21.1 一元二次方程 双基培优 基础练习2020-2021学年人教版九年级数学 上册

人教版九年级数学第21章第1节 一元二次方程 双基培优 基础练习
一、选择题(12×3=36分)
1. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ （
A. ax 2+bx+c=0
B. x 2+2x=x 2﹣1
C. 4（x+1）2=2（x+1）
D. 1x 2+1
x
﹣2=0
2. 将方程4x 2
﹣5x=2020化为一元二次方程的一般形式后，常数项说法正确的是（ ） A.4x 2
B.-5x
C.2020
D.-2020 3. 一元二次方程的一般形式是 （ （
A. ax 2（bx（c（0
B. ax 2（bx（c(a≠0)
C. ax 2（bx（c（0(a≠0)
D. ax 2（bx（c（0(b≠0)
4. 荆门市2018年平均房价为每平方米5000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米6500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，所列方程正确的是（ ） A ．6500（1+x ）2=5000 B ．6500（1﹣x ）2=5000 C ．5000（1﹣x ）2=6500 D ．5000（1+x ）2=6500
5. 一元二次方程4x 2–3x–5=0的一次项系数是（ （ A. –5
B.4
C. –3
D. 3
6. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A ． 1
2
x （x ﹣1）=36 B ． 1
2
x （x+1）=36
C ．x （x ﹣1）=36
D ．x （x+1）=36
7. 方程（m–2（x 2+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ （ A. m≠±2 B. m=2 C. m=–2 D. m≠2
8. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）
A ．（x+1）（x+2）=18
B ．x 2﹣3x+16=0
C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18
D ．x 2+3x+16=0
9. 把方程x（x+2（=5x 化成一般式，则a（b（c 的值分别是（ （ A. 1（3（5 B. 1（–3（0 C. –1（0（5 D. 1（3（0
10. 已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ （ A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
11. 宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ）
A ．（180+x ﹣20）（50﹣x
10）=10890 B ．（x ﹣20）（50﹣
x−18010
）=10890
C ．x （50﹣
x−18010
）﹣50×20=10890 D ．（x+180）（50﹣x
10）﹣50×20=10890
12. 若方程(m −1)x m 2+1−(m +1)x −2=0是一元二次方程，则m 的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. 1 D. –1 二、填空题(5×3=15分)
13. 若关于x 的一元二次方程x 2
+mx+3n=0有一个根是3，则m+n= ． 14. 已知关于x 的一元二次方程mx 2
+5x+m 2
﹣3m=0有一个根为0，则m= ． 15. 若m 是方程2x 2-3x-1=0的一个根，则6m 2-9m+2017的值为__ ___（ 16. 当m=_ _时，关于x 的方程(m −3)x m
2−7
+2x −1=0 是一元二次方程．
17. 已知m 是方程x 2+x-1=0的根，则式子m 3+2m 2+2020的值为__ __（
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18. 若2n （n≠0）是关于x 的方程x 2
﹣2mx+2n=0的根，求m ﹣n 的值．
19. 若关于x 的一元二次方程ax 2
+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，求一元二次方程a （x ﹣1）2
+b （x ﹣1）＝1的一个根？
20.一元二次方程(a-3)x2-2x+a2-9=0 的一个根是0,
①求a 的值. ②求(1+1
a )÷a2−1
a
−2a−2
a2−2a+1
的值．
21. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根，求代数式2m（m﹣2）﹣（m+√3）（m﹣√3）的值.
22. 先化简，再求值：(a 2−4
a2−4a+4−5
a−2
)÷2
a2−2a
，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．
23.①若a是方程x2−3x+1=0的解，计算：a2−3a+3a
a+1
+2021.
②若(m＋1)x|m|＋1＋6mx－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．
24.如图，在正方形ABCD中，AB=m，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于
H，过H作GH⊥BD于G，一元二次方程2x2−3x+m−3=1的常数项为0，求证：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④若△CEH的周长为定值，求出其周长，若不是定值，请说明理由.
答案：
一、选择题(12×3=36分)
1. 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ C （
A. ax 2+bx+c=0
B. x 2+2x=x 2﹣1
C. 4（x+1）2=2（x+1）
D. 1x 2+1
x
﹣2=0
2. 将方程4x 2
﹣5x=2020化为一元二次方程的一般形式后，常数项说法正确的是（ D ） A.4x 2
B.-5x
C.2020
D.-2020 3. 一元二次方程的一般形式是 （ C （
A. ax 2（bx（c（0
B. ax 2（bx（c(a≠0)
C. ax 2（bx（c（0(a≠0)
D. ax 2（bx（c（0(b≠0)
4. 荆门市2018年平均房价为每平方米5000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米6500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，所列方程正确的是（ D ） A ．6500（1+x ）2=5000 B ．6500（1﹣x ）2=5000 C ．5000（1﹣x ）2=6500 D ．5000（1+x ）2=6500
5. 一元二次方程4x 2–3x–5=0的一次项系数是（ C （ A. –5
B.4
C. –3
D. 3
6. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（A ）
A ． 1
2
x （x ﹣1）=36 B ． 1
2
x （x+1）=36
C ．x （x ﹣1）=36
D ．x （x+1）=36
7. 方程（m–2（x 2+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ D （ A. m≠±2 B. m=2 C. m=–2 D. m≠2
8. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ C ）
A ．（x+1）（x+2）=18
B ．x 2﹣3x+16=0
C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18
D ．x 2+3x+16=0
9. 把方程x（x+2（=5x 化成一般式，则a（b（c 的值分别是（ B （ A. 1（3（5 B. 1（–3（0 C. –1（0（5 D. 1（3（0
10. 已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ B （ A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
11. 宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ B ） A ．（180+x ﹣20）（50﹣x
10）=10890 B ．（x ﹣20）（50﹣
x−18010
）=10890
C ．x （50﹣
x−18010
）﹣50×20=10890 D ．（x+180）（50﹣x
10）﹣50×20=10890
12. 若方程(m −1)x m 2+1−(m +1)x −2=0是一元二次方程，则m 的值为（ D ） A. 0 B. ±1 C. 1 D. –1 二、填空题(5×3=15分)
13. 若关于x 的一元二次方程x 2
+mx+3n=0有一个根是3，则m+n= -3 ． 14. 已知关于x 的一元二次方程mx 2
+5x+m 2
﹣3m=0有一个根为0，则m= 3 ． 15. 若m 是方程2x 2-3x-1=0的一个根，则6m 2-9m+2017的值为__2020___（ 16. 当m=_-3_时，关于x 的方程(m −3)x m
2−7
+2x −1=0 是一元二次方程．
17. 已知m 是方程x 2+x-1=0的根，则式子m 3+2m 2+2020的值为__2021__（
三、解答题(8+9+10+10+10+10+12)
18. 若2n （n≠0）是关于x 的方程x 2
﹣2mx+2n=0的根，求m ﹣n 的值． 解:∵2n （n≠0）是关于x 的方程x 2
﹣2mx+2n=0的根， ∴4n 2
﹣4mn+2n=0， ∴4n ﹣4m+2=0， ∴m ﹣n=1
2．
19. 若关于x 的一元二次方程ax 2
+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，求一元二次方程a （x ﹣1）2
+b （x ﹣1）＝1的一个根？
解：对于一元二次方程a （x-1）2
+b （x-1）-1=0， 设t=x-1，
所以at 2
+bt-1=0，
而关于x 的一元二次方程ax 2
+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019， 所以at 2
+bt-1=0有一个根为t=2019， 则x-1=2019， 解得x=2020，
所以一元二次方程a （x-1）2
+b （x-1）=1有一个根为x=2020．
20. 一元二次方程(a -3)x 2
-2x +a 2-9=0 的一个根是 0, ①求a 的值. ②求 (1+1
a
)÷
a 2−1a
−2a−2
a 2−2a+1的值．
解:①把x =0代入方程（a -3）x 2
-2x +a 2
-9=0，得：
a 2﹣9=0，解得：a =±3．
又∵a －3≠0，∴a =－3． ②(1+1
a )÷
a 2−1a
−2a−2
a 2−2a+1 =a+1a ÷
(a−1)(a+1)
a
−2(a−1)
a−1
=
a+1a
×a (
a−1)(a+1)−2
a−1
=−1
a−1
当a =−3时，原式=−1−3−1=1
4
21. 已知x=1是关于x 的一元二次方程x 2
﹣4mx+m 2
=0的根，求代数式2m （m ﹣2）﹣（m+√3）（m ﹣√3）的值.
解：把x =1代入x 2−4mx +m 2=0得：m 2−4m +1=0， ∴m 2−4m =−1，
∴原式=2m 2−4m −(m 2−3)=2m 2−4m −m 2+3=m 2−4m +3=−1+3=2，
22. 先化简，再求值：(a 2−4
a 2−4a+4−5a−2)÷2
a 2−2a ，其中，a 是方程x 2
﹣3x+1=0的根．
解：原式=[
(a+2)(a−2)(a−2)2−5a−2]·a (a−2)
2
=(a+2
a−2−5
a−2
)·a(a−2)
2
=a−3 a−2·a(a−2)
2
=1
2
（a2-3a），
∵a是方程x2﹣3x+1=0的根，
∴a2﹣3a+1=0，
∴a2﹣3a=﹣1，
∴原式=−1
2
.
23.①若a是方程x2−3x+1=0的解，计算：a2−3a+3a
a+1
+2021.
解：∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，
∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，
∴a2﹣3a+2018=﹣1+2018=2017．
故答案为：2017．
②若(m＋1)x|m|＋1＋6mx－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．
解：根据题意得：|m|+1=2，且m+1≠0，
解得：m=1.
24.如图，在正方形ABCD中，AB=m，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于
H，过H作GH⊥BD于G，一元二次方程2x2−3x+m−3=1的常数项为0，求证：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④若△CEH的周长为定值，求出其周长，若不是定值，请说明理由.
【解析】①如图1，连接FC，延长HF交AD于点L，
∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴FC=AF，∠ECF=∠DAF，
∵∠ALH+∠LAF=90°，
∴∠LHC+∠DAF=90°，
∵∠ECF=∠DAF，
∴∠FHC=∠FCH，
∴FH=FC，
∴FH=AF；
②如图1，
∵FH⊥AE，FH=AF，
∴∠HAE=45°；
③如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，
∵HF⊥AE，HG⊥BD，
∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，
∴∠AFO=∠GHF．
∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA=GF．
∵BD=2OA，
∴BD=2FG；
④如图3，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，∴∠IMC=∠ECM=45°，
由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM，又∵MC=CM，
∴△MEC≌△CIM，
∴CE=IM，
同理，可得：AL=HE，
∵2x2−3x+m−3=1
∴2x2−3x+m−4=0，
∵常数项为0，
∴m−4=0，∴m=4，∴AB=4.
∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=2AB=8．∴△CEH的周长为8，为定值．。