2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练21

随堂巩固训练(21)
1. 函数f(x)＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为__(0，2)__．
解析：令f′(x)＝3x 2－6x<0，解得0<x<2.
2. 已知函数f(x)＝ax 3－(ax)2－ax －a 在x ＝1处取得极小值－2，则实数a ＝__1__． 解析：由题意得f′(x)＝3ax 2－2a 2x －a ，因为函数f(x)在x ＝1处取得极小值－2，所以f′(1)＝3a －2a 2－a ＝0，解得a ＝1或a ＝0.当a ＝1时，f(x)＝x 3－x 2－x －1，f(1)＝13－12－1－1＝－2，满足题意；当a ＝0时，f(x)＝0，不符合，所以a ＝1.
3. 已知(a ＋1)x －1－lnx ≤0对于任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则实数a 的最大值为__1－2ln2__．
解析：由(a ＋1)x －1－ln x ≤0，得a ≤ln x －x ＋1x .令f(x)＝ln x －x ＋1x ，则f′(x)＝－ln x x 2，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，f′(x)≥0；当x ∈[1，2]时，f′(x)≤0.又f ⎝⎛⎭⎫12＝1－2ln 2，f(2)＝12ln 2－12
，所以a 的最大值为1－2ln 2.
4. 函数f(x)＝8x 2－lnx 的单调减区间是__⎝⎛⎦
⎤0，14__． 解析：由题意得函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝16x －1x ＝（4x －1）（4x ＋1）x
.令f′(x)≤0，得0<x ≤14
，故函数f(x)的单调减区间为⎝⎛⎦⎤0，14. 5. 已知函数f(x)＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1，2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，
若f(x)在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是__[－2，－1]__．
解析：f′(x)＝3mx 2＋2nx ，所以f′(－1)＝3m －2n.又直线3x ＋y ＝0的斜率为－3，所以3m －2n ＝－3.又f(－1)＝2，所以n －m ＝2，所以m ＝1，n ＝3，所以f′(x)＝3x 2＋6x ＝3x(x ＋2)，令f′(x)<0，得－2<x<0，所以－2≤t ≤－1.
6. 若函数f(x)＝－13
x 3＋x 在区间(a ，10－3a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为__[－2，1)__．
解析：f′(x)＝－x 2＋1.令f′(x)<0，得x<－1或x>1，所以函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以函数在区间(a ，
10－a 2
)上有最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a<1，10－a 2>1，f （1）≥f （a ），解得－2≤a<1.
7. 若函数f(x)＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0，1)上有极小值，则实数b 的取值范围是__⎝⎛⎭
⎫0，12__．
解析：由题意知f′(x)＝3x 2－6b 在区间(0，1)上有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，所以－6b<0，
且3－6b>0，解得0<b<12
. 8. 已知定义在R 上的可导函数f(x)满足f′(x)<1，若f(1－m)－f(m)>1－2m ，则实数m
的取值范围是__⎝⎛⎭⎫12，＋∞__．
解析：设g(x)＝f(x)－x ，则g′(x)＝f′(x)－1.因为f(x)满足f′(x)<1，所以g′(x)<0，即函数g(x)在定义域上为减函数．若f(1－m)－f(m)>1－2m ，则f(1－m)－f(m)>(1－m)－m ，即f(1
－m)－(1－m)>f(m)－m ，即g(1－m)>g(m)，所以1－m<m ，解得m>12
.
9. 已知a 为实数，函数f(x)＝(x 2＋1)(x ＋a)．若f′(－1)＝0，则函数y ＝f(x)在区间⎣⎡⎦
⎤－32，1上的最大值和最小值分别为__6，138
__． 解析：函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x ＋a ，则f′(x)＝3x 2＋2ax ＋1.因为f′(－1)＝0，所以a ＝2，所
以f′(x)＝3x 2＋4x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x ＋1)，令f′(x)>0，得x>－13
或x<－1，令f′(x)<0，得－1<x<－13，所以函数f(x)在区间(－32，－1)，(－13，1)上单调递增，在区间(－1，－13
)上单调递减，所以极大值为f(－1)＝2，极小值为f ⎝⎛⎭⎫－13＝5027.因为f ⎝⎛⎭⎫－32＝138<5027
，且f(1)＝6>2，所以函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－32，1上的最大值为6，最小值为138
. 10. 对于函数f(x)＝13|x 3|－a 2
x 2＋(3－a)|x|＋b 有六个不同的单调区间，则实数a 的取值范围为__(2，3)__．
解析：因为f(x)＝13|x 3|－a 2
x 2＋(3－a)|x|＋b ，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．因为f(x)有六个不同的单调区间，所以当x>0时，有三个单调区间，即f′(x)＝x 2－ax ＋3－a 有两个不
同的正根，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2
>0，3－a>0，a 2
－4（3－a ）>0，即2<a<3. 11. 设函数f(x)＝alnx ＋12x ＋32
x ＋1(其中a ∈R )，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴．
(1) 求实数a 的值；
(2) 求函数f(x)的极值．
解析：(1) 因为f(x)＝alnx ＋12x ＋32x ＋1，所以f′(x)＝a x －12x 2＋32
. 因为曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y 轴，
所以f′(1)＝0，所以a －12＋32
＝0，解得a ＝－1. (2) 由(1)知f(x)＝－lnx ＋12x ＋32
x ＋1(x>0)， f′(x)＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝（3x ＋1）（x －1）2x 2
. 令f′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(x 2＝－13
不在定义域内，舍去)， 当x ∈(0，1)时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(0，1)上为减函数；
当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
故函数f(x)在x ＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
12. 已知函数f(x)＝2xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3.
(1) 求函数f(x)的最小值；
(2) 若存在x ∈(0，＋∞)，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a 的取值范围．
解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx ＋1)．
令f′(x)＝0，得x ＝1e
. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f′(x)<0；当x ∈⎝⎛⎭
⎫1e ，＋∞时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭
⎫1e ，＋∞上单调递增，
故当x ＝1e 时，f(x)取得最小值－2e
. (2) 存在x ∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xlnx ≤－x 2＋ax －3在x ∈(0，＋∞)能成
立，等价于a ≥2lnx ＋x ＋3x
在x ∈(0，＋∞)能成立，等价于a ≥⎝⎛⎭⎫2lnx ＋x ＋3x min . 记h(x)＝2lnx ＋x ＋3x
，x ∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2
. 当x ∈(0，1)时，h′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，所以当x ＝1时，h(x)取得最小值4，
所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．
13. 已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x(a ，b ∈R )在点(1，f(1))处的切线方程为y ＋2＝0.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤c ，求实数c 的最小值；
(3) 若过点M(2，m)(m ≠2)可作曲线y ＝f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围． 解析：(1) f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝－2，f′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝－2，3a ＋2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以f(x)＝x 3－3x. (2) 令f′(x)＝0，得3x 2－3＝0，解得x ＝±1.
因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，f(－2)＝－2，
所以当x ∈[－2，2]时，f(x)max ＝2，f(x)min ＝－2，
所以对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，
所以c ≥4，所以c 的最小值为4.
(3) 因为点M(2，m)(m ≠2)不在曲线y ＝f(x)上，
所以可设切点为(x 0，y 0)，即y 0＝x 30－3x 0.
因为f′(x 0)＝3x 20－3，所以切线的斜率为3x 20－3，所以3x 20－3＝x 30－3x 0－m x 0－2
， 即2x 30－6x 20＋6＋m ＝0.
因为过点M(2，m)(m ≠2)可作曲线y ＝f(x)的三条切线，
所以方程2x 30－6x 20＋6＋m ＝0有三个不同的实数根，
所以函数g(x)＝2x 3－6x 2＋6＋m 有三个不同的零点．
g′(x)＝6x 2－12x ，令g′(x)＝0，则x ＝0或x ＝2.
当x 变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下：
所以⎩
⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋m>0，－2＋m<0，解得－6<m<2，即实数m 的取值范围是(－6，2)．。