第2课时 指数函数及其性质的应用2020-2021学年高一数学新教材配套练习(人教A版必修第一册)

4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．若(12)2a ＋1<(12)3－2a
，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1
2，＋∞) C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1
2
)
2．若函数f (x )＝(1－2a )x
在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12 3．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x
－1，则当x <0时，f (x )＝( )
A ．e －x
－1 B ．e －x
＋1 C ．－e －x －1
D ．－e －x
＋1
4．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )
A ．6
B ．1
C ．3 D.3
2
5．函数y ＝1
2221-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x 的值域是( )
A ．(－∞，4)
B ．(0，＋∞)
C ．(0,4]
D ．[4，＋∞)
6．满足方程4x
＋2x
－2＝0的x 值为________． 7.比较下列各组数的大小：
(1)0.7
－0.3
与0.7
－0.4
；
(2)2.51.4与1.21.4
； (3)1.90.4
与0.92.4
.
8．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13ax 2
－4x ＋3.
(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋3a ，x <0，
a x
，x ≥0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23
10．若函数f (x )＝a
|2x －4|
(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝1
9，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
11．已知函数f (x )＝a
2－x
(a >0且a ≠1)，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上( )
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数
D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数
12．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x
－a －x
＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )
A ．2 B.154 C .174 D ．a 2
13．已知a ＝
5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的关系为( ) A ．m ＋n <0
B ．m ＋n >0
C ．m >n
D ．m <n
14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x
，则不等式f (x )<－12的解集是
________________．
15．函数y ＝32x
＋2·3x
－1，x ∈[1，＋∞)的值域为______________．
16．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗________次．
17. 已知f (x )＝x (12x －1＋1
2)．
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (3)求证：f (x )>0.
18. 已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x
2x ＋a
是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－k )＜0恒成立，求k 的范围．
【参考答案】
1. B 解析 ∵函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >1
2
.
2. B 解析 由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.故选B.
3. D 解析 由题意知f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，－x >0，则f (－x )＝e －x
－1＝－f (x )，得f (x )＝－e －x
＋1.故选D.
4. C 解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1
＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.
5. C 解析 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2
－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，所以0<y
＝(12)t ≤(12
)－2
＝4，故所求函数的值域为(0,4]． 6. 0 解析 设t ＝2x (t >0)，则原方程化为t 2
＋t －2＝0，∴t ＝1或t ＝－2.
∵t >0，∴t ＝－2舍去．∴t ＝1，即2x
＝1，∴x ＝0. 7.解 (1)∵y ＝0.7x
在R 上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7
－0.3
<0.7
－0.4
.
(2)在同一坐标系中作出函数y ＝2.5x
与y ＝1.2x
的图象，如图所示．由图象可知2.51.4
>1.21.4
.
(3)∵1.90.4
>1.90
＝1，0．92.4
<0.90
＝1，∴1.90.4
>0.92.4
.
8. 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2
－4x ＋3＝－(x ＋2)2
＋7，由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在R 上是减函数， ∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h (x )＝ax 2
－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1；因此必有
⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，12a －16
4a
＝－1，解得a ＝1，故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.
9. B 解析 由单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，
3a ≥a
，即1
3
≤a <1，故选B.
10. B 解析 由f (1)＝19得a 2
＝19，所以a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13
)|2x －4|.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
11. A 解析 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数，因为当x >2时，f (x )>1，所以当t <0时，a t
>1.所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.
12. B 解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，
∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x
＋2，② ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x
－a －x
.又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x
， ∴f (2)＝22－2－2
＝154.
13. D 解析 ∵0<
5－12<1，∴f (x )＝a x
＝(5－12
)x ，且f (x )在R 上单调递减，又∵f (m )>f (n )，∴m <n . 14.(－∞，－1) 解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.
当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x
<－12，(12)x >32，得x ∈∅；
当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x
－1<－12，2x <2－1，得x <－1.
综上可知x ∈(－∞，－1)．
15.[14，＋∞) 解析]令3x
＝t ，由x ∈[1，＋∞)，得t ∈[3，＋∞)．
∴y ＝t 2
＋2t －1＝(t ＋1)2
－2≥(3＋1)2
－2＝14.故所求函数的值域为[14，＋∞)．
16. 4 解析 经过第一次漂洗，存留量为总量的14；经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗后的1
4
，也就是
原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，经过第三次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫143，…，经过第x 次漂洗，存留量为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14x
，故解析式
为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .由题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤1100
，4x ≥100,2x
≥10，∴x ≥4，即至少漂洗4次．
17. (1)解 由于2x －1≠0和2x ≠20
，故x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}． (2)解 函数f (x )是偶函数．理由如下：
由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，因为f (x )＝x (12x －1＋12)＝x 2·2x
＋12x －1，
所以f (－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x
2·2－x ＋1·2x 2－x －1·2x ＝－x 2·1＋2x 1－2x ＝x 2·2x
＋1
2x
－1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．
(3)证明 由(2)知f (x )＝x 2·2x ＋1
2x －1.对于任意x ∈R ，都有2x
＋1>0，
若x >0，则2x >20，所以2x
－1>0，于是x 2·2x ＋12x －1>0，即f (x )>0，
若x <0，则2x
<20
，所以2x
－1<0，于是x 2·2x ＋1
2x －1>0，即f (x )>0，
综上知：f (x )>0.
18.解 (1)∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1.
(2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1221122122
11+--+-x x x x ＝)12)(12()12)(21()12)(21(211221+++--+-x x x x x x
＝)
12)(12()
22(22112++-x x x x ∵x 1＜x 2，∴1222x x -＞0，又(12x ＋1)(22x
＋1)＞0，f (x 1)－f (x 2)＞0 ∴f (x )为R 上的减函数．
(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2
－2t )＋f (2t 2
－k )＜0恒成立，∴f (t 2
－2t )＜－f (2t 2
－k ) ∵f (x )是奇函数，∴f (t 2
－2t )＜f (k －2t 2
)，∵f (x )为减函数，∴t 2
－2t ＞k －2t 2
. 即k ＜3t 2－2t 恒成立，而3t 2
－2t ＝3(t －13)2－13≥－13.
∴k ＜－1
3
.。