(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD:BD=5:3，CF =6，则DE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
2．如图所示，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，请你计算，电线杆AB 的高为（ ）
A ．5米
B ．6米
C ．8米
D ．10米
3．如图，矩形ABCD 中，AD m =，AB n =，要使BC 边上至少存在一点P ，使ABP △、APD △、CDP 两两相似，则m 、n 间的关系式一定满足（ ）
A ．12m n ≥
B ．m n ≥
C ．32m ≥
D ．2m n ≥ 4．如图，在ABC 中，//D
E BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
5．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）
A．10
3
B．
20
3
C．
5
2
D．
15
2
6．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）
A．∠A=∠D，∠B=∠F B．BC AC
EF DF
=且∠B=∠D
C．AB BC AC
DE EF DF
==D．
AB AC
DE DF
=且∠A=∠D
7．下列相似图形不是位似图形的是（）
A．B．
C．D．
8．如图，已知直线////
a b c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，
c于点D，E，F，若
1
2
AB
BC
=，则
DE
EF
=（）
A．1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．1
9．如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：
①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB =；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作CE BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =，反比例函数(0,0)k y k x x
=
>>经过点D ，则k =（ ）
A ．2
B ．352
C ．36
D ．30
11．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
12．下列判断中，不正确的有（ ）
A ．三边对应成比例的两个三角形相似
B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
二、填空题
13．如图所示，在ABC ∆中，4BC =，E ，F 分别是AB ，AC 的中点．（1）线段EF
的长为_____；（2）若动点P 在直线EF 上，CBP ∠的平分线交CE 于点Q ，当点Q 把线段EC 分成的两线段之比是1∶2时，线段EP 、BP 之间的数量关系满足EP BP +＝_____．
14．己知034
x z y ==≠，则345x y z x y z -+=++________． 15．如图，D 是AC 上一点，//BE AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，12∠=∠．若8DF =，4FG =，则GE =________．
16．如图1，课本中有一道例题：有一块三角形余料ABC ，它的边120BC mm =，高80AD mm =．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．设PN xmm =，用x 的代数式表示AE =________mm ，由//PN BC ，可得APN ABC ∽△△，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，可求得
PN =________mm ．
拓展：原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图2，此时，PN =________mm ．
17．目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一．现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a=3米和b=4米，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分为含以b 为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为____________米
18．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．
19．若()0a b a c b c k k c b a
+++===≠， 则k 的值为______． 20．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC 为_________尺．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB ＝23，AC 43=，点D 在AC 上，且AD ＝
12
AB ， (1)用尺规作图作出点D(保留作图痕迹，不必写作法)；
(2)连接BD ，并证明：△ABD ∽△ACB ．
22．已知：如图在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H ．求证：△BEC ∽△BCH ．
23．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，4=AD ，3BD =，8DC =，点P 是BC 边上一点（不与点B 、D 、C 重合），过点P 作PQ BC ⊥交AB 或AC 于点Q ，作点Q 关于直线AD 的对称点M ，连结QM ，过点M 作MN BC ⊥交直线BC 于点N ．设BP x =，
矩形PQMN与ABC重叠部分图形的周长为y．
（1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）．
（2）求矩形PQMN成为正方形时x的值．
（3）求y与x的函数关系式.
（4）当过点C和点M的直线平分ADC的面积时，直接写出x的值．
24．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD为边画一个三角形，使它与ABC相似．
（2）在图②中画一个三角形，使它与ABC相似（不全等）．
（3）在图③中的线段AB上画一个点P，使
2
3 AP
PB
=．
25．如图，已知AB为O直径，C为O外一点，（连结,
AC BC交O于点F，取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH AB
⊥于H，且满足
BH BC BE AB
⋅=⋅．
（1）求证：AC是O的切线；
（2）若8,10CF BF ==，求AC 和EH 的长
26．如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，12
DE CD =，连接BE 与AC ，AD ，FE 分别交于点O ，F ．
（1）若DEF ∆的面积为2，求平行四边形ABCD 的面积．
（2）求证2·OB OE OF =．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由DE //BC 可得出53
AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ，结合∠ADE ＝∠EFC 可得出△ADE ∽△EFC ，根据相似三角形的性质可得出
53AE DE EC FC ==，再根据CF ＝6,即可求出DE 的长度．
【详解】
解：∵DE //BC ，
∴
53
AD AE BD EC ==，∠AED ＝∠C ． 又∵∠ADE ＝∠EFC ，
∴△ADE ∽△EFC ， ∴
53
AE DE EC FC ==， ∵CF ＝6， ∴
563
DE =， ∴DE ＝10．
故选C
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比
例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答．
【详解】
解：如图，假设没有墙，电线杆AB 的影子落在E 处，
∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例，
∴CD ：DE=1：0.5=2：1，
∴AB ：BE=2：1，
∵CD=2，BE=BD+DE ，
∴BE=3+1=4，
∴AB ：4=2：1，
∴AB=8，即电线杆AB 的高为8米，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解． 3．D
解析：D
【分析】
由于△MNP 和△DCP 相似，可得出关于MN 、PC 、NP 、CD 的比例关系式．设PC=x ，那么NP=m-x ，根据比例关系式可得出关于x 的一元二次方程，由于NC 边上至少有一点符合条件的P 点，因此方程的△≥0，由此可求出m 、n 的大小关系．
【详解】
解：若设PC=x ，则NP=m-x ，
∵△ABP ∽△PCD ，
AB BP PC CD ∴=即,n m x x n
-= 即x 2-mx+n 2=0方程有解的条件是：
m 2-4n 2≥0，
∴（m+2n ）（m-2n ）≥0，则m-2n≥0，
∴m≥2n ．
故选：D ．
【点睛】
本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决．
4．D
解析：D
【分析】
根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．
【详解】
解：∵DE ∥BC ， ∴
AD AE DB EC =，即643EC
=， 解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6；
故选：D ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 5．C
解析：C
【分析】 根据平行线分线段成比例得到
BC AD CE DF =，代入已知解答即可． 【详解】
解：∵////AB CD EF ， ∴BC AD CE DF
=， ∵:3:1AD DF =，10BE =， ∴
1031CE CE -=， 解得：CE=
52
， 故选：C ．
【点睛】 本题考查平行线分线段成比例、比例的性质，掌握平行线分线段成比例是解答的关键，注意对应线段的顺序．
6．B
解析：B
【分析】
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；
B 、B
C AC EF DF
=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； C 、AB BC AC DE EF DF
==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；
D 、AB AC D
E DF
=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 7．D
解析：D
【分析】
根据位似变换的概念判断即可．
【详解】
解：D 中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A 、
B 、
C 中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
8．B
解析：B
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】
解：∵a ∥b ∥c ， ∴
12
DE AB EF BC ==． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 9．B
解析：B
【分析】
根据相似三角形的判定逐个判断即可得．【详解】
①在ADE和ACB
△中，
AED B
A A
∠=∠
⎧
⎨
∠=∠
⎩
，
ADE ACB
∴，则条件①能满足；
②//
DE BC，
ADE ABC
∴，则条件②不能满足；
③在ADE和ACB
△中，AD AE AC AB
A A
⎧
=
⎪
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
ADE ACB
∴，则条件③能满足；
④由AD BC DE AC
⋅=⋅得：
AD DE
AC BC
=，
对应的夹角ADE
∠与C
∠不一定相等，
∴此时ADE和ACB
△不一定相似，则条件④不能满足；
综上，能满足的条件有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
作DF⊥OC于F，根据矩形的性质和相似三角形的性质求得OD=3，OE=5，根据勾股定理求得30
OC=，然后通过三角形相似求得DF和OF，从而求得D的坐标，代入解析式即可求得k的值．
【详解】
解：作DF⊥OC于F，
在矩形OABC中，∠OCB=90°，OD=BD，
90,
OCE BCE
∴∠+∠=︒
∵CE⊥OB，
90,CEO BEC ∴∠=∠=︒
90,OCE COE ∴∠+∠=︒
,COE BCE ∴∠=∠
,COE BCE ∴∽
,CE OE BE CE
∴= ∴2,CE BE OE =
∵2DE BE =，CE = 设,BE x =则DE=2x ，3,OD BD x ==
∴OE=5x ，
∴25,x x =
解得，x=1（负根舍去），
∴OD=3，OE=5，
∴
OC ===
∵∠OFD=∠OEC=90°，∠DOF=∠EOC ，
∴△DOF ∽△COE ，
∴
,DF OF OD CE OE OC
==
5OF ==
∴OF DF ==
∴D 的坐标为⎝⎭
，
∵反比例函数k y x =
（k ＞0，x ＞0）经过点D ，
∴222
k == 故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得D 的坐标是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理得到DE=
12
BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】 ∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点， ∴12
DE BC =
，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽， ∴2DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC
214S ∆=， 解得，8BOC S ∆=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；
B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；
C 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；
D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
二、填空题
13．22或8【分析】（1）运用中位线性质求解即可；（2）延长BQ 交射线EF 于M 根据三角形的中位线平行于第三边可得EF ∥BC 根据两直线平行内错角相等可得∠M=∠CBM 再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠C
解析：2 2或8
【分析】
（1）运用中位线性质求解即可；
（2）延长BQ 交射线EF 于M ，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF ∥BC ，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM ，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM ，从而
得到∠M=∠PBM ，根据等角对等边可得BP=PM ，求出EP+BP=EM ，再根据CQ=13CE 求出EQ=2CQ ，然后根据△MEQ 和△BCQ 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】
解：（1）∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点
∴1=
2
EF BC ∵BC=4
∴EF=2；
（2）如图，延长BQ 交射线EF 于M ，
∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，
∴EF ∥BC ，
∴∠M=∠CBM ，
∵BQ 是∠CBP 的平分线，
∴∠PBM=∠CBM ，
∴∠M=∠PBM ，
∴BP=PM ，
∴EP+BP=EP+PM=EM ，
∵点Q 把线段EC 分成的两线段之比是1：2，
∴CQ=
13
CE ， ∴EQ=2CQ ， 由EF ∥BC 得，△MEQ ∽△BCQ ，
∴2EM EQ BC CQ
==， ∴EM=2BC=2×4=8，
即EP+BP=8，
当CQ=2EQ 时，同法可得，EM=2，EP+PB=EM=2．
故答案为：EP+BP=8或EP+PB=2．
故答案为：2；8或2．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是
本题的难点．
14．【分析】可设则x=3ky=kz=4k 代入所求式子中求解即可【详解】解：设则x=3ky=kz=4k 则===故答案为：【点睛】本题考查比例的性质分式的求值熟练掌握比例的性质巧妙设参数是解答的关键 解析：43
【分析】 可设
=34
x z y k ==，则x=3k ，y=k ，z=4k ，代入所求式子中求解即可． 【详解】 解：设
=34x z y k ==，则x=3k ，y=k ，z=4k ， 则
345x y z x y z -+++ =3344354k k k k k k
-+⨯++ =1612k k
=43
， 故答案为：
43． 【点睛】
本题考查比例的性质、分式的求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参数是解答的关键． 15．12【分析】利用AAS 判定△FEB ≌△FAD 得BF=DF 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△BFG ∽△EFB 根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF2=FG•EF 由条件可求出EF 长则GE 长可
解析：12
【分析】
利用AAS 判定△FEB ≌△FAD ，得BF=DF ，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可得到△BFG ∽△EFB ，根据相似三角形的对应边成比例即可得到BF 2=FG•EF ，由条件可求出EF 长，则GE 长可求出．
【详解】
解：∵AD//BE ，
∴∠1=∠E ．
在△FEB 和△FAD 中
1E EFB AFD BE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△FEB ≌△FAD ；
∴BF=DF ，
∵∠1=∠E ，∠1=∠2，
∴∠2=∠E ．
又∵∠GFB=∠BFE ，
∴△BFG ∽△EFB ， ∴BF FG EF BF
=， ∴BF 2=FG•EF ，
∴DF 2=FG•EF ，
∵DF=8，FG=4，
∴EF=16，
∴GE=EF-FG=16-4=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形全等、相似的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定及相似三角形的判定是关键．
16．48【分析】根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算然后根据矩形的性质可设则进行求解即可；【详解】设则∵PN ∥BC ∴∴即解得∴拓展：设则∵PN ∥BC ∴∴∴解得∴；故答案是：；48；【点睛
解析：80x -48
4807 【分析】
根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形的性质可设BQ x =，则2PN x =，80AE x =-，进行求解即可；
【详解】
设PN xmm =，则PN PQ ED xmm ===，
()80AE AD ED x mm =-=-，
∵PN ∥BC ，
∴
APN ABC ， ∴
PN AE BC AD =， 即8012080
x x -=，解得48x =， ∴48PN mm =，
拓展：设PQ xmm =，则2PN xmm =，
()80AE AD ED x mm =-=-，
∵PN ∥BC ，
∴
APN ABC ， ∴PN AE BC AD =， ∴28012080x x -=，解得2407
x =， ∴48027PN x ==
； 故答案是：80x -；48；
4807
． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键．
17．16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可
①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B 分别计算即可【详解】解：如图在Rt △ABC 中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△
解析：16或10+25或
403
【分析】
分三种情形讨论即可，①AB=BE 1，②AB=AE 3，③E 2A=E 2B ，分别计算即可．
【详解】
解：如图
在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90，BC=3，AC=4
∴225AB BC AC =+=
①当BA=BE 1=5时，CE 1=2，
∴1AE ==
∴△ABE 1周长为（
②当AB=AE 3=5时，CE 3=BC=3，BE 3=6，
∴△ABE 3周长为16米．
③当E 2A=E 2B 时，作E 2H ⊥AB ，则BH=AH=2.5，
∵∠B=∠B ，∠ACB=∠BHE 2=90∘，
∴△BAC ∽△BE 2H ， ∴
2BE BH BC AB
= ∴BE 2=256， ∴△ABE 2周长为25402563
⨯+=米．
综上所述扩充后等腰三角形的周长为16或403米
故答案为：16或403
【点睛】 本题考查等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定、三角形周长等知识，正确理解题意是解题的关键，运用了分类讨论的数学思想，注意漏解．
18．或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△ 解析：
78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54
x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，
∴AC ＝5，
∵DE ∥BC ，
∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，
设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54
x ，A ′B ＝24x ﹣，
在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，
∵△A ′EC 是直角三角形，
∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344
⨯=， ∴AD ＝1974248
⎛⎫-= ⎪⎝⎭；
②点A 在线段AB 的延长线上（22(24)3x -+）2+（5﹣
54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258
．
故AD 长为78或258
． 故答案为：
78或258
． 【点晴】 本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 19．或2【分析】根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ）根据因式分解可得a+b+c=0或k=2根据分式的性质可得答案【详解】解：由得
b+c=ak①a+c=bk②a+b=ck③①+②+③得2（
解析：1-或2
【分析】
根据等式的性质，可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），根据因式分解，可得a+b+c=0或k=2，根据分式的性质，可得答案．
【详解】 解：由()0a b a c b c k k c b a
+++=
==≠,得 b+c=ak ①，a+c=bk ②，a+b=ck ③，
①+②+③，得
2（a+b+c ）=k （a+b+c ），
移项，得
2（a+b+c ）-k （a+b+c ）=0，
因式分解，得
（a+b+c ）（2-k ）=0
a+b+c=0或k=2，
当0a b c ++=时，a b c +=-， 1a b c k c c
+-===-， ∴1k =-或2．
故答案为：1-或2．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出2（a+b+c ）=k （a+b+c ）是解题关键，又利用了分式的性质．
20．575【分析】由题意可得△AFB ∽△ADC 根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸【详解】解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ∴可设BC=x 则有解之可得：BC=575（尺）故答案为575【点睛】
解析：57.5
【分析】
由题意可得△AFB ∽△ADC ，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸．
【详解】
解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ，∴
AB FB AC DC =， 可设BC=x ，则有
50.455
x =+，解之可得：BC=57.5（尺）， 故答案为57.5．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键 ． 三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先尺规作线段AB的垂直平分线，再以点A为圆心，以AB的一半作弧，与AC的交点即为点D的位置；
（2）根据两边成比例且夹角相等证明即可．
【详解】
解：（1）点D的位置如图所示：
（2）∵
31231
,
22
2343
AD AB
AB AC
====，且∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和相似三角形的判定，熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．见解析．
【分析】
由题意可得△CDF≌△CBE，所以可得∠DCF＝∠BCE，进一步结合菱形的性质可得∠H＝∠BCE，再由∠B＝∠B即可得到所证结论成立．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
【点睛】
本题考查菱形的综合应用，综合运用菱形的性质、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定是解题关键．
23．（1）PQ=
43x ；PQ=11-x 2；（2）x=95
；x=235；（3）y=12-43x ；（4）1513x =； 【分析】 （1）根据x 的取值范围不同，分两种情况进行讨论；
（2）根据正方形的性质，分0<x<3，3<x<11进行讨论即可；
（3）由y=PQ+MN+QM+PN 代入值求解即可；
（4）连接CM 交AD 于O ，证明△△OME OCD ，即可得解；
【详解】
（1）①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3，
∵AD ⊥BC ，AD=4，BD=3， ∴tan ∠B=
43
， ∵PQ ⊥BC ， ∴43
PQ BP =， ∴当0<x<3时，PQ=
43x ； ②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11，
∵AD ⊥BC ，AD=4，CD=8，
∴tan ∠C=12
， ∵PQ ⊥BC ， ∴
12
PQ PC =，PC=11-x ， ∴当3<x<11时，PQ=11-x 2； （2）①当PQ 交AB 于点Q 时，0<x<3，
∵四边形PQMN 为正方形，
∴PQ=QM=MN=NP ，
∵QM=2（3-x ）， ∴43
x=2（3-x ）， 解得x=95
； ②当PQ 交AC 于点Q 时，3<x<11，
∵四边形PQMN 为正方形，
∴PQ=QM=MN=NP ，
∵QM=2（x-3），
∴()11-x 2=2（x-3）， 解得x=
235； （3）y=PQ+MN+QM+PN ，
=2×43
x+2×2（3-x ）， =12-43
x ； （4）如图，连接CM 交AD 于O ， 由题可知：122AE DE AD ==
=， ∵43
QP ED x ==， ∴423OE OD DE x =-=-
，3EM QE PD x ===-， ∵QM ∥BC ，
∴△△OME
OCD ， ∴EO EM DO DC
=， ∴
423328x x --=， 化简得：44233x x ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭， ∴1513
x =．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合正方形的性质计算是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）连接DE ，则DE//BC ，由相似三角形的判定方法可知△ADE ∽△ABC ；
（2）如图②，根据勾股定理和相似三角形的判定方法可知△DEF ∽△ABC ；
（3）连接DE ，BE ，DE 交AB 于点P ，则DE//BC ，根据平行线分线段成比例定理可知23
AP AD PB DC ==． 【详解】
解：（1）如图①；
（2）如图②；
（3）如图③．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的管家．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 25．（1）见解析；（2）65AC =4EH =
【分析】
（1）根据条件可证明△EBH ∽△CBA ，推出90CAB EHB ∠=∠=︒即可．
（2）证明△AFC ∽△BFA ，可得AF 2=FC•FB ，求出AF ，再利用勾股定理求出AC ，证明EH=EF ，在Rt △BEH 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵BH BC BE AB ⋅=⋅，
∴BH BE BA BC
=， ∵EBH CBA ∠=∠，
∴EBH CBA ∽，
∴EHB CAB ∠=∠，
∵EH AB ⊥，
∴90EHB ∠=︒，
∴90CAB EHB ∠=∠=︒，
∴AC AB ⊥，
∴AC 是O 的切线．
（2）解：连接AF ．
∵AB 是直径，
∴90AFB AFC ∠=∠=︒，
∵90,90C CAF CAF FAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，
∴C FAB ∠=∠，
∴AFC BFA ∽，
∴280AF FC FB =⋅=， ∴45AF = ∴22228(45)12,10(45)65AC AB =+==+=
∵DF BD =，
∴FAD DAB ∠=∠，
∵,EF AF EH AB ⊥⊥，
∴EF EH =，设EH EF x ==，
∵AE AE =，
∴()Rt AEF Rt AEH HL ≌， ∴5,25AF AH BH ===
在Rt EBH △中，∵222BE EH BH =+， ∴222(10)(25)x x -=+，
∴4x =，
∴4EH =．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角，切线的判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找相似三角形解决问题．
26．（1）平行四边形ABCD 的面积为24；（2）见解析．
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定△DEF ∽△ABF ，△DEF ∽△CEB ，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及△DEF 的面积为2，可求得答案．
（2）由AD ∥BC ，AB ∥DC ，分别判定△AOF ∽△COB ，△ABO ∽△CEO ，从而可得比例式，
等量代换，再变形即可得出结论．
【详解】
解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
AB CD ∴=， 12
DE CD =， ∴21
AB CD DE DE ==， 四边形ABCD 是平行四边形，
//AB DC ∴，
DEF ABF ∴∆∆∽，
∴24()1
ABF DEF S AB S DE ∆∆==， 又2DEF S ∆=，
8ABF S ∆∴=；
四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴，
DEF CEB ∴∆∆∽，
∴2211()()39
DEF CBE S DE S CE ∆∆===， 9218CBE S ∆∴=⨯=，
18216CBE DEF BCDF S S S ∆∆∴=-=-=四边形，
∴平行四边形ABCD 的面积为：81624+=．
（2）证明：//AD BC ，
AOF COB ∴∆∆∽，
∴AO OF CO OB
=， //AB DC ，
ABO CEO ∴∆∆∽，
∴AO OB CO OE =， ∴OF OB OB OE
=， 2·OB OE OF ∴=．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．。