人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：2-3 函数的奇偶性与周期性

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1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a
＋b 的值是( )
A．－13
1 B.3
C.12
D．－12
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解析：因 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
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热点之三 函数的周期性 函数的周期性是高考的热点之一，常考查的题型有： 1．判定函数的周期性，并求其最小正周期． 2．利用函数的周期性，求特定函数值或求函数表达式． 3．结合函数的其他性质解决有关问题的综合应用．
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3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，
f(x)＝2x2，则f(2011)＝( )
A．－2
B．2
C．－98
D．98
解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，
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(4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)， ∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
第十七页，
[例2] (2010·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数， 则实数a＝________.
[课堂记录] 解法一：函数的定义域关于原点对称， 令g(x)＝ex＋ae－x， 由f(x)是偶函数，知g(x)为奇函数， 即g(－x)＝－g(x)，e－x＋aex＝－ex－ae－x， 即(1＋a)e－x＋(1＋a)ex＝0， 对一切x∈R恒成立，故a＝－1.故填－1.
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[课堂记录] (1)由11－ ＋xx>0⇒－1<x<1，定义域关于原点对称． 又 f(－x)＝lg11＋ －xx＝lg(11－ ＋xx)－1＝－lg11－＋xx＝－f(x)， 故原函数是奇函数． (2)由11＋－xx≥0 且 1－x≠0⇒－1≤x<1，定义域关于原点不对 称，故原函数是非奇非偶函数．
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1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)
是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数
f(x)是奇函数
图象特点
关于y轴对 称
关于原点对 称
2x＋a＋2x b为奇函数，其中 a，b 为实数，则 a－b 的值是(
)
A．3
B．－3
C．－3 或 3
D．－2 或 2
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解析：f(x)＝12abx＋2log3(3x＋1)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)，即
1 2
ab(
－
x)
＋
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[例3] (2010·揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实 数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
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解法二：∵f(x)是偶函数， ∴g(x)＝ex＋ae－x为奇函数， ∴g(0)＝e0＋ae0＝0，故a＝－1.故填－1.
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即时训练
已知 f(x)＝12abx＋2log3(3x＋1)为偶函数，g(x)＝
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又f(x)是周期为4的周期函数， ∴ f(0) ＋ f(1) ＋ f(2) ＋ f(3) ＝ f(4) ＋ f(5) ＋ f(6) ＋ f(7) ＝ … ＝ f(2008) ＋ f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0. [思维拓展] 本例(3)不易找到思路而无法进行，原因是不能灵活运 用函数的奇偶性、周期性．
∴f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．
当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，
∴f(－x)＝0＝f(x)．
综上可知，对于定义域内的每一个x都有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函
数．
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热点之二 函数奇偶性的应用 函数奇偶性常见的应用问题有： 1．利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值． 2．利用奇、偶性求函数解析式或化简解析式．
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(2)－(1)得f(x＋1)－f(x－1)＝0， ∴f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是以2为周期的函数． ②正确．当x∈[1,2]时，x－1∈[0,1]， ∴f(x)＝1－f(x－1)＝1－(x－1)2＝2x－x2(x∈[0,1]时，f(x)＝x2)．
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(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当x>0时，f(x)＝x2＋x， 则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x， 则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)， 故原函数是偶函数．
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第三节 函数的奇偶性与周期性
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1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性； 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判 断、应用简单函数的周期性．
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2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，f(x那) 么就称函数y＝f(x)为周期 函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
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5．设 f(x)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝1x，则当 x<0 时，f(x) ＝________.
解析：∵f(x)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝1x，
∴当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－1x，－f(x)＝－1x，
又f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：A
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4．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝ ________.
解析：∵y＝f(x)为奇函数， ∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1. 答案：1
∴a－1＋2a＝0，
∴a＝13，且 f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝13. 答案：B
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2．函数 f(x)＝1x－x 的图象关于( )
A．y 轴对称
B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称
D．直线 y＝x 对称
解析：f(x)＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称． 答案：C
∴当 x<0 时，f(x)＝1x. 答案：1x
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热点之一 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的途径： 1．依据图象的对称性进行判断． 2．依据常见函数奇偶性的结论进行判断． 3．运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对 称，其次看f(－x)是否等于－f(x)或f(x)． 4．对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形”，采用 “赋值”等策略．
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又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.
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[思路探究] (1) 由f(x＋2)＝－f(x) → f(x＋4)＝f(x) → f(x)是周期函数 (2) 由奇函数 → [－2，0]上的解析式 → 由周期性 → f(x)在[2，4]上的解析式 (3) 由周期性 → 和的值
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[课堂记录] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2， 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， ∴f(x)＝x2＋2x.
2log3(3
－
x
＋
1)
－
[
1 2
abx
＋
2log3(3x
＋
1)]
＝
0
，
abx
＝
2log3(33－xx＋＋11)＝－2log33x＝－2x，即(ab＋2)x＝0 恒成立，故 ab＝
－2.
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g(x)＝2x＋a＋2x b为奇函数， 则 g(0)＝0，得 a＋b＝－1，由aa＋ b＝b－ ＝－2，1， 解得ab＝ ＝－1，2， 或ab＝ ＝1－，2， 故 a－b＝－3 或 3.故选 C. 答案：C
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即时训练
x＋2 (x<－1) 判断函数 f(x)＝0 (－1≤x≤1)
－x＋2 (x>1)
解：当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，
的奇偶性．
∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)．
当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，
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③错误．当x∈[－1,0]时，x＋1∈[0,1]． ∴f(x)＝1－f(x＋1)＝1－(x＋1)2， ∴f(x)＝－x2－2x. 又∵－x∈[0,1]，∴f(－x)＝(－x)2＝x2， ∴f(x)≠f(－x)，f(x)不是偶函数． 答案：①②
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即时训练 已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)＋f(x－1)＝1， 当x∈[0,1]时，有f(x)＝x2，现有三个命题：
①f(x)是以2为周期的函数； ②当x∈[1,2]时，f(x)＝－x2＋2x； ③f(x)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 解析：①正确． ∵f(x)＋f(x－1)＝1(1) ∴f(x＋1)＋f(x)＝1(2)
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[例 1] 判断下列函数奇偶性 (1)f(x)＝lg11－ ＋xx； (2)f(x)＝(x－1) 11＋ －xx； (3)f(x)＝xx22＋ －xx((xx><00))，. (4)f(x)＝|xlg2－(1－2|－x2)2.