高一集合(新课标)

集合★ 知识结构⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧集合的运算与运算律—交集、并集、补集两集合相等—空集与全集—子集与真子集集合间的关系与运算图法描述法集合的元素个数—列举法集合的表示方法常用数集的符号集合中元素的性质集合的概念集合Venn 【考情分析】1、 集合语言是现代数学的基本语言，在高考中是每年必考的内容之一。

本部分内容以考查集合的运算为主，同时考查集合的性质及集合与元素、集合与集合之间的关系等。

2、 考题常以集合为基础，与函数的定义域、值域、方程、曲线、立体几何等知识交叉考查。

3、 考题形式多以选择题为主，也有填空题以及与其他知识结合的大题，但难度一般不大。

【策略指导】1、 有关集合的概念问题，要熟知常用数集的符号，准确地把握住集合中元素的三条性质。

2、 集合与集合之间的关系问题，要从集合中的元素入手，根据元素的归属情况确定它们之间的关系。

3、 集合的运算问题，一般把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算。

4、 含参数的集合问题，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法解决。

第一讲 集合的概念与表示【考点梳理】一、集合的有关概念1、 集合的定义指定对象的全体合在一起就构成一个集合，其中每个对象叫做集合中的元素。

2、 集合中元素的特征（1）确定性：集合的元素必须是确定的，任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.（2）互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，即集合中不能出现相同元素。

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}（3）无序性：集合中的元素与元素之间没有顺序关系，即集合与组成它的元素的顺序无关。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数； ⑵我国的小河流；⑶非负奇数； ⑷方程x 2+1=0的解；⑸某校2011级新生； ⑹血压很高的人；⑺著名的数学家； ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点3、 集合的表示方法（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法叫做列举法。

（2） 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。

这时往往在花括号内先写上这个集合中元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线右边写上这个集合元素的共同特征，即{}所具有的公共属性P P 。

（3） 除列举法、描述法外，还常用Venn 图表示集合（图示法）4、 常见的集合数集全体非负整数的集合通常简称为非负整数集（或自然数集），记作N ；非负整数集内排除元素0的集合，称为正整数集，记作N *或N +;全体整数的集合通常简称为整数集，记作Z ；全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q ；全体实数的集合通常简称为实数集，记作R ；全体复数的集合通常简称为复数集，记作C 。

5、 集合的分类（1） 含有有限个元素的集合称作有限集；（2） 含有无限个元素的集合称作无限集；（3） 不含任何元素的集合称作空集，记作φ。

二、元素与集合之间的关系1、 元素与集合之间的关系元素与集合之间是一种从属关系，表示个体与整体的关系。

一个元素要么在集合内，要么在集合外，二者必居其一。

当元素在集合内时，表示此元素属于集合，否则，此元素不属于集合。

如元素a 与集合A ，若元素a 在集合A 内，则记作.,A a A a ∉∈否则记作例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32∉A.例题讲解：例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ；（4）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

例2．已知集合P 的元素为21,,3mm m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

2、 集合与集合之间的关系 （1） 子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说两集合有包含关系，并称集合A 为集合Ｂ的子集，记作).A A B B ⊇⊆（或以集合语言可表述为：若.B A ,,⊆∈∈此时即有则B x A x（2） 集合相等：如果集合Ａ是集合Ｂ的子集（B ⊆A ），且集合Ｂ是集合A 的子集（A B ⊆），此时，集合Ａ与集合B 中的元素是一样的，即集合A 与集合B 相等，记作A=B ，以集合语言可表述为：。

，则且若B A A B B A =⊆⊆（3） 真子集：如果集合B ⊆A ，但存在元素A x B x ∉∈且,，称集合A 为集合B 的真子集，记作A B ，以集合语言可表述为：若，则且若B A B A ≠⊆A B 。

3、集合间包含关系的性质与说明（1）若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有n 2个，真子集有（12-n ）个，非空子集有（12-n）个，非空真子集有（22-n ）个。

（2）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

（3）C A C B B A ⊆⊆⊆⊆⊆，则，若；；A A A φ.【经典例题】1、下列各组对象①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( )A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组2、下列命题中正确的是( )A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合3、直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( )A ．第一象限内的点B ．第三象限内的点C ．第一或第三象限内的点D ．非第二、第四象限内的点4、用适当符号填空：0 {0，1}；{a ，b } {b ，a }；0 Φ5、用列举法表示集合}{0)1()1(2=+-∈x x R x 为 ；{y |y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= .{(x ,y )|y =x 2－1，|x |≤2 ，x ∈Z}= .6、M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是（ ）。

(A )1-≤a (B ) 1≤a (C ) 1-≥a (D )1≥a7、设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．8、已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．9、 已知集合{}{},121B 01032-≤≤+=≤--=m x m x x x x A ，若A B A =⋃,求实数m 的取值范围。

第二讲 集合的运算【考点梳理】一、交集、并集、补集1、 交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ⋂，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=⋂且,。

2、 并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，3、 补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U 。

（2）补集的概念：对于一个集合Ａ，由全集Ｕ中不属于集合Ａ的所有元素组成的集合，称为集合Ａ相对于全集Ｕ的补集，简称为集合Ａ的补集，记作A C U ，即：{}A x U x x A C U ∉∈=且,。

二、集合的运算性质与说明【考点例析】考点1：有关交集的运算考点2：有关并集的运算考点3：有关全集、补集的运算考点4：集合的综合运算【考点攻略】1、 在集合运算中，要注意确认集合元素的特征，并注意集合关系的转换。

2、 数形结合的方法是重要的数学思想方法，在解题过程中往往能起非常重要的作用，有时会使复杂问题变得简单、清晰。

因此应注意数轴、Venn 图等方法在集合题目中的应用。

3、 在集合的综合运算中，尽可能把集合间的包含关系、相等关系、子集等形象化、具体化，这样能起到简化作用，易于解答。

4、 与参数有关的运算，利用集合间的关系，最终落实到集合中元素的问题，要以此列方程（组）或不等式（组）确立参数。

【经典例题】1、若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)【解析】(1,),(,3)A B =+∞=-∞，(1,3)A B =- ，故选C.【方法总结】先求集合A 、B ，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.2、设{}{}=⋃-=-=B A ,52,25则＜＜＜＜x x B x x A 。

3.（1）已知{}{}。

，求＞B A B A ,01,042⋃⋂-==-=x x B x x A （2）已知{}{}。

，求＞B A B A ,03,023⋃⋂≤-=-=x x B x x A4、已知}{}{}{h g b C g f e b a B d c b a A ,,,,,,,,,,,===，求（1）B A ⋂ （2）C B A ⋃⋃ （3）C B A ⋃⋂)( （4）)(C B A ⋂⋃（5）C B A ⋂⋃)( （6）)(C B A ⋃⋂5、集合A ={x |x 2－px ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果{}3=⋂B A ，那么p ＋q = .6、已知{}{}222280,120A x R x x B x R x ax a =∈--==∈++-=，且B A =A ，求实数a 的取值集合。

解：由B A =A ，得B A ⊆，又因为{}2280A x R x x =∈--={}2,4=-， 所以B =∅或{}2-或{}4或{}2,4-。

（1）若B =∅，则 ()224120a a =--<，即216a >，解得：4a >或4a <-；（2）若B ={}2-，则 ()224120a a =--=且()2222120a a --+-=，解得：4a =；（3）若B ={}4，则()224120a a =--=且2244120a a ++-=，此时a 不存在；（4）若B ={}2,4-，则由根与系数的关系得：()242,1224a a -=--=-⨯，解得：2a =-。