2022-2023学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a →
=（2，6），b →
=（1，λ），若a →
∥b →
，则λ等于（ ） A ．2
B ．﹣3
C ．3
D ．﹣2
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =√3，A ＝45°，B ＝60°，则a ＝（ ） A ．1
B ．2√2
C ．2
D ．√2
3．设a →
，b →
是两个非零向量，则“a →
∥b →
”是“|a →
+b →
|=|a →
|+|b →
|”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线都与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线
C ．α内的所有直线都与l 相交
D ．直线l 与平面α有公共点
5．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若ED →
=xAB →
+yAD →
(x ，y ∈R)，则x ﹣y 等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．1
2
D ．−1
2
6．在△ABC 中，A =
2π
3
，AB ＝AC ＝2，以AB 所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．
7π2
B ．2π
C ．π
D ．3π
7．已知△ABC 中，D 是BC 的中点，且|AB →
+AC →
|=|AB →
−AC →
|，|AD →
|=|AB →
|，则向量BA →
在BC →
上的投影向量为（ ） A ．1
4BC →
B ．√34
BC →
C ．−14BC →
D ．−√34BC →
8．如图，已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AD ＝AA 1＝2，AB ＝3，E 、F 分别是棱AA 1、A 1D 1的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线D 1P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）
A ．2√2
B ．√13
C ．√10
D ．2√2+1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列命题是真命题的是（ ） A ．平行于同一直线的两条直线平行 B ．平行于同一平面的两条直线平行
C ．平行于同一直线的两个平面平行
D ．平行于同一平面的两个平面平行
10．在平面直角坐标系中，已知点O （0，0），A （1，2），B （3，1），则（ ） A ．|AB →
|=√5
B ．△AOB 是直角三角形
C ．以OA ，OB 为邻边的平行四边形的顶点
D 的坐标为（4，4） D ．与OA →
垂直的单位向量的坐标为(
2√55，−√55)或(−2√55
，√5
5) 11．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，G ，H 分别在线段DC ，DA 上，且满足DG ＝λDC ，DH ＝μDA ，λ，μ∈（0，1），则下列说法正确的是（ ）
A ．当λ＝μ=12
时，四边形EFGH 是矩形 B ．当λ＝μ=2
3时，四边形EFGH 是梯形 C ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是空间四边形
D ．当λ≠μ时，直线EH ，FG ，BD 相交于一点
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a
c =
1+cosA cosC
，则下列结论正确的有（ ）
A ．A ＝2C
B ．a 2﹣c 2＝2bc
C ．
1
tanC
−
1tanA
+2sinA 的最小值为2√2 D ．a
c
的取值范围为（0，2）
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了：已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，
即：S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 2
2
)2]．即有△ABC 满足a ＝2，b ＝3，c =√7，且△ABC 的面积S △ABC
＝ ．
14．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，则该球的表面积是 ． 15．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD 的高度为20m ，地面上一人在A 点观察该信号塔顶部，仰角为45°，沿直线步行1min 后在B 点观察塔顶，仰角为30°，若∠ADB ＝150°，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为 m /s ．
16．在锐角△ABC 中，B =π
3
，|AB →−AC →|=1，则AB →⋅AC →的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量|a →
|=2，|b →
|=1，a →
⋅b →
=1
2． （1）求(2a →
+b →
)⋅(a →
−b →
)的值； （2）求2a →
+b →
与a →
−b →
的夹角的余弦值．
18．（12分）已知△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →=(a ，√3b)，n →
=(sinB ，cosA)，且m →⊥n →
． （1）求角A ；
（2）若a =√7，b ＝2，求△ABC 的面积．
19．（12分）如图，在三棱柱BCF ﹣ADE 中，若G ，H 分别是线段AC ，DF 的中点． （1）求证：GH ∥BF ；
（2）在线段CD 上是否存在一点P ，使得平面GHP ∥平面BCF ，若存在，指出P 的具体位置并证明；
若不存在，说明理由．
20．（12分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥CB ，AB ＝4，CD ＝2，∠DAB =π
3．且AM →
=1
2AD →
，
AN →
=14
AB →
．
（1）若G 是MN 的中点，证明：A ，G ，C 三点共线；
（2）若P 为CB 边上的动点（包括端点），求(PM →
+PN →
)⋅PB →
的最小值．
21．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱DD 1，AB 的中点． （1）若M 为棱CC 1上靠近C 点的四等分点，求证：BM ∥平面PQC ；
（2）若平面PQC 与直线AA 1交于R 点，求平面PRQC 将正方体分割成的上、下两部分的体积之比．（不必说明画法与理由）．
22．（12分）在①√3acosC +asinC −√3b ＝0，②（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ，③AB →⋅AC →
=2√3
3S ，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
在锐角△ABC 中，△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且选条件：_____． （1）求角A 的大小：
（2）作AB ⊥BD （A ，D 位于直线BC 异侧），使得四边形ABDC 满足∠BCD =π
4，BD =√2，求AC 的最大值．
2022-2023学年浙江省宁波市三锋教研联盟高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a →
=（2，6），b →
=（1，λ），若a →
∥b →
，则λ等于（ ） A ．2
B ．﹣3
C ．3
D ．﹣2
解：向量a →=（2，6），b →
=（1，λ），因为a →
∥b →
，所以2λ﹣6×1＝0，解得λ＝3． 故选：C ．
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =√3，A ＝45°，B ＝60°，则a ＝（ ） A ．1
B ．2√2
C ．2
D ．√2
解：由正弦定理得，a sinA
=
b sinB
，∴
a sinA
=
√3
sinB
，解得a =√2． 故选：D ．
3．设a →
，b →
是两个非零向量，则“a →
∥b →
”是“|a →
+b →
|=|a →
|+|b →
|”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：不妨取a →
=−2b →
，此时a →
，b →
共线，但|a →
+b →
|＝|b →
|，|a →
|+|b →
|＝3|b →
|， 此时|a →
+b →
|≠|a →
|+|b →
|，充分性不成立；
因为|a →
+b →
|＝|a →
|+|b →
|，所以|a →
+b →
|2
＝（|a →
|+|b →
|）2， 所以|a →
|2+|b →
|2+2a →•b →
=|a →
|2+|b →
|2+2|a →
|•|b →
|， 因为a →
，b →是两个非零向量，
所以cos ＜a →
，b →
＞=1，所以a →
，b →
共线，必要性成立， 所以a →
∥b →
”是“|a →
+b →
|=|a →
|+|b →
|”成立的必要不充分条件． 故选：B ．
4．若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线都与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线
C ．α内的所有直线都与l 相交
D ．直线l 与平面α有公共点
解：根据题意，直线l 不平行于平面α，则直线l 与α相交或直线l 在平面α内，
则直线l 与平面α必然有公共点． 故选：D ．
5．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若ED →
=xAB →
+yAD →
(x ，y ∈R)，则x ﹣y 等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．1
2
D ．−1
2
解：由题意知ED →
=EA →
+AD →
=−14AC →+AD →=−14(AB →+AD →)+AD →=−14AB →+34AD →
，
因为ED →=xAB →+yAD →
(x ，y ∈R)， 所以x =−1
4，y =3
4，x −y =−1． 故选：B ． 6．在△ABC 中，A =
2π
3
，AB ＝AC ＝2，以AB 所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ） A ．
7π2
B ．2π
C ．π
D ．3π
解：在△ABC 中，A =
2π
3
，AB ＝AC ＝2， 由题意易得BC ＝2√3，
以BC 所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，
该几何体由两个底面重合的圆锥组成，其中圆锥的底面半径为CO =√3， 大圆锥的高为BO ＝3，小圆锥的高为AO ＝1，
则大圆锥的体积V 1=13×π×（√3）2×3＝3π，小圆锥的侧面积V 2=1
3×（√3）2•1＝π， ∴该几何体的体积为V ＝V 1﹣V 2＝3π﹣π＝2π．
故选：B ．
7．已知△ABC 中，D 是BC 的中点，且|AB →
+AC →
|=|AB →
−AC →
|，|AD →
|=|AB →
|，则向量BA →
在BC →
上的投影向量为（ ） A ．1
4
BC →
B ．√34
BC →
C ．−1
4BC →
D ．−√34BC →
解：|AB →
+AC →
|=|AB →
−AC →
|，则两边同时平方可得，AB →
⋅AC →
=0，即∠A ＝90°， D 是BC 的中点，令|AD →
|=|AB →
|=m ，
则∠ACB ＝30°，|BC →|=2m ，即∠ABC ＝60°，
向量BA →
在BC →
上的投影向量为BA →⋅BC →
|BC →
|
×
BC →
|BC →
|
=
2m 2×12
4m 2
×BC →
=
14
BC →
．
故选：A ．
8．如图，已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AD ＝AA 1＝2，AB ＝3，E 、F 分别是棱AA 1、A 1D 1的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线D 1P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（ ）
A ．2√2
B ．√13
C ．√10
D ．2√2+1
解：根据题意，取BC 的中点Q ，连接AQ ，AD 1，D 1Q ，
因为E ，F 分别为AA 1，A 1D 1的中点，所以EF ∥AD 1，FD 1∥BQ ，FD 1＝BQ ， 所以四边形BQD 1F 为平行四边形，所以BF ∥D 1Q ，
又EF ∩BF ＝F ，AD 1∩D 1Q ＝D 1，所以平面BEF ∥平面AQD 1， 所以当点P 在线段AQ 上运动时，直线D 1P 与平面BEF 无公共点，
线段AQ 就是点P 的轨迹，且AQ =√9+1=√10，即点P 的轨迹长度为√10． 故选：C ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列命题是真命题的是（ ） A ．平行于同一直线的两条直线平行 B ．平行于同一平面的两条直线平行
C ．平行于同一直线的两个平面平行
D ．平行于同一平面的两个平面平行
解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，由平行公理，平行于同一直线的两条直线平行，A 正确； 对于B ，平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面，B 错误； 对于C ，平行于同一直线的两个平面相交或平行，C 错误； 对于D ，平行于同一平面的两个平面平行，D 正确． 故选：AD ．
10．在平面直角坐标系中，已知点O （0，0），A （1，2），B （3，1），则（ ） A ．|AB →
|=√5
B ．△AOB 是直角三角形
C ．以OA ，OB 为邻边的平行四边形的顶点
D 的坐标为（4，4） D ．与OA →
垂直的单位向量的坐标为(
2√55，−√55)或(−2√55
，√5
5) 解：因为AB →
=OB →
−OA →
=(2，−1)，所以|AB →
|=√22+(−1)2=√5，A 正确； 因为|OA →
|=
√12+22=√5，|OB →
|=
√32+12=√10，所以|OA →
|2
+|AB →
|2
=|OB →
|2
，所以OA →⊥AB →
，即△
OAB 为直角三角形，B 正确；
因为以OA ，OB 为邻边的平行四边形，OA →=BD →
，设D （x ，y ），则（1，2）＝（x ﹣3，y ﹣1），所以顶点D 的坐标为（4，3），C 错误；
因为OA →=(1，2)，设与OA →
垂直的单位向量为m →
=(x ，y)， 则{x +2y =0
x 2+y 2=1，解得{x =2√55y =−√55或{x =−2√5
5y =√5
5
， 故与OA →
垂直的单位向量的坐标为(2√55，−√55)或(−2√55，√5
5)，D 正确； 故选：ABD ．
11．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，G ，H 分别在线段DC ，DA 上，且满足DG ＝λDC ，DH ＝μDA ，λ，μ∈（0，1），则下列说法正确的是（ ）
A ．当λ＝μ=1
2时，四边形EFGH 是矩形 B ．当λ＝μ=23时，四边形EFGH 是梯形 C ．当λ≠μ时，四边形EFGH 是空间四边形
D ．当λ≠μ时，直线EH ，FG ，BD 相交于一点 解：根据题意，连接AC ，依次分析选项：
对于A ，当λ＝μ=12
时，H 、G 是AD 和CD 的中点，则有GH ∥AC 且GH =12
AC ， 又由E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，则EF ∥AC 且EF =12
AC ，
则有EF ∥GH 且EF ＝GH ，四边形EFGH 是平行四边形，但不一定是矩形，A 错误； 对于B ，当λ＝μ=2
3时，由平行线等分线段定理可得GH ∥AC 且GH =2
3AC ， 又由EF ∥AC 且EF =12AC ，则有EF ∥AC 但EF ≠AC ， 则四边形EFGH 是梯形，B 正确；
对于C ，当λ≠μ时，易得GH 与AC 不平行，进而有GH 与EF 不平行， 则四点E 、F 、G 、H 不共面，故四边形EFGH 是空间四边形，C 正确；
对于D ，由C 的结论，当λ≠μ时，四点E 、F 、G 、H 不共面，EH 和FG 不相交，D 错误． 故选：BC ．
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a
c =
1+cosA cosC
，则下列结论正确的有（ ）
A ．A ＝2C
B ．a 2﹣c 2＝2bc
C ．
1tanC
−1tanA
+2sinA 的最小值为2√2 D ．a c
的取值范围为（0，2）
解：对于选项A ，由正弦定理及a c
=
1+cosA cosC
，知sin A cos C ＝sin C （1+cos A ）＝sin C +sin C cos A ，
所以sin A cos C ﹣sin C cos A ＝sin C ，即sin （A ﹣C ）＝sin C ， 所以A ﹣C ＝C 或A ﹣C +C ＝π，即A ＝2C 或A ＝π（舍）， 所以A ＝2C ，即选项A 正确； 对于选项B ，由a
c =
1+cosA cosC ，得a cos C ＝c +c cos A ， 由余弦定理得，a •a 2+b 2−c 2
2ab
=c +c •
b 2+
c 2−a 2
2bc
，整理得a 2﹣c 2＝bc ，即选项B 错误；
对于选项
C ，1tanC
−
1
tanA
+ 2sin A =cosC
sinC −cosA
sinA + 2sin A =
sinAcosC−cosAsinC
sinAsinC
+ 2sin A =sin(A−C)sinAsinC +2sin A =sinC sinAsinC +2sin A =1
sinA +2sinA ≥2√2，当且仅当1sinA
=2sin A ，即sin A =√22时，等号成立， 所以
1tanC
−
1tanA
+2sin A 的最小值为2√2，即选项C 正确；
对于选项D ，因为A ＝2C ，所以B ＝π﹣3C ，
又A ，B ∈（0，π），所以{0＜2C ＜π
0＜π−3C ＜π
，解得C ∈（0，π3），
所以a c
=
1+cosA cosC
=
1+cos2C cosC
=
2cos 2C cosC
=2cos C ∈（1，2），即选项D 错误．
故选：AC ．
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．
13．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了：已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，
即：S =√14
[a 2c 2−(a 2+c 2−b 2
2
)2]．即有△ABC 满足a ＝2，b ＝3，c =√7，且△ABC 的面积S △ABC ＝
3√3
2
． 解：∵a ＝2，b ＝3，c =√7，
∴S △ABC =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 2
2)2]=
√14[4×7−(4+7−92)2]=3√32
． 故答案为：
3√3
2
． 14．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，则该球的表面积是 14π ． 解：∵长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，
∴长方体的外接球的直径为：√9+4+1=√14， 外接球的半径为R =
√14
2
，
∴这个球面的表面积为：4πR 2＝14π． 故答案为：14π．
15．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD 的高度为20m ，地面上一人在A 点观察该信号塔顶部，仰角为45°，沿直线步行1min 后在B 点观察塔顶，仰角为30°，若∠ADB ＝150°，此人的身高忽略不
计，则他的步行速度为 √7
3
m /s ．
解：依题意，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，则AD ＝CD ＝20m ， 在Rt △BCD 中，∠BDC ＝90°，∠CBD ＝30°，则BD =
CD
tan30°
=20√3m ，
在△ADB 中，∠ADB ＝150°，由余弦定理得：AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ， 即AB 2=202+(20√3)2−2×20×20√3cos150°=2800，解得AB ＝20√7m ， 即有
20√760=√73，所以他的步行速度为√7
3
m/s ． 故答案为：
√7
3
． 16．在锐角△ABC 中，B =π
3
，|AB →−AC →|=1，则AB →⋅AC →的取值范围为 （0，3） ．
解：因为△ABC 是锐角三角形，且∠B =π3
，所以A +C ＝120°，30°＜A ＜90°， 又|AB →−AC →|=|CB →|，所以|CB →
|=a =1，由正弦定理有
a
sinA
=
b sinB
=
c sin(120°−A)
，
所以b =√3
2sinA ，c =sin(120°−A)sinA ，所以AB →⋅AC →=bccosA =√3
2cosAsin(120°−A)sin 2A =3
4tan 2A +√3
4
tanA =14[(√3tanA )2+√3tanA
]， 因为
√3tanA
∈(0，3)，所以(√3tanA )2+√3
tanA ∈（0，12），所以AB →⋅AC →∈(0，3)． 故答案为：（0，3）．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量|a →
|=2，|b →
|=1，a →
⋅b →
=1
2．
（1）求(2a →
+b →
)⋅(a →
−b →
)的值； （2）求2a →
+b →
与a →
−b →
的夹角的余弦值．
解：（1）根据题意，向量|a →
|=2，|b →
|=1，a →
⋅b →
=1
2， 则（2a →
+b →
）•（a →
−b →
）＝2a →2
−a →•b →
−b →
2＝8−1
2−1=132
； （2）设2a →
+b →
与a →
−b →
的夹角为θ，
（2a →
+b →
）2＝4a →
2+4a →•b →
+b →
2＝19，则|2a →
+b →
|=√19， （a →
−b →）2
=a →2
﹣2a →•b →
+b →
2
＝4，则|a →
−b →
|＝2， 故cos θ=
(2a →+b →
)⋅(a →−b →
)|2a →+b →||a →−b →|
=
13√19
76
． 18．（12分）已知△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m →
=(a ，√3b)，n →
=(sinB ，cosA)，且m →
⊥n →
． （1）求角A ；
（2）若a =√7，b ＝2，求△ABC 的面积．
解：（1）因为m →
⊥n →
，所以m →
⋅n →
=asinB +√3bcosA =0，由正弦定理得sinAsinB +√3sinBcosA =0， 因为sin B ≠0，所以sinA +√3cosA =0，即：tanA =−√3， 又因为0＜A ＜π，所以A =2
3
π；
（2）由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，
代入可得关于c 的方程：c 2+2c ﹣3＝0，解得：c ＝1或c ＝﹣3（舍）， 由三角形面积公式S △ABC =1
2
bcsinA =
1
2×2×1×√32=√32
． 19．（12分）如图，在三棱柱BCF ﹣ADE 中，若G ，H 分别是线段AC ，DF 的中点． （1）求证：GH ∥BF ；
（2）在线段CD 上是否存在一点P ，使得平面GHP ∥平面BCF ，若存在，指出P 的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
解：（1）证明：连接DB ，则G 为DB 的中点，且H 为DF 的中点，
∴GH 为△DBF 的中位线， ∴GH ∥BF ；
（2）在CD 上存在点P 使得平面GHP ∥平面BCF ，P 为CD 的中点，证明如下： 取CD 的中点P ，连接HP ，GP ，且H 为DF 的中点， ∴HP ∥FC ，且HP ⊄平面BCF ，FC ⊂平面BCF ，
∴HP ∥平面BCF ，同理，GP ∥平面BCF ，且HP ∩GP ＝P ，HP ⊂平面GHP ，GP ⊂平面GHP ， ∴平面GHP ∥平面BCF ．
20．（12分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥CB ，AB ＝4，CD ＝2，∠DAB =π3．且AM →=12AD →，
AN →
=1
4AB →
．
（1）若G 是MN 的中点，证明：A ，G ，C 三点共线；
（2）若P 为CB 边上的动点（包括端点），求(PM →
+PN →
)⋅PB →
的最小值．
证明：（1）AG →
=12(AM →+AN →)=12(12AD →+14AB →)=14AD →+18AB →
，
AC →=AD →+DC →=AD →
+1
2AB →
， 因为AG →
=14
AC →，所以AG →∥AC →
，
由于AG →
，AC →
有公共点A ，所以A ，G ，C 三点共线； 解：（2）令PB →
=λCB →
，0≤λ≤1， CB →
=CD →
+DA →
+AB →
=12
AB →−AD →
，
PM →
=PB →
+BA →
+AM →
=λCB →
−AB →
+12AD →=(λ2−1)AB →+(1
2−λ)AD →，
PN →=PB →+BN →=λCB →
+3
4AB →
=(λ2−3
4)AB →−λAD →
，
所以PM →
+PN →
=(λ−74)AB →+(1
2
−2λ)AD →，
得到：(PM →
+PN →
)⋅PB →
=λ[(λ−74)AB →+(12−2λ)AD →]⋅(12AB →
−AD →)
=λ[(λ2−7
8)AB →2+(2−2λ)AB →⋅AD →
+(2λ−1
2)AD →
2] =λ(24λ−6)=24(λ−18)2−3
8，
即当λ=18时，(PM →+PN →)⋅PB →的最小值是−3
8．
21．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是棱DD 1，AB 的中点． （1）若M 为棱CC 1上靠近C 点的四等分点，求证：BM ∥平面PQC ；
（2）若平面PQC 与直线AA 1交于R 点，求平面PRQC 将正方体分割成的上、下两部分的体积之比．（不必说明画法与理由）．
（1）证明：取PC 的中点N ，DC 的中点G ，连接NG ，NM ，NQ ， 易得HG ∥MC ，且NG ＝MC ，∴四边形MNGC 为平行四边形， ∴MN ∥CG ，且MN ＝CG ，又∵CG ∥BQ ，且CG ＝BQ ， ∴MN ∥BQ ，且MN ＝BQ ，∴四边形MNQB 为平行四边形， ∴BM ∥NQ ，又∵BM ⊄平面PQC ，NQ ⊂平面PQC ， ∴BM ∥平面PQC ；
（2）解：如图所示，延长CQ 和DA ，使其交于E 点，连接PE ，交A 1A 于R ，
∵Q 是AB 的中点，AQ ∥DC ，∴A 为ED 的中点，又AR ∥PD ， ∴
AQ DC
=
EA ED
=
RA PD
=1
2
．∴RA =1
2，
V 下＝V P ﹣EDC ﹣V R ﹣AEQ =13×12×2×4×1−13×12×2×1×12=76
， V 上＝V 正方体﹣V 下=41
6， ∴
V 上V 下
=
417
．
22．（12分）在①√3acosC +asinC −√3b ＝0，②（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ，③AB →
⋅AC →
=2√3
3
S ，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
在锐角△ABC 中，△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且选条件：_____． （1）求角A 的大小：
（2）作AB ⊥BD （A ，D 位于直线BC 异侧），使得四边形ABDC 满足∠BCD =π
4，BD =√2，求AC 的最大值．
解：（1）选①由题意得：√3sinAcosC +sinAsinC −√3sinB =0， 即√3sinAcosC +sinAsinC −√3sin(A +C)=0，
所以sinAsinC =√3cosAsinC ，又因为sin C ≠0，所以tanA =√3， 因为0＜A ＜π，所以A =π
3；
选②由题意得：sin 2B ﹣2sin B sin C +sin 2C ＝sin 2A ﹣sin B sin C ， 即b 2+c 2﹣a 2＝bc ，
所以cosA =b 2
+c 2−a 22bc =bc 2bc =12
，
因为0＜A ＜π，所以A =π
3
； 选③由题意得：bccosA =
2√33×1
2
bcsinA ， 所以cosA =√3
3sinA ，即tanA =√3， 因为0＜A ＜π，所以A =π
3；
（2）如图，设∠ABC ＝θ，则∠CBD =
π2−θ，∠CDB =θ+π
4
，
在△BCD 中，由正弦定理得
BC sin∠BDC
=
BD sin∠BCD
，
可得BC =BDsin∠BDC sin∠BCD =√2⋅sin(θ+π
4)sin π4
=2sin(θ+π
4)， 在△ABC 中，由正弦定理得
AC sinθ
=
BC sinA
，
可得AC =BC⋅sinθsinA =2sin(θ+π
4)⋅sinθsin π
3
=4√3+π
4)⋅sinθ =4√3(√22sinθ+√22cosθ)sinθ=4√3(√2
2sin 2θ+√22sinθcosθ)
=√23
2θ+2sinθcosθ)=
√23
−cos2θ+sin2θ)
=
2√33(√22sin2θ−√22cos2θ)+√63=2√33sin(2θ−π
4)+√63
， 因为△ABC 是锐角三角形，所以{0＜θ＜π
2
0＜23π−θ＜π2
，
得到π6
＜θ＜π
2
，
所以可得π
12
＜2θ−
π4
＜
3π4
，
当2θ−
π4=π2时，即θ=3π
8时，可得AC 的最大值是2√3+√63
．。