1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值 Word版含解析_1

第二课时函数的最大(小)值
1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( C )
(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2
解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;
x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.
2.函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为( A )
(A)5,-4 (B)3,-7
(C)无最大值 (D)7,-4
解析:f(x)=(x-1)2-4的图象开口向上,对称轴为直线x=1,函数f(x)在区间[-2,1]上单调递减,在区间[1,4]上单调递增,所以函数的最小值为f(1)=-4.又因为f(-2)=5,f(4)=5,所以函数的最大值为f(-2)=f(4)=5.故选A.
3.下列函数在[1,4]上最大值为3的是( A )
(A)y=+2 (B)y=3x-2
(C)y=x2 (D)y=1-x
解析:选项B,C在[1,4]上均为增函数,选项A,D在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A.
4.函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值是( C )
(A)2 (B)-2
(C)2或-2 (D)0
解析:当a>0时,y=ax+1在[1,2]上是增函数.最大值为2a+1,最小值为a+1,因此2a+1-(a+1)=2.故a=2.
当a<0时,y=ax+1在[1,2]上是减函数.最大值为a+1,最小值为2a+1. 因此a+1-(2a+1)=2.故a=-2.综上知,选C.
5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )
(A)f(x)有最大值,无最小值
(B)f(x)有最大值,最小值
(C)f(x)有最大值,无最小值
(D)f(x)有最大值2,最小值
解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=,无最小值.故选A.
6.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2
解析:f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上为增函数,
最小值为f(0)=-2,
所以a=-2,其最大值f(1)=3+a=1.故选A.
7.函数f(x)=则f(x)的最大值与最小值分别为( A )
(A)10,6 (B)10,8
(C)8,6 (D)以上都不对
解析:因为x∈[1,2]时,f(x)max=2×2+6=10,f(x)min=2×1+6=8;x∈[-1,1]时,f(x)max=1+7=8,f(x)min=-1+7=6,
所以f(x)max=10,f(x)min=6.故选A.
8.函数y=+的最小值为( B )
(A)1 (B) (C)2 (D)0
解析:函数的定义域为[1,+∞),又函数为增函数,故当x=1时,函数的最小值为.
9.函数f(x)=在区间[2,4]上值域为.
解析:因为函数在[2,4]上是减函数,
所以x=4,y min=,x=2,y max=2.
-=答案=-:[,2]
10.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为.
解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},函数自变量x的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3.
-=答案=-:3
11.函数f(x)=的最大值为.
解析:当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.
故函数f(x)的最大值为2.
-=答案=-:2
12.已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2,则a+b= .
解析:依题意,f(x)的对称轴为x=1,函数f(x)在[1,3]上是增函数.故当x=3时,该函数取得最大值,
即f(x)max=f(3)=5,3a-b+3=5,
当x=1时,该函数取得最小值,即f(x)min=f(1)=2,
即-a-b+3=2,
所以联立方程得
解得a=,b=.
因此a+b=1.
-=答案=-:1
13.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],
当x=1时,有f(x)min=1,当x=-5时,有f(x)max=37.
(2)因为函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为 x=-a,f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,
所以-a≤-5或-a≥5,即a≥5或a≤-5.
即a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞).
14.已知函数f(x)=-(a>0).
(1)证明f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若f(x)的定义域、值域都是[,2],求实数a的值.
(1)证明:设x2>x1>0,
则f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=-=.
因为x2>x1>0,
所以x2-x1>0,x1x2>0,
所以>0,
即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)解:因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,且定义域和值域均为[,2],
所以
解得a=.
15.已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.
(1)写出函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[-1,]上的最大值.
解:f(x)=|x|(x+1)=的图象如图所示.
(1)f(x)在(-∞,-]和[0,+∞)上是增函数,
在[-,0]上是减函数,
因此f(x)的单调递增区间为(-∞,-],[0,+∞);单调递减区间为[-,0].
(2)因为f(-)=,f()=,
所以f(x)在区间[-1,]上的最大值为.
16.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是( C )
(A)(-∞,1] (B)(-∞,0]
(C)(-∞,0) (D)(0,+∞)
解析:令f(x)=-x2+2x,0≤x≤2,
由函数f(x)的图象知0=f(0)=f(2)≤f(x)≤f(1),
因此a<0,
故选C.
17.函数f(x)=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则m 的取值范围是( B )
(A)[2,+∞) (B)[2,4] (C)(-∞,2] (D)[0,2]
解析:f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,x∈[0,m].
由最小值为1知m≥2.
又最大值为5,f(0)=5,f(4)=5.
所以2≤m≤4.故选B.
18.函数f(x)=在区间[2,5]上的值域为.
解析:因为f(x)===2-,
所以函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,
所以f(2)≤f(x)≤f(5),
即1≤f(x)≤,
所以函数f(x)在区间[2,5]上的值域为[1,].
-=答案=-:[1,]
19.当x∈[0,2]时,函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=0时取得最大值,则a 的取值范围是.
解析:a=0时,f(x)=-4x-3是单调减函数,故在x=0取得最大值,当a>0时,则对称轴一定不小于1,此时-≥1,所以0<a≤,当a<0时,对称轴一定不大于0,即-≤0,所以a<0,综上,a≤.
-=答案=-:(-∞,]
20.是否存在实数a,使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1],值域为[-2,2],若存在,求a的值;若不存在,说明理由.
解:f(x)=(x-a)2+a-a2.
当a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
于是有
解得a=-1不满足a<-1舍去.
当-1≤a≤0时,由题意得
解得a=-1;
当0<a≤1时,由题意得⇒a∈⌀; 当a>1时,f(x)在[-1,1]上为减函数,
所以⇒a∈⌀.
综上所述a=-1.。