辽宁省营口市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题答案

2022-2023学年度上学期期末教学质量监测高三年级数学参考答案
一、单选题
1.【D 】{}|2M x x =>，{}|03N x x =<<,{}|0M N x x => ，故选D
2.【C 】21
311
i z i i +=
+=-+-，1z i =--对应的点(1,1)--位于第三象限，故选C 3.【C 】若//a b ，则4t =-，2(3,6)a b +=--
，则|2|a b +==
C
4.【A 】展开式所有项的系数和为243，所以3243n
=,5n =,展开式的常数项14
2
4
25
(2)()10C x x -=，故选A 5.【A 】从盒中任取1球，是红球记为1A ，黑球记为2A ，白球记为3A ，1A ，2A ，3A 彼此互斥
设第二次抽出的是红球记为事件B ，123232(),(),(),777P A P A P A ===123311(|),(|),(|),
844
P B A P B A P B A ===1122332331212
()(|)()(|)()(|)()7874747
P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=⨯+⨯+⨯=.故选A
6.【B 】当PC 与直线34120x y -+=垂直时，过P 作圆的两条切线，切点为M,N ，此时MPN ∠
最大；
||2PC =
=，||1CM =,1
sin 2
CPM ∠=
,30CPM ∠= MPN ∠的最大值为260CPM ∠= ,故选B
7.【C 】过A 作抛物线准线的垂线，垂足为D
法1.
由2
2tan
2tan 1tan 2
θ
θθ==--525tan tan ()2225θθ==-或舍,所以2cos 23θ=，设抛物线的标准方程为24y fx =，0(,)2
d A x ，0||cos 2AF x f θ+=，002()3x f x f ++=，所以05
f
x =，
所以
2445d f f =，22516f d =
，所以4
f d =法
2.tan θ=-，则1cos 9
θ=-，在ABF ∆
中，由余弦定理得||10AF d
=0||
AF d x f =
=+，0x
f =-
，,
2d A f -代入2
4y fx =
,2)4d f f =-,即240f d =，f d =f d 因为4d f <，所以14f d >，所以5
4
f d =8.【B 】()13f x +-为奇函数，()13(1)3f x f x -+-=-++，所以()f x 关于(1,3)对称，()13
f =()2f x +为偶函数，()2(2)f x f x -+=+，则()f x 关于2x =对称，周期4T =,
()6(2)6(2)()f x f x f x f x =--=-+=-，所以()f x 为偶函数
()()()()01101f f f f +=+=-，所以()02f =-，所以()26(0)8f f =-=(1)3(2)48f a b f a b =+=⎧⎨
=+=⎩，534
3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当[]1,2x ∈时，()25433f x x =+11136111
(1012)()()6()622221212
2023(
)2f f f f f =-=-==-=-=，选B 二、多选题
9.【AC 】设建设前农村的经济收入为a ,则新农村建设后经济收入为2a ，建设前农村的种植收入为0.6a ,则新农村建设后经济收入为0.74a ，故A 正确建设前农村的其他收入为0.04a ,则新农村建设后其他收入为0.1a ，
0.1 2.50.04a
a
=，故B 错误建设前农村的养殖收入为0.3a ,则新农村建设后养殖收入为0.6a ，故C 正确新农村建设后其他收入与第三产业收入的总和占比33%1
3
<
，故D 错误10.【BD 】11115(12)1212232323ABCDPE C ABEP P ACD V V V --=+=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=,故A 错误113V =，213V =，32
3
V =，所以232V V =，312V V V +=.故B ，D 正确，C 错误
11【BCD 】因为02x π<<，所以
2333
x πππ
ωπω<+<+，若()f x 在()0,2π内恰有4个零点，则792232πππωπ<+≤，解得1925
1212
ω<≤，故C 正确
由图像可知，()f x 在()0,2π内有1或2个极大值点，故A 错误
()f x 在()0,2π内有且仅有2个极小值点，故B 正确
当05x π<<时，253035351234x ππππππωωπ<+<+≤⋅+=<，所以()f x 在(0,5π内单调递减，故D 正确
12.【ACD 】2x e x =-,ln 2x x =-,x y e =和ln y x =图像关于y x =对称
y x =与2y x =-交点(1,1)M ,(,),(,ln )a A a e B b b ，ln ,a
a b b e ==
A.2a b +=>所以1ab <，所以A 正确
B.e ln 2a b b a +=+=，所以B 错误
C.()f x 在(0,)+∞
单调递增，13(0)10,()022
f f =-<->，所以1
(0,2a ∈
()x h x e x =-，1(0,)2x ∈，()10x h x e '=->，()h x 在1
(0,)2
x ∈
单调递增
11()()22a h a e a h =-<=<715
424
-=,所以C 正确
D.令1()ln(2)(2)ln ,(0,)
2
x x x x x x ϕ=-+-∈24(1)
()ln(1)0(2)
x x x x x ϕ-'=-+>-，()x ϕ在1(0,)2上单调递增，
因为102a <<
,133113131
()ln(2)(2)ln ln ln ln 2222222222a a a a a ϕ=-+-<+<<=-又因为2a b +=，所以1ln ln 2a b b a +<-，所以D 正确
三、填空题13.答案：5
-解析：
3242a a
+-=，则5a =-14.答案：32π(或2
π
-)(答案不唯一，符合题意即可)
解析：当0x ≥时，()cos()sin f x x x θ=-=-，所以2,2
k k Z π
θπ=-+∈，
写出一个符合题意的即可15.答案：
83
π解析： ,EH
FG 的长度均为2
π
， 11,A E A F 的长度均为
23π， GH 的长度均为3
π
球面与正四棱柱的表面相交所得到的弧长之和等于28222333ππππ⨯+⨯+=16.
解析：设直线AB 与渐近线的交点为M ,双曲线的右焦点2
F 2||||2AF AF a =+,2||||2BF BF a =-,
在Rt OMF ∆中，cos b
FMO c
∠=在2AFF ∆中，222
(||2)||42||2b AF a AF c AF c c +=+-⋅⋅，解得2
||b AF a b
=+在2BFF ∆中，222
(||2)||42||2b BF a BF c BF c c -=+-⋅⋅，解得2||b BF
b a
=-由
2FA FB = ，得2||||FA FB = ，所以222b b a b b a
=+-，所以3b a =，e ==全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》
四、解答题
17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为(0)
d d ≠因为4a 是2a 和8a 的等比中项，所以2
428a a a =，
即2111(3)()(7)a d a d a d +=++，整理得21a d d =，因为0d ≠，所以1a d =①……………2分
又因为990S =，所以19989902a d S ⨯=+=，整理得1410a d +=②…………3分
由①②联立得：12a d ==……………4分
所以2(2)22n a n n =+-⨯=，即2n a n =……………5分
（Ⅱ）已知[]lg n n b a =，所以0,14
1,5492,50100n
n b n n ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪≤≤⎩
……………8分所以10004145251147T =⨯+⨯+⨯=…………10分18.解：（Ⅰ）cos 0
a b C +=由正弦定理得sin sin cos 0A B C +=，…………1分
所以sin()sin cos 0B C B C ++=,即2sin cos cos sin 0B C B C +=，………3分所以2tan tan 0B C +=……………………5分
(Ⅱ)因为cos 0a b C =->，所以cos 0C <，即C 为钝角，
所以2tan tan 0B C =->……………………6分
2tan tan tan tan tan()1tan tan 12tan B C B
A B C B C B
+=-+=-=
-+ (7)
分1 1
2tan tan B B
=
=
+8分当且仅当
12tan tan B B =
，即tan 2
B =
时等号成立 (9)
分tan 2tan C B =-=
，所以sin 33
C C ==-
(10)
分cos 3(a b C =-=-⨯= (11)
分11sin 32232
ABC S ab C ∆===
……………12分(其他方法酌情给分)
19.证明：（Ⅰ）取PA 的中点M ，连接,EM DM
因为,E F 分别是,PB CD 的中点所以11//
,//22
EM AB FD AB 所以//EM FD ，所以四边形EFDM 为平行四边形,所以//EF MD …………2分因为四边形ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥…………3分又因为AB EF ⊥,//EF MD ，所以AB MD ⊥…………4分
MD AD D = ，所以AB ⊥平面PAD …………5分
又因为AB ⊂平面ABCD ,所以平面PAD ⊥平面ABCD …6分（Ⅱ）法1：取AD 的中点O ，连接PO,
因为PA PD =，所以PO AD ⊥,平面PAD ⊥平面ABCD =AD ,所以PO ⊥平面ABCD ,所以,,PO AB OD 两两垂直
以O 为原点，向量,,AB OD OP
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系O xyz -…………8分
(0,0,0)O
,P ,(2,1,0)C ,(1,1,0)F ,(2,1,0)B -
,1(1,2E
-3(1,2CE =--
,(2,CP =-- ,(1,0,0)CF =- 设111(,,)m x y z =
是平面PCE 的法向量
则00m CP m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,
即11111120302
x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩
，取1x =112,0z y ==
，所以2)m = …………9分设222(,,)n x y z =
是平面CEF 的法向量
则00n CF n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,
即11110302x x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取11y =
，则110,x z ==
，所以n = (10)
分cos ,||||m n m n m n ⋅<>==
…………11分由图可知，二面角P CE F --的为锐二面角所以二面角P CE F --
12分（其他建系方法酌情给分）
法2：过M 作MN CE ⊥，交CE 的延长线于N ，连接PN 由（Ⅰ）可知，//ME CD ,所以,,,M E C D 四点共面因为//,ME AB AB PA ⊥,所以ME PA
⊥在等边PAD ∆中，M 是PA 中点，所以MD PA
⊥
EM DM M = ,所以PA ⊥平面MECD
又因为MN CE ⊥，由三垂线定理得，PN CE
⊥所以PNM ∠就是二面角P CE F --的平面角…………8分在直角EFC ∆
中，1,CF EF MD ===
,tan ECF ∠=所以60NEM ECF ∠=∠= ,
又因为11,12ME AB PM ===,
所以2MN =,
所以PN =在直角PMN ∆中
,cos 7MN PNM PN ∠===…………11分
所以二面角P CE F --
的余弦值为7
…………12分
20.解：（Ⅰ）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，()111124
2P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，…………1分
甲的得分X 的可能取值为-1,0,1
()()()()11111
46
3P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭，…………2分
()()()0P X P AB P AB ==+()()()()1111343412117
P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………3分
()()()()111131
44
P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭，…………4分
所以X 的分布列为：
…………5分
()1711
1016112
24E X =-⨯+⨯+⨯=…………6分
（Ⅱ）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分.……7分甲3轮各得1分的概率为3111(4
46p ==…………8分
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为32
2241771264p C ⎛⎫⋅⎪
⎭== ⎝…………9分
甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分的概率为32
3241116
32
p C ⎛⎫⋅⎪
⎭== ⎝…………10分
甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为2
413
49C 41171292
p ⎛⎫=⨯⨯= ⎪
⎝⎭…………11分
所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192
p =+++=…………12分
21.（Ⅰ）21()(1)x a
f x x ++'=
+…………1分当1a ≥-时，因为0x ≥，所以()0f x '≥，()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增
所以()(0)0f x f ≥=，符合题意…………3分
当1a <-时，若(0,1)x a ∈--时，()0f x '<，()f x 在(0,1)a --上单调递减
此时，()(0)0f x f <=与()0f x ≥矛盾，不符合题意…………5分
综上所述，实数a 的取值范围是[1,)-+∞…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =-时，若0x ≥，有ln(1)01
x
x x +-
≥+，当且仅当0x =时等号成立所以，当0x >时，ln(1)1
x
x x +>
+…………7分令1x n =，有1
1
ln(1)11n n n
+>+，即1ln(1)ln 1n n n +->+…………8分
因为22*
1,n n n N -<∈，所以
2111n n n ->+，即21ln(1)ln n n n n
-+->，*n N ∈……10分所以232
121
(ln 2ln1)(ln3ln 2)[ln(1)ln ]22n n n n
--+-+++->+++ 即*222121
ln
1()23n n n N n
-+>+++∈ （）…………12分22.解：（Ⅰ）222221
2
191
4c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨
⎪⎪+=⎪⎩
，解得21a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=…………3分
（Ⅱ）(i)法1：设过3
(1,)2A -与抛物线2y mx =相切的直线方程为3(1)(0)2y k x k =--≠2
3(1)2y k x y mx ⎧
=--⎪⎨⎪=⎩
，消去y 得：2302mx kx k -++=，
234()02
k m k ∆=-+=，即2
460k mk m --=…………4分
直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程2460k mk m --=的两根
12124,6k k m k k m +==-，…………6分
消去m 得:
12112
3
k k +=-…………7分法2：设过3(1,)2
A -的直线与抛物线2y mx =相切的切点坐标为22
3344(,),(,)
x mx x mx 2y mx '=，则13242,2k mx k mx ==，
直线2
333:2(),AP y mx x x mx =-+即2332y mx x mx =-同理可得:AQ 244
2y mx x mx =-2
3324422y mx x mx y mx x mx ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以3434
123
2
x x x y mx x +⎧==⎪⎪⎨
⎪==-⎪⎩…………5分34123434111122223x x k k mx mx mx x ++=+==-，所以12112
3
k k +=-…………7分(ii)设直线:PQ x ty n =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，
22
3412
x ty n
x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得：222(34)63120t y tny n +++-=2121222
6312
,3434
tn n y y y y t t -+=-=++…………8分因为121123k k +=-，所以121211233322
x x y y --+=-++，所以1
212112
33322ty n ty n y y +-+-+=-++整理得：1212231(2)()()3()0322t y y n t y y n +++++-=…………9分
2222312361
(2)()3()0
3342342
n tn t n t n t t --++++-=++即2242494828n n t t +=++，所以224(3)(38)n t +=+所以33
1722
n t n t =+=--或，…………11分当312n t =
+时，331()122x ty t y t =++=++，PQ 恒过定点3
(1,)2-与A 重合，舍去当372n t =--时，337()722x ty t y t =--=--，PQ 恒过定点3
(7,)
2
-综上所述，直线PQ 恒过定点3
(7,)2
-…………12分。