初中联赛题型解读五：二次函数

a b a (a 1) 2a 1，于是 1 a 0, 1 2a 11
又 a b 为整数，2a 1 0, 故 a 1 b, ab 1 ，故选 B.
2
4
（3） 与坐标轴 【例4】 （2007 年联赛）设 m ， n 为正整数，且 m 2 ，如果对一切实数 t ，二次函数
a2 b2 1,
由方程组

ab

1 4
③
消去 b ，得16a4 16a2 1 0 ，所以 a2 2 3 或 a2 2 3 ，
4
4
又因为 a≥0 ，所以 a 6 2 或 a 6 2 ．
4
4

于是方程组③的解为
a

6 4
2
,
或
a
联赛题型解读之五——二次函数
一、“二次函数”真题分值分析
函数是代数知识的的大熔炉，也是代数和几何的纽带，数形结合思想在函数中得到淋漓 的展现。
下面我们通过统计近 15 年初中数学联赛中数论与组合的分值（注：至少在结构和形式 上是对函数的考察才会计入分值统计），帮助大家更好的了解二次函数在联赛中的分值比重。
因为 2 | ab | a2 b2 1 ，所以 1 ab 1 ，从而 3 ab 1 1 ，
2
2
4
44
故 0 (ab 1)2 9 ，因此 0 2(ab 1)2 9 9 ，即 0 a4 ab b4 9 .
2. 二次函数的常见问题 一般来说二次函数有五大类问题 （1） 图像与系数的关系 绝对值方程；分式方程；根式方程； （2） 图像变换 平移；轴对称；中心对称；绝对值函数 （3） 区间最值 利用函数单调性，寻找给定区间上的最值 （4） 函数与方程不等式 利用数形结合懒一元二次方程，二次不等式问题. （5） 代几综合题 结合全等，相似圆等
解得
m 1， n 2，
或
mn 119390，，或
mn 79，92 ，或
m n
1， 93 2， 3
又 m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故 m 1 ，n 2 ．因此，b (m n) 3 ，
c mn 2 ，二次函数的解析式为 y x2 3x 2 ．易求得点 A 、B 的坐标为 1，0
4a
4a
图 2）；
（5） 单调性：二次函数 y ax2 bx c （ a 0 ）的变化情况（增减性）
①如图 1 所示，当 a 0 时，对称轴左侧 x b ， y 随着 x 的增大而减小，在对称轴的 2a
右侧 x b ， 2a
y 随 x 的增大而增大； ②如图 2 所示，当 a着 x 的增大而增大，在对称轴
【解析】原方程可转化为求方程 x2 2006 x 2008 0 的所有实根之和． 若实数 x0 为方程的根，则其相反数 x0 也为该方程的根，所以，方程的所有实根之 和为 0 ，即与 x 轴交点的横坐标之和为 0 ．
（2） 图像与系数
【例2】 （2005 年联赛）已知二次函数 f x ax2 bx c 的图象如图所示，记
和 2，0 ，点 C 的坐标为 0，2 ，所以 △ABC 的面积为 1 (2 1) 2 1 ．
2
（2） 不等式
结合函数图像，看一类二次不等式问题
【例6】 （2008 年联赛）已知 a2 b2 1，对于满足条件 0 ≤ x ≤1 的一切实数 x ，不等式
a(1 x)(1 x ax) bx(b x bx)≥0 恒成立.当乘积 ab 取最小值时，求 a,b 的值．
又 b 1 ， b 2a ， 2a b 0 ，从而 a b a 0 2a
∴ p a b 2a b b a 2a b 2b a ，
q a b 2a b a b b 2a 2b a ，∴ p q ，选 C

x2

cx

a

b 2
在 x 1 时取最小值 8 b ，则 △ABC 是（ ） 5
A．等腰三角形
B．锐角三角形 C．钝角三角形
D．直角三角形
【解析】由 题 意 可 得

c 2 (a
b
1 )

2
a

b

c

a

b


8b
即
b c

c 3b 5
2a
所以
【解析】由 x y 1， xy≥0 可知 0 ≤ x ≤1 ， 0≤ y ≤1 ．
在①式中，令 x 0 ， y 1，得 a≥0 ；令 x 1 ， y 0 ，得 b≥0 ．
将 y 1 x 代入①式，得 a(1 x)2 x(1 x) bx2 ≥0 ，即
1 a b x2 2a 1 x a≥ 0
2a 的右侧 x b ，
2a y 随 x 的增大而减小； （6） 与坐标轴的交点：①与 y 轴的交点：（0，C）；②与 x 轴的交点：使方程
ax2 bx c 0 （或 a(x h)2 k 0 ）成立的 x 值．
（7） 若抛物线与坐标轴的三个交点构成直角三角形，则有 a 1 .
9a 3， 8a ，
解得
1

a

3
．
又
a
为
整数
，
所以
a

2
，
b 9a 3 15 ， c 8a 2 14 ．
（2）设 m ， n 是方程的两个整数根，且 m≤n ，由根与系数的关系可得
m n b 3 9a ，mn c 2 8a ，消去 a ，得 9mn 8(m n) 6 ，两边同时
我们可以认为在接下来一两年内可能会考察两道题（一道一试题一道二试题）。
二、二次函数的知识与技巧
二次函数拥有有一元二次方程的许多技巧和问题，结合函数图像也有几何的性质和问题。
1. 二次函数 y ax2 bx c（a 0）或 y a(x h)2 k （ a 0 ）的性质
（1）
c

3b 5
，
a

4 5
b
，因此
2
25
a2 c2 b2，所以 ABC 是直角三角形． 故选 D．
（2） 区间最值
【例8】 （2012 年联赛）已知实数 a,b 满足 a2 b2 1，则 a4 ab b4 的最小值为（ ）
A． 1 8
B．0
C．1
D． 9 8
【解析】 a4 ab b4 (a2 b2 )2 2a2b2 ab 1 2a2b2 ab 2(ab 1)2 9 . 48
乘以 9，得 81mn 72(m n) 54 ，分解因式，得 (9m 8)(9n 8) 10 ．
所以
99mn 88110，，或
9m 8 2， 9n 8 5，
或
99mn 8811，0，或
9m 8 5， 9n 8 2，
三、联赛中二次函数的考察方式
二次函数在联赛中考察的题型基本与我们总结的五类题型一致，近几年在数形结合上考察的 较为频繁，其中 2012 年在二试考察了一道二次函数题目，类似武汉中考压轴题的考法。 1、二次函数的图像
（1） 含绝对值二次函数 含绝对值的函数最重要的是观察图像以及对称轴
【例1】 （2006 年联赛）函数 y x2 2006 x 2008 的图象与 x 轴交点的横坐标之和等于 __________．
y x2 (3 mt)x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t n ，求 m ，n
的值．
【解析】因为一元二次方程 x2 (3 mt)x 3mt 0 的两根分别为 mt 和 3 ，
所以二次函数 y x2 (3 mt)x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离为 mt 3
【例3】 已知二次函数 y ax2 bx 1(a 0) 的图象的顶点在第二象限，且过点 (1, 0) .当
a b 为整数时， ab （
）
1
A. 0
B.
4
C. 3 4
D. 2
【解析】B．依题意知 a 0, b 0, a b 1 0, 故 b 0, 且 b a 1， 2a
②
易知1
a
b

0
，
0

2a 1 2(1 a b)
1 ，故二次函数
y

(1
a
b)x2
(2a
1)x

a的
图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在 0 和 1 之间．
由题设知，不等式②对于满足条件 0 ≤ x ≤1 的一切实数 x 恒成立，
所以它的判别式 (2a 1)2 4(1 a b) a ≤0 ，即 ab≥ 1 4
开口方向：
a a

0 0

向上 向下
（2） （3） （4）
对称轴： x b （或 x h ） 2a
顶点坐标： ( b , 4ac b2 ) （或 (h, k) ） 2a 4a
最值：
y
O
x
图1
图2
a 0 时有最小值 4ac b2 （或 k ）（如图 1）； a 0 时有最大值 4ac b2 （或 k ）（如

6 4
2,
b
6 4
2,
b
6 4
2.
所以满足条件的 a ， b 的值有两组，分别为
a 6 2 ，b 6 2 和a 6 2 ，b 6 2 ．
4
4
4
4
3、区间最值
（1） 最值
【例7】
（2007
年联赛）设
a
，b
，c
是
△ABC
的三边长，二次函数
y


a

b 2
由题意， mt 3 ≥ 2t n ，即 (mt 3)2 ≥ (2t n)2 ，即
(m2 4)t2 (6m 4n)t 9 n2 ≥0
由题意知， m2 4 0 ，且上式对一切实数 t 恒成立，所以
m2 4 0


(6m

4n)2

4(m2

（1）如果 a ， b ， c 都是整数，且 c b 8a ，求 a ， b ， c 的值． （2）设二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴的交点为 A 、 B ，与 y 轴的交点为
C ．如果关于 x 的方程 x2 bx c 0 的两个根都是整数，求 △ABC 的面积．
2001~2016年联赛函数考察分值
35
32
30 27 25
27 25
20
14
14
15
10
7
7
7
777
5
00
0
0
0
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
整体来看，函数基本维持在每年一题，考察的分值最高达 32 分（一道一试题一道二试 题），而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。
【解析】点 P1，a 、 Q2，10a 在 二 次 函 数 y x2 bx c 的 图 象 上 ， 故 1 b c a ，
4 2a c 10a ，解得 b 9a 3 ， c 8a 2 ．
（
1）
由
c

b

8a
知
8a 9a

2 3

4)(9

n2) ≤ 0

m 2
4(mn

6)2
≤0

m 2 mn 6
所以
m 3 n 2
或
m 6 n 1
.
2、与方程、不等式
（1） 一元二次方程
这类问题一般是披着二次函数外衣的一元二次方程问题。
【例5】 （2010 年联赛）已知二次函数 y x2 bx c 的图象经过两点 P1，a ，Q2，10a ．
p a b c 2a b ， q a b c 2a b ，则（ ）．
A． p q
B． p q
C． p q
D． p 、 q 大小不能确定
0
1
【解析】由题意得： a 0 ， b 0 ， c 0 ，∴ p a b 2a b ， q a b 2a b