10.1随机事件与概率-【新教材】2020-2021学年人教A版高中数学必修第二册专题训练

高一数学人教版（2019）必修第二册
【10.1随机事件与概率专题训练】
【基础巩固】
1.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）
A.互斥
B.相互对立
C.相互独立
D.相等
2.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（）
A.1
2B.7
10
C.9
20
D.11
20
3.下列正确命题的序号有（）
①若随机变量X∼B(100,p)，且E(X)=20，则D(1
2
X+1)=5．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有m个白球，n−m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，P(ξ=2)等于(n−m)A m2
A n2
④由一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋅⋅⋅(x n,y n)得到回归直线方程y=bx+ a，那么直线y=bx+a至少经过(x1,y1)，(x2,y2)，⋅⋅⋅(x n,y n)中的一个点．
A.②③
B.①②
C.③④
D.①
④
4.若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，则事件A与B的关系是（）
A.互斥不对立
B.对立不互斥
C.互斥且对立
D.以上答案都
不对
5.抽查8件产品，设“至少抽到3件次品”为事件M，则M的对立事件是（）
A.至多抽到2件正品
B.至多抽到2件次品
C.至多抽到5件正品
D.至多抽
到3件正品
6.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”（）.
A.是对立事件
B.都是不可能事件
C.是互斥事件但不是对立事件
D.不是
互斥事件
7.一商店有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（）
A.0.55
B.0.39
C.0.68
D.0.61
8.给出下列四个命题，其中正确的命题为（）
A.“一元二次方程有解”是必然事件
B.“飞机晚点”是不可能事件
C.“冬天会下雪”是必然事件
D.“购买的体育彩票能否中奖”是随机事件
9.从装有3个黑球、3个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至少有1个黑球”，则与事件A对立的事件是（）
A.所取的3个球中至多有一个黑球
B.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
C.所取的3个球都是白球
D.所取的3个球中至少有一个白球
10.设不等式x2+y2≤4表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则|x|+ |y|≤2的概率是（）
A.π−1
πB.π−2
π
C.1
π
D.2
π
【培优提升】
11.某商店的有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为________. 12.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院150人和B医院100人中，按分层抽样的方法，选出5人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此5人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是________.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为________.
13.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
2，甲获胜的概率是1
5
，则乙获胜的概率是
________．
14.已知甲､乙､丙三位选手参加的某次投掷飞镖的比赛，比赛规则如下：①每场比赛有两位选手参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的选手与未参加此场比赛的选手进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个选手首先获胜两场，则本次比赛结束，该选手就获得此次飞镖
比赛第一名.若在每场比赛中，均没有平局，且甲胜乙的概率为1
2，甲胜丙的概率为2
3
，
乙胜丙的概率为1
3
，且甲与乙先赛，则甲获得第一名的概率为________.
15.在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于
80分的概率；
（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩，σ2=362，试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量n(n>1)，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第k(k=1,2,⋯,n)题时扣掉0.2k分；③每答对一题加2分，答错既不加分也不扣分；④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？
（参考数据√362≈19，若z~N(μ,σ2)，则P(μ−σ<x≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<x≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<x≤μ+3σ)=0.9974）．
16.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球､黄球､绿球，从中任意取一球，
得到黑球或黄球的概率是5
9，得到黄球或绿球的概率是2
3
，试求：
（1）从中任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率各是多少？
（2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
17.进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不
影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为1
2，恰有一人答对的概率为5
12
.
（1）求p和q的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
18.体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于n(n∈N∗)份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验n次.二是混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为n+1次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为√p
3(0<
p<1)，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若p=8
9
，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.
【参考答案】
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】 A
4.【答案】 D
5.【答案】 B
6.【答案】 D
7.【答案】 B
8.【答案】 D
9.【答案】 C
10.【答案】 D
11.【答案】 0.39
12.【答案】 710；45
13.【答案】 3
10
14.【答案】 1736
15.【答案】 （1）解：样本成绩不低于60分的学生有 (0.0125+0.0075)×20×100=40 人
其中成绩不低于80分的有 0.0075×20×100=15 人
则至少有1人成绩不低于80分的概率 P =1−
C 252C 402=813
（2）解：由题意知样本中100名学生成绩平均分为 10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53 ，所以 μ=53 ， σ2=362 ，所以 σ=19
所以 Z~N(53,362) ，则 P(Z ≥91)=P(Z ≥μ+2σ)≈12(1−0.9544)=0.0228 故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为 0.0228×4000≈91 人
（3）解：以随机变量 ξ 表示甲答对的题数，则 ξ~B(n,0.75) ，且 Eξ=0.75n ， 记甲答完 n 题所加的分数为随机变量 X ，则 X =2ξ ，
∴EX =2Eξ=1.5n ，
依题意为了获取答 n 题的资格，甲需要扣掉的分数为：
0.2×(1+2+3+⋯+n)=0.1(n 2+n) ，
设甲答完 n 题的分数为 M(n) ，
则 M(n)=100−0.1(n 2+n)+1.5n =−0.1(n −7)2+104.9 ，
由于 n ∈N ∗ ， ∴ 当 n =7 时， M(n) 取最大值 104.9 ，即复赛成绩的最大值为 104.9 ． ∴ 若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量 n 应该是7．
16.【答案】 （1）解：从中任取一球，分别记得到黑球､黄球､绿球为事件 A ， B ， C ， 由于 A ， B ， C 为互斥事件，
根据已知，得 {P(A +B)=P(A)+P(B)=59
P(B +C)=P(B)+P(C)=2
3P(A +B +C)=P(A)+P(B)+P(C)=1 ，
解得 {P(A)=13P(B)=29P(C)=49
， 所以，任取一球，得到黑球､黄球､绿球的概率分别是 13 ， 29 ， 49 .
（2）解：由（1）知黑球､黄球､绿球个数分别为3，2，4，
从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，
其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个，
于是，两个球同色的概率为 3+1+636=
518 ， 则两个球颜色不相同的概率是 1−518=1318 .
17.【答案】 （1）解：设 A = {甲同学答对第一题}， B = {乙同学答对第一题}，则 P(A)=p ， P(B)=q .
设 C = {甲、乙二人均答对第一题}， D = {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则 C =AB ， D =AB
̅+A B . 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以 A 与 B 相互独立， AB
̅ 与 A B 相互互斥，所以 P(C)=P(AB)=P(A)P(B) ， P(D)=P(AB
̅+A B) =P(AB
̅)+P(A B)=P(A)P(B ̅)+P(A )P(B)=P(A)(1−P(B))+(1−P(A))P(B) . 由题意可得 {pq =12,p(1−q)+q(1−p)=512,
即 {pq =12,p +q =1712. 解得 {p =34,q =23, 或 {p =23,q =34.
由于 p >q ，所以 p =34 ， q =23 .
（2）解：设 A i = {甲同学答对了 i 道题}， B i = {乙同学答对了 i 道题}， i =0 ，1，2.
由题意得， P(A 1)=14×34+34×14=38 ， P(A 2)=34×34=916 ，
P(B 1)=23×13+13×23=49 ， P(B 2)=23×23=49 . 设 E = {甲乙二人共答对3道题}，则 E =A 1B 2+A 2B 1 .
由于 A i 和 B i 相互独立， A 1B 2 与 A 2B 1 相互互斥，
所以 P(E)=P(A 1B 2)+P(A 2B 1)=P(A 1)P(B 2)+P(A 2)P(B 1)=38×49+916×49=512 . 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为 512 .
18.【答案】 （1）解：该混合样本阴性的概率是 (√893)3=89 ，
根据对立事件可得，阳性的概率为1−8
9=1
9
（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1,7√p
3)622
则E(X)=7−6p，
方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1，概率为(√p
3)3= p，若阳性，则检测次数,4，概率为1−p，
方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2,5,8，
P(Y=2)=p2;P(Y=5)=C21p(1−p)=2p(1−p);P(Y=8)=(1−p)2;
其分布列为:
E(Y)−E(X)=8−6p−(7−6p2)=6p2−6p+1，
当0<p<3−√3
6或3+√3
6
<p<1时，可得E(X)<E(Y)，所以方案一更“优”
当p=3−√3
6或p=3+√3
6
时，可得E(X)=E(Y)，所以方案一、二一样“优”
当3−√3
6<p<3+√3
6
时，可得E(Y)<E(X)，所以方案二更“优”.。