA AD AB AP ++=，∴12AA AD BP +=，∴()
74422
1122
1
2
=+⋅+=+=AA AA AD AD AA
AD BP ，
()()
2
121=
-⋅+=⋅=⋅AB AD AA AD BD BP BP BD
BD ,则点P 到直线BD 的距离()
2
3
34172
2
=
-
=⋅-=BD BP BP
d .19.解：（1）由已知圆C 在x 轴上的截距之和是6可知，圆心C 在直线3=x 上，代入直线032=-y x ，得2=y ，故圆心C ()2,3，又圆C 与y 轴相切，∴3=r ，
∴圆C 的方程为：()()9232
2
=-+-y x .
（2）圆心C ()2,3到直线0=++m y x 的距离2
5m d +=
，
若圆C 上恰有两个点到直线0=++m y x 的距离为2，
则
232
5<-+m ，解得25255--<<--m 或25525+-<<+-m ，
∴实数m 的取值范围是{
}
2552525255+-<<+--
-<<--m m m 或；
（3）圆M ：()2
2
2
2a y x =++与圆C 有公共点，则33+≤≤-a MC a ，又5=MC ,∴353+≤≤-a a ，解得：82≤≤a ，∴实数a 的取值范围是[]8,2.
20.解：（1）证明：∵AD AB ⊥,AC AB ⊥,AC AD ,交于点A ，故⊥AB 平面ACD ，又⊂CD 平面ACD ，故CD AB ⊥,CD BD ⊥,BD AB ,交于点B ,故⊥CD 平面ABD ，⊂CD 平面BCD ，故平面ABD ⊥平面BCD .
（2）⊥CD 平面ABD ，CD BD ⊥,过D 作平面BCD 的垂线为z 轴，以D 为原点，
DC DB ,分别为x 轴，y 轴建立如图所示空间直角坐标系.
设1=AD ，则3=BC ，a AB =,
922=+CD BD ,122+=a BD ,422+=a CD ,
解得2=
a ，
()
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,26,230,60360,33E C A ，，，，,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=360,33，DA ，()
060，，=DC ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,26,23DE ，设平面DAC 的法向量()1111,,z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅060363311
111y DC n z x DA n ，则可取()
1021-=，，n ，设平面DAE 的法向量()2222,,z y x n =，则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0262303633222222y x DE n z x DA n ，则可取()1,1,22--=n
，
23233=⋅==
n n ，根据观察知，二面角E AD C --的二面角为锐角，故二面角E AD C --的大小时30°.
21.解：（1）设()y x M ,，()y x G '',，则()0,x D '，由GD GM 31=,可得⎪⎩
⎪⎨⎧='='y y x x 23，代入x y 92=，可得x y 42=，∴动点M 的轨迹C 的方程为x y 42
=；
（2）易得()44，P ，PB P A ,的斜率存在，
设AB 的方程为t my x +=，()()2211,,y x B y x A ，，由⎩⎨⎧+==t
my x x y 42可得0442=--t my y ，
∴016162
>+=∆t m ，m y y 421=+，t y y 421-=……①，
由2-=+PB P A k k ，
可得()()()
244324444444442121212211-=++++=+++=--+--y y y y y y x y x y ……②把①代入②得086=++-m t ，∴86+=m t ，
∴()8686++=++=y m m my x ，
∴直线AB 恒过定点()68-，.
22.解：（1）由题意得⎩⎨⎧=-=+2
1222c a c a ，解得24==c a ，，∴12222=-=c a b ，∴椭圆的方程是：112
162
2=+y x ；（2）设1l ：2+=my x ，()()2211,,y x Q y x P ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+2112162
2my x y x ，消去x 得：()
036124322=-++my y m ，∴4
336,4312221221+-=+-=+m y y m m y y ，由题意可知：点()022，F ，∴()4314843144431442242
12222222121++=+++=-=-⋅⋅=m m m m m y y y y S ，令12+=m t ，则1≥t ，∴t
t t t S 134813482+=+=，∵1≥t ，易知t
t 13+在[)∞+，1单调递增，
∴当1=t ,12max =S ,此时0=m ，
∴直线l 的方程为：2=x .。