典型环节传递函数.

式中c(t)是系统统结构和参数有关的常系数。 设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换， 并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代 数方程为：
[a0 s n a1s n1 an1s an ]C(s) [b0 s m b1s m1 bm1s am ]R(s)
lim f (t ) lim sF ( s )
s 0
2
数学工具－拉普拉斯变换与反变换续
初值定理
微分定理 积分定理
t 0
lim f (t ) lim sF ( s )
s
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0) dt
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt] s s
1 d r 1 B( s) b1 { r 1 [ ( s p1 ) r ]}s p1 (r 1)! ds A( s)
4
其余各极点的留数确定方法与上同。
2.3 控制系统的复域数学模型 2.3.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的
概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给 定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出 响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数 域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
传递函数及其性质
典型元部件的传递函数
1
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0
st f ( t ) e dt 0 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
② t>0时，f(t)分段连续


⑵拉氏变换基本定理
线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理
于是，由定义得系统传递函数为：
6
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)
M (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm N (s) a0 s n a1s n1 an1 s an
d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) 2 dt
L[
F ( s) f 1 (0) f 2 (0) f (t )dt] 2 s s2 s
⑶ 拉氏反变换
F(s)化成下列因式分解形式：
B(s) k ( s z1 )(s z 2 ) (s z m ) F ( s) A(s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn )
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
0
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )] a1 F1 (s) a2 F2 (s)
L[e at f (t )] F (s a)
L[ f (t )] e s F (s)
t
性质4
如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用 下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研 究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出 该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。 传递函数数学模型 是（表示）输出变量和输入变量 微分方程的运算模型（operational mode） 性质6 传递函数与微分方程之间有关系。
性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数， m≤n，且所 具有复变量函数的所有性质。 性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的 形式（幅度与大小）无关。
R(s) G(s) C(s)
图2-6
7
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的 物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F ( s) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) a3 an a1 s a2 (s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
B( s) br [ ( s p1 ) r ] s p1 A( s)
br j 1 d j B( s ) { j[ ( s p1 ) r ]}s p1 j! ds A( s)
br 1 {
d B( s ) [ ( s p1 ) r ]}s p1 ds A( s)
B( s ) ( s p1 )(s p 2 )]s p1 A( s)
[a1 s a 2 ] s p1 [
c.F(s)含有多重极点时，可展开为
F ( s) an br br 1 b1 ar 1 (s p1 ) r ( s p1 ) r 1 ( s p1 ) ( s pr 1 ) (s pn )
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
5
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt