山东省日照市2018届高三数学4月校际联合期中试题 理

高三校际联合考试理科数学
2018。

4
本试卷共6页，满分150分。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第I 卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U 为实数集，集合{
}
(){}
2
230,ln 1A x x x B x y x =--<==-，则U A C B ⋂为 A ．{}
13x x ≤<
B ．{}
3x x <
C ．{}
1x x ≤-
D ．{}
11x x -<<
2．《九章算术》第三章“衰分"中有如下问题：“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十,凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?一其意为：
“今有甲带了560钱，乙带了350钱,丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”,则乙应出(所得结果四舍五入,保留整数) A ．17
B ．28
C ．30
D ．32
3．已知15sin ,sin cos 6463x x x πππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
则值为 A ．0
B ．
1
4
C ．
12
D ．12
-
4．若抛物线()2
20y px p =>上一点()02,P y 到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为 A ．2
4y x =
B ．2
6y x =
C ．2
8y x =
D ．2
10y x =
5。

已知向量()2,,3,,2a m b m R π⎛⎫
=-=∈ ⎪⎝⎭
，则“()2a a b ⊥+"是“2m =”的 A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.已知函数()()()()2sin ,3,2,log 6,,,f x x x a f b f c f a b c =+===若则的大小关系是 A ．a <b 〈c
B ．c 〈b< a
C ．b< a <c
D ．b 〈c 〈 a
7．如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积等于 A 。

12π+ B.
5123π+ C 。

4π+ D. 543
π
+ 8．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点,M 是线段AD 的中点,若存在实数
λμ和，使得,=BM AB AC λμλμ=++则
A ．2
B ．2-
C ．
1
2
D ．12
-
9．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息,我们通常见的条形码是“13EAN -”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字(用1213,,,a a a ⋅⋅⋅表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中a 13是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性．图(1)是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号［m]表示不超过m 的最大整数（例如[]365.7365=．现有一条形码如图(2）所示
()3977040119917a ，其中第
3个数被污损,那么这个被污损数字
a 3是
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10.设函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>,己知集合()()(){}
,A x f x x f x =
为的极值点，
()22,162x y B x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若存在实数ϕ，使得集合A B ⋂中恰好有5个元素,则ω的取值范围是
A 。

,36⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭
B. ,34⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
C 。

,46⎡⎫
⎪⎢
⎪⎣⎭
D. ,412⎡⎫
⎪⎢
⎪⎣⎭
11
．己知直线0l y m ++=与双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>右支交于M ，N 两点，点M 在第一象
限,若点Q 满足0OM OQ +=(其中O 为坐标原点）,且30MNQ ∠=，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12
y x =±
B ．y x =±
C ．2y x =±
D
．y =
12．已知(){}
(){}
0,0P f Q g ααββ====,若存在,P Q αβ∈∈，使得
n αβ-<,则称函数
()()f x g x 与互为“n 度零点函数”
．若()221x f x -=-与()2x
g x x ae =-（e 为自然对数的底数)互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为 A ．214,e e ⎛⎤
⎥⎝
⎦
B ．214,
e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．242,e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭
D ．3242,e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．己知随机变量ζ
服从正态分布()
()()2
,260.15N P P μσξξ<=>=，若，则
()24P ξ<<=______________。

14．()4
23a b c +-的展开式中2
abc 的系数为____________．
15．在1,
27,0x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
的可行域内任取一点(),m n ，则满足230m n -≥的概率是________．
16
．在平面四边形1,,2ABCD AB AC BD BC BD BC ==⊥=中，，则AD 的最小值为____________． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）
已知{}n a 是等比数列,{}n b 满足()1211222,5,2234n n n b b a b a b a b n =-=++⋅⋅⋅+=+-⋅且． (I)求{}n a 的通项公式和前n 项和最n S ； (II)求{}n b 的通项公式．
18．(12分）
如图，菱形ABCD 中，3
BAD π
∠=，其对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形OAEF 为矩形,平面OAEF ⊥平
面ABCD,AB=AE.
（I ）求证：平面DEF ⊥BDF;
（II)若点H 在线段时上,且BF=3HF ，求直线CH 与平面DEF 所成角的正弦值．
19．(12分）
《十九大报告》中指出：坚持人与自然和谐共生．建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,坚持节约资源和保护环境的基本国策．下表l 是《环境空气质量指标(AQI ）技术规定（试行)》:
表1:空气质量指标AQI 分组表
(注：表中“m ～n ”指包含端点m 和n ）
表2是从2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的海曲市的AQI 指数x 和海曲市甲景区的AQI 指数y 对应情况及其海曲市的AQI 指数x 另外10天的情况．
表2：海曲市与甲景区AQI 指数
（I ）若海曲市AQI 指数x 与甲景区AQI 指数y 线性相关，根据前20组数据,经计算得
20
202020
2
1
1
1
1
1600,1400,154000,131500,i
i i i i i i i i x
y x x y ========∑∑∑∑，求出y 关于x 的回归直线方程；
（II ）小李在海曲市甲景区开了一家便利店，经小李统计:当景区空气质量为优时，该店平均每天盈利约600元；当景区空气质量为良时,该店平均每天盈利约300元；当景区空气质量为轻度污染及以上时，该店平均每天亏损约180元(将频率看作概率）．
①根据2018年3月份1号至30号随机抽取了20天的甲景区的AQI 指数和海曲市的AQI 指数另外10天的情况，估计小李的便利店在当年3月份的这30天里每天盈利的数学期望； ②求小李在连续三天里便利店的总盈利不低于1500元的概率．
附：线性回归方程系数公式()
1
2
21
,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a y bx x
n x
==-=
=--∑∑．
20．（12分)
在平面直角坐标系xOy 中，定点()11
,0A 和动点1B ，以线段11A B 为直径的圆内切于圆2
2
4x y +=． (I)求动点1B 轨迹曲线C 的方程；
(II)若直线l :240x y +-=与曲线C 的一个公共点为T ，与OT （O 为坐标原点）平行的直线l '，与曲线C 交于不同的两点A ，B ，直线l '与直线，交于点P ，试判断是否存在常数λ使2
PA PB PT λ⋅=恒成立，若存在求出常数λ的值，若不存在请说明理由．
21。

（12分）
已知,a b 为实数,函数()()()1ln 12
b
f x
g x x x a =
+=-+，函数. （I ）令()()()1,0F x f x g x a =++≤当时,试讨论函数()F x 在其定义域内的单调性；
（II)当()()()2a G x f x g x =-=⋅时，令,是否存在实数b,使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数
1x 均存在实数[)()2121,,x G x x ∈+∞≥有成立？若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在,请说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分。

22。

（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标。

已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y ϕ
ϕ
=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）,过点O 的直线l 交曲线C 于M,N 两点，且直线l 的倾斜角为3
π. （I)求直线l 和曲线C 的极坐标方程； (II ）求
11
OM ON
+
的值.
23。

（10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. （I ）解不等式：()g x <3；
（II)若对任意的1x R ∈都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立,求实数a 的取值范围。

绝密★启用前试卷类型：A
高三校际联考理科数学参考答案 2018。

04
一、选择题：
ADCCB DADBA BB
1.答案A 解析：.故选A。

2.答案D解析：因为甲持560钱,乙持350钱，丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按
照各人带钱多少的比例进行交税，乙应付：钱．故选D．
3。

答案C解析:。

故选C
4.答案C解析: 因为抛物线上一点到其准线的距离为,所以抛物线故选C.
5。

答案解析: 由题得，等价于.
所以“”是“"的必要非充分条件.故选。

6.答案D解析：，单调递增,
又,,即.故选D.
7.答案A解析:由三视图可知，该几何体是一个组合体,其中上方是一个底面半径为1，高为1的圆锥，中间部分是一个半径为1的半球,下方是一个正四棱柱，且该正四棱柱的底面是边长为2的正方形，
高为3,所以圆锥的体积,半球的体积，正四棱柱的体积，所以该几何体的体积.故选A.
8。

答案D解析:因为点在线段上，所以存在，使得。

因为是线段
的中点，所以
又，所以，，所以. 故选D。

9.答案B解析:
当时，（舍去);
当时，。

故选B
10。

答案A解析：考查三角函数的周期性及图象、椭圆、不等式相关知识，考查学生数形结合能力以及化归思想.集合表示的最大值和最小值对应的点，且两个相邻的最大值(或最小值）点之间长度为一个周期，的最大值或最小值一定在直线上，又在集合中，当时，得,若存在实数,即可
将函数适当平移，依题意得。

故选A
11.答案B解析：设，,则。

∴得，即。

∵点满足，∴，∴，
∵，∴,
∴，即
∵双曲线的渐近线方程为,
∴双曲线的渐近线方程为。

故选B.
12.答案B解析:易知函数在上单调递增，且，所以函数只
有一个零点2,故，由题意知，即。

由题意知，函数在内存在零点，由，得，所以。

记则.所以当时，,函数单调递增；当时,,函数单调递减;
所以，而，，,所以实数的取值范围为.故选B.
二、填空题：
13． 14。

216 15． 16.
13．答案.解析：由题意可知，。

故答案为
14。

答案216。

解析: 把的展开式看成是个因式的乘积形式，展开式中，含
项的系数可以按如下步骤得到：第一步：从个因式中任选个因式,这个因式取,有种取法；第二步：从剩余的个因式中任选个因式取，有种取法；第三步：把剩余的个因式中都取,有种取法，根据分步乘法计数原理，得含项的系数是,故答案为216.
15。

答案
解析：.画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，。

由，解得,即，
且,
所以,
作出直线，则所以表示区域为，
即不等式所表示的区域为，其面积为,
所以不等式对应的概率为。

故答案为.
16。

答案。

解析：设，则.在中，由余弦定理得
,故，由正弦定理得,即，所以.在中，由余弦定理得
,又,且
，所以,其中，
所以当，即时,取最小值，故答案为.
三、解答题:
17．答案:（Ⅰ），；（Ⅱ）。

解析:（Ⅰ）
,
,，
是等比数列，,的通项公式为
，………………………………………3分
的前项和. ………………………………………6分
（Ⅱ)由及得
①
时，②
①②得，
当时，,
，。

……………………………………………10分
又当时，，
的通项公式为. ……………………………………………12分
18．答案：（I)见详解；(II）
（I）证明：为菱形，。

四边形为矩形，,，
, …………………2分
又，.
又，平面平面.…………5分
(II)平面平面，
平面平面=，
又，,
，。

以为原点,，,所在直线分别为轴,轴，轴，建立空间直角坐标系。

不妨设,则,，,,,.
,，，
,
.……………………………………………8分
设平面的法向量为=，
由，即,
令得=，
由.
得直线与平面所成角的正弦值即为。

……12分
19．答案（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②．
解析：(Ⅰ），，
所以
,，……………………………………………3分
所以关于的回归方程是。

……………………………………………5分
（Ⅱ）由得由得
根据另10天海曲市的指数估计甲景区的指数，即海曲市的指数当在时，甲景区空气质量为优,在时，空气质量为良，以上，空气质量为轻度污染以及以上。

由表知甲景区的不高于的频数为，频率为，
指数在的频数为，频率为，
指数大于的频数为，频率为.
设“便利店每天盈利约600元"为事件，“便利店每天盈利约300元”为事件，“便利店每天亏损约180元"为事件，
则，，,……………………………………………7分
①设便利店每天盈利为元,则的分布列为
元600 300 -180
则的数学期望为(元）。

………………9分
②由①“连续三天便利店盈利不低于1500元包含三种情况"，
则“连续三天便利店盈利不低于1500元”的概率：。

答：便利店在这30天里每天盈利的数学期望是320元，连续三天便利店盈利不低于1500元的概率是. …………………………12分
20．答案:(Ⅰ）；（Ⅱ)
解析:（Ⅰ）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取，
依题意,圆内切于圆，设切点为，则，，三点共线。

因为为的中点，为中点,所以。

所以===，
依椭圆的定义可知，动点的轨迹为椭圆,
…………………………2分
其中:
所以所以，
所以动点的轨迹曲线方程为. ………………………………………5分（Ⅱ）设直线的方程为，由，
得点的坐标为，
又由，得点坐标,
所以，………………………………………7分设，，联立，消去得，
则有，，所以，………………………………9分，，，
同理,所以
=，
所以为定值。

……………………………………………12分21．答案（Ⅰ)见详解；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ)
故函数在内单调1。

,此时函数的定义域为
，
递增, 在内单调递减。

…………………………2分
2.，
，
此时函数的定义域为
，
此时恒成立。

令得，令
，
函数在内单调递增，在内单调递减。

综上1。

当时，函数在内单调递增,在内单调递减。

2.当时，函数在内单调递增, 在内单调递减。

………4分
（Ⅱ）当时，假设存在实数满足条件，
则在上恒成立．
1。

当时,
可化为，
令
问题转化为:对任意恒成立（*）;
又
(1）时，因为,
故，所以函数在时单调递减,，
即，从而函数在时单调递增，
故，所以(*）成立，满足题意；…………………………6分
(2）当，，
因为，所以,记，则当时，，
故，所以函数在时单调递增,，
从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；
所以当，恒成立时,；………8分
2。

当时,
可化为
令，
问题转化为:对任意的恒成立（＊＊）；
又
(1）时，,故，所以函数在时单调递增，，即，
从而函数在时单调递增，所以,此时(＊*）成立；（2）当时,
①若，必有,故函数在上单调递减,
所以,即，
从而函数在时单调递减，所以,此时(＊＊）不成立；
②若，则，所以时，
故函数在上单调递减，,即,
所以函数在时单调递减,所以，此时(**)不成立;
所以当,恒成立时,. ………11分
综上所述,当,恒成立时，,
从而实数的取值集合为. ………12分
=(）；：
22．答案（Ⅰ)
：
（Ⅱ）
解析：(Ⅰ)依题意,直线的极坐标方程为=（）.………………………1分由消去，得。

………………………3分
将，代入上式，
得：。

故曲线的极坐标方程为。

………………………5分（Ⅱ）依题意可设,，且，均为正数。

将=代入，得，
………………………7分
所以,
，
所以===.………………………10分
23．答案（Ⅰ）（Ⅱ)或
解析：（Ⅰ）由,得
解得……4分
故不等式的解集为：………5分(Ⅱ）因为任意，都有,使得成立，
所以…………7分又，
，所以，…………8分解得或，
所以实数的取值范围为或……10分。