抛物线的标准方程

抛物线的标准方程
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。

抛物线是指平面内到一个定点F焦点和一条定直线l准线距离相等的点的轨迹。

它有
许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。

它在几何光学和力学中有重要的用处。

抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

标准方程
右开口抛物线：y^2=2px
左开口抛物线:y^2= -2px
上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2a大于等于0
下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2a小于等于0
[p为焦准距p>0]
特点
在抛物线y^2=2px中，焦点是p/2，0，准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：
x≥0;
在抛物线y^2= -2px 中，焦点是 -p/2，0，准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0;
在抛物线x^2=2py 中，焦点是0，p/2，准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：
y≥0;
在抛物线x^2= -2py中，焦点是0，-p/2，准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：
y≤0;
抛物线四种方程的异同
共同点：
①原点在抛物线上; ②对称轴为坐标轴;
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项
系数的绝对值的1/4
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2;对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2;
②开口方向与x轴或y轴的正半轴相同时，焦点在x轴y轴的正半轴上，方程的右端取正号;开口方向与x或y轴的负半轴相同时，焦点在x轴或y轴的负半轴上，方程的右端取负号。

切线方程
抛物线y2=2px上一点x0,y0处的切线方程为：yoy=px+x0
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的切线方程为：y=kx-p/2k
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