东北三省四市教研联合体2020届高三模拟考试试卷(二)数学(文科)试题 Word版含解析

数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合2
{|4}A x Z x =∈，{|42}B x x =-<< ，则A B =（ ）
A. {|22}x x -<≤
B. {|42}x x -<≤
C. {2,1,0,1,2}--
D.
{2,1,0,1}--
【答案】D 【解析】 【分析】
根据集合的交运算，即可容易求得结果.
【详解】{|22}{2,1,0,1,2}A x Z x =∈-=--≤≤ 故可得{}2,1,0,1A B ⋂=-- 故选：D.
【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.
2.已知复数z 满足（1+i ）2z ＝1﹣i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案.
【详解】由（1+i ）2
z ＝1﹣i ，得z ()()2211111
(1)2222
i i i i i i i i ----=
===--+-， ∴z 在复平面内对应的点的坐标为（1122
--，
），位于第三象限. 故选：C.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
3.已知向量,a b 满足a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则2a b +＝（ ）
A. 5
B. 52
C. 5
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则有a b ⋅=2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =（1，﹣2），
则2a b +=（4，﹣3），故2a b += 169+=5； 故选：C
【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.
4.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ）
A. x x >甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加比赛
B. x x >甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加
比赛
C. x x <甲乙，甲比乙稳定，应选甲参加比赛
D. x x <甲乙，乙比甲稳定，应选乙参加
比赛 【答案】B 【解析】 【分析】
先计算出甲乙两个学生平均得分，再分析得解. 【详解】由题得18+26+28+28+31+3382
=
=63
x 甲，
12+18+19+25+26+32==226
x 乙，
所以x x >甲乙.
从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定， 所以要派甲参加. 故选B
【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5.等比数列{a n }中，a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，则a 3•a 9等于（ ） A. ﹣3 B. 3
C. ﹣4
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39a a ⋅的值.
【详解】∵a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，∴a 5、a 7是方程x 2﹣4x +3＝0的两个根，
∴a 5•a 7＝3，由等比数列的性质可得：a 3•a 9＝a 5•a 7＝3． 故选：B
【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.
6.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”.某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生.现知道： （1）教语文的没有分配到一中， （2）教语文的不是小孟， （3）教英语的没有分配到三中， （4）小刘分配到一中. （5）小盂没有分配到二中，
据此判断.数学学科支教的是谁？分到哪所学校？（ ） A. 小刘三中 B. 小李一中
C. 小盂三中
D. 小刘二中
【答案】C 【解析】
【分析】
由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决.
【详解】由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中， 则可知小盂分配到三中，且教数学， 故选：C.
【点睛】本题考查了合情推理的实际应用问题，其中解答中数练应用合理推理，结合题意求解是解答额关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
7.设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A. ,//,a b αβαβ⊥⊥ B. ,,//a b αβαβ⊥⊥ C. ,,//a b αβαβ⊂⊥ D. ,//,a b αβαβ⊂⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案.
【详解】A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确. B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确. C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确. 故选：C
【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和
空间想象能力，属于基础题.
8.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A. （﹣4，4）
B. （﹣4，0）∪（0，4）
C. （0，4）∪（4，+∞）
D. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集.
【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，
又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩
＞＞或()0
0x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜
﹣4．
∴x 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D
【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 9.已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A. 56
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
，， B. 512
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
，， C. 51166k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦
，， D. 511612k k k Z ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣
⎦
，， 【答案】B 【解析】 【分析】
根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间.
【详解】∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝π，即2π
ω=π，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3
π-
），由2k π2
π-
≤2x 3
π
-
≤2k π2
π
+
，k ∈Z，
得k π12
π
-
≤x ≤k π512π+
，k ∈Z，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512
π+]，k ∈Z，
故选：B
【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.
10.若函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩
，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ）
A .
（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C. [﹣1，0） D. [0，+∞）
【答案】B 【解析】 【分析】
根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围.
【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()20
20
x
log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，
则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，
所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B
【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.
11.已知与椭圆22182x y +=1焦点相同的双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别
为F 1，F 2，离心率为e 4
3
=
，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为12，N 为MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ）
A. 2
3
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】【分析】
根据题意，可得|NO|
1
2
=|MF1|=6﹣a，再由椭圆1与双曲线1焦点相同，离心率为e
4
3
=，
可得a即可.
【详解】如图所示，可得|NO|
1
2
=|MF1|
1
2
=（|MF2|﹣2a）＝6﹣a，
因为双曲线
22
22
x y
a b
-=1的离心率为e
4
3
=，所以
4
3
c
a
=.
因为椭圆
22
182
x y
+=1与双曲线
22
22
x y
a b
-=1焦点相同，所以c182
=-=4，
所以a＝3，所以|NO|=6﹣a＝3，
故选：C.
【点睛】本题考查了双曲线的定义，以及双曲线、椭圆的方程及其简单点几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆和双曲线的定义、标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2
②当
3
2
a =-
时，直线y ＝ax +2a 与白色部分有公共点； ③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x ，y ），则x +y 的最大值为2； ④设点P （﹣2，b ），点Q 在此太极图上，使得∠OPQ ＝45°，b 的范围是[﹣2，2]． 其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①④
B. ①③
C. ②④
D. ①②
【答案】A 【解析】 【
分析】
根据几何概型概率计算，判断①的周期性.根据直线332
y x =-
-和圆()2
211x y ++=的位置关系，判断②的正确性.根据线性规划的知识求得x y +的最大值，由此判断③的正确性.将
45OPQ ∠=转化为过P 的两条切线所成的角大于等于90，由此求得OP 的取值范围，进而
求得b 的取值范围，从而判断出④的正确性.
【详解】对于①，将y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一
半， 根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是
12
，正确；
对于②，当32a =-
时，直线()()33
222322
y ax a a x x x =+=+=-+=--,过点()()2,0,0,3--，所以直线2y ax a =+与白色部分在第I 和第IV 象限部分没有公共点.圆
()2
211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线332
y x =--，即直线
3260x y ++=
1=
>，所以直线2y ax a =+与白色部分在第III 象限的部分没有公共点.综上所述，直线y ＝ax +2a 与白色部分没有公共点，②错误； 对于③，设l ：z ＝x +y ，由线性规划知识可知，当直线l 与圆x 2+（y ﹣1）2＝1相切时，z 最大，
1=解得
z 1=
（1z =，③错误； 对于④，要使得∠OPQ ＝45°，即需要过点P 的两条切线所成角大于等于90，
所以
2452
sin OP ≥︒=
，即OP
22+b 2
≤8，解得22b -≤≤． 故选：A
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x ，y 满足约束条件10
20220x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪--≤⎩
，则3z x y =+的最大值是______.
【答案】8 【解析】 【分析】
在平面直角坐标系内，画出约束条件所表示的可行解域，在可行解域内平移直线13
y x =-，找到一点使得直线1
3
y x z =-
+在纵轴上的截距最大，把点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】约束条件所示的可行解域如下图所示：
在可行解域内平移直线
1
3
y x
=-，当直线
1
3
y x z
=-+经过A点时，直线在纵轴上的截距最
大，A点的坐标是方程组
2
22
y
y x
=
⎧
⎨
=-
⎩
的解，解得
2
2
y
x
=
⎧
⎨
=
⎩
，所以3
z x y
=+的最大值是
2328
+⨯=.
故答案：8
【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想和数学运算能力.
14.袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
231 232 210 023 122 021 321 220 031
231 103 133 132 001 320 123 130 233
由此可以估计事件A发生的概率为_____.
【答案】1 3
【解析】
【分析】
经随机模拟产生了以下18组随机数，利用列举法求出其中事件A发生的随机数有6个，由此能估计事件A发生的概率.
【详解】由题意，袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件A，
用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，
利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，
分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，
以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数，
其中事件A发生的随机数有：210，021，031，103，001，130，共6个，
所以估计事件A发生的概率为P
61 183 ==.
故答案为：1
3
.
【点睛】本题考查概率的求法，以及古典概型的概率计算公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了运算求解能力.
15.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著《九章算术•商功》.其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方，如图长方体ABCD﹣A1B1C1D1，按平面ABC1D1斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱.称该三梭柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四梭锥D1﹣ABCD 称为阳马，余下的三棱锥D1﹣BCC1是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，AA1＝3，按以上操作得到阳马.则该阳马的最长棱长为_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
由几何体的结构特征，根据已知线段长度利用勾股定理求得阳马的所有棱长，即可求解，得到答案.
【详解】如图所示，在阳马D 1﹣ABCD 中，底面ABCD 为长方形，侧棱D 1D ⊥底面ABCD ， 且AB ＝DC ＝5，AD ＝BC ＝4，D 1D ＝AA 1＝3，
则15D A ==，1D C ==1D B ==.
所以该阳马的最长棱长为
故答案为：【点睛】本题考查棱柱与棱锥的结构特征，以及空间中线段长度的计算，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力．
16.已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足4S n ＝a n 2+2a n ，n ∈N *.设b n ＝（﹣1）n
•a n a n +1，
T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 2n ＝_____.
【答案】8n （n +1） 【解析】 【分析】
由数列的递推式：当n ＝1时，a 1＝S 1；n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和.
【详解】数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和S n 满足4S n ＝a 2
n +2a n ，n ∈N *. 可得n ＝1时，4a 1＝4S 1＝a 12+2a 1，解得a 1＝2，
n ≥2时，4S n ﹣1＝a n ﹣12+2a n ﹣1，又4S n ＝a n 2+2a n ，
相减可得4a n ＝a n 2+2a n ﹣a n ﹣12﹣2a n ﹣1， 化为（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0， 由a n ＞0，可得a n ﹣a n ﹣1＝2， 则a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，
b n ＝（﹣1）n •a n a n +1＝（﹣1）n •4n （n +1），
可得T 2n ＝4[﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×6+6×7﹣…﹣（2n ﹣1）（2n ）+（2n ）（2n +1）] ＝4（2×2+2×4+2×6+…+2×2n ）＝81
2
⨯n （2+2n ）＝8n （n +1）. 故答案为：8n （n +1）.
【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，其中解答中熟记n a 和n S 的关系式，以及等差数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答额关键，着重考查化简运算能力.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ． （Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4
π
=
，△ABC 的面积为6，求BC ．
【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；
（Ⅱ）【解析】 【分析】
（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.
（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值.
【详解】（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2． （Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sin
B =
，cos
B =．
∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin
C 22
10=
+=． ∴a b sinA sinB =，可得：
a 2104
b =⨯=．又12ab sin 4π=6，可得
b a
=． ∴
a 4a
=
⨯
，即218a =，解得BC a =
＝ 【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.
（1）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；
（2）现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机抽取5名学生作为代表，从5名学生代表中再任选2名学生继续调查，求这2名学生成绩至少有1人优秀的概率.
参考附表：
参考公式
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b a c b d c d
-
=
++++
，其中n＝a+b+c+d.
【答案】（1）有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，详见解析（2）9
10
【解析】
【分析】
（1）由列联表中的数据结合公式求得得K2的观测值k，结合临界值表得结论；
（2）利用枚举法写出从5名学生中任选2名学生的全部基本事件，再求出所选2人至少有1人成绩优秀的事件数，由古典概型概率公式求解．
【详解】（1）由已知表格中的数据，可得K2的观测值k
2
50(1519610)
21292525
⨯⨯-⨯
=≈
⨯⨯⨯
6.650＞
6.635.
所以有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”；
（2）由题意得，在成绩优秀的学生中抽取15
5
25
⨯=3（人），分别记为A，B，C，
在成绩不够优秀的学生中抽取5﹣3＝2（人），分别记为a，b.
则从5名学生中任选2名学生的全部基本事件为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共有10种，
其中所选2人至少有1人成绩优秀的事件为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，
共有9种.
∴这2名学生中至少有1人优秀的概率为P
9 10 =.
【点睛】本题考查独立性检验，以及古典概型概率的求法，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数，利用独立性检验的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
19.四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥底面ABCD，E在PB 上.
（1）证明：AC⊥PD；
（2）若PE＝2BE，求三棱锥P﹣ACE的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）2 9
【解析】
【分析】
（1）过A作AF⊥DC于F，推导出AC⊥DA，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD．（2）由V P﹣ACE＝V P﹣ABC﹣V E﹣ABC，能求出三棱锥P﹣ACE的体积．
【详解】（1）过A作AF⊥DC于F，
因为AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，所以CF＝DF＝AF＝1，
所以∠DAC＝90°，所以AC⊥DA，
又PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PA，
又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AC⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，∴AC⊥PD.
（2）由PE＝2BE，可得V P﹣ACE＝V P﹣ABC﹣V E﹣ABC，
所以111
112
32
3
P ABC
V
-
=⨯⨯⨯⨯=，
11
39
E ABC P ABC
V V
--
==，
所以三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE＝V P﹣ABC﹣V E﹣ABC
112
399
=-=.
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
20.已知点A（0，2），B为抛物线x2＝2y﹣2上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线l交曲线E于M、N两点，使得△MAN为以MN为底边的等腰三角形？若存在，请求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）x2＝4y（2）直线l不存在，详见解析
【解析】
【分析】
（1）设C（x，y），B（m，n），利用中点坐标公式得到
2
2
2
x
m
y
n
⎧
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，代入抛物线方程，即可求
出点C轨迹方程，即曲线E的方程；
（2）设直线l的方程为：y＝x+t，与曲线E的方程联立，得到△＞0，利用韦达定理求出MN 的中点P的坐标，再利用K AP•K l＝﹣1求出t的值，经检验不满足△＞0，从而直线l不存在. 【详解】（1）设C（x，y），B（m，n），
由B是AC的中点，则
2
2
2
x
m
y
n
⎧
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，
因为B 在抛物线x 2
＝2y ﹣2上，所以m 2
＝2n ﹣2，所以222242
x y
+=⋅-，
化简得：x 2＝4y ，所以曲线E 的方程为：x 2
＝4y ．
（2）设直线l 的方程为：y ＝x +t ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
联立方程24y x t
x y
=+⎧⎨=⎩，消去y 得：x 2﹣4x ﹣4t ＝0，
所以△＝16+16t ＞0，x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣4t ，可得MN 的中点P （2，2+t ）， 因为K AP •K l ＝﹣1，所以
22
1120
t +-⨯=--，解得2t =-， 将2t =-代入1616(2)160∆=+⨯-=-<，不符合>0∆， 所以直线l 不存在.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21.已知函数f （x ）＝axe x
，g （x ）＝x 2
+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同的切线l ． （Ⅰ）求切线l 的方程；
（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）1
e
≤k ≤e 【解析】 【分析】
（I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程.
（II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x
（x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()
()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩
，
即243ae ae b c
=⎧⎨=+=⎩，解得a 2e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4，
∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）＝2kxe x ﹣（x 2+2x ﹣1），
即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0， ∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x
﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x
﹣1），
①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，
②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，
（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增， 又h （x ）min ＝h （﹣1）2k
e =-
+2()2e k e
-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， ∴h （x ）min ＝h （﹣1）2k
e =-
+2()2e k e
-==0，即h （x ）≥0恒成立， （iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，
当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，
∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1
e
≤k ＜e ， 综上所述得：
1
e
≤k ≤e ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
四、选考题：共10分，请考生在22、23题中任选-题作答，如果多做则按所做的第题计分. [选修4-4坐标系与参数方程]
22.已知曲线C 的极坐标方程为2
2123sin ρθ=+，直线l
的参数方程为253x y ⎧=-
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参
数）.
（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；
（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且2MN =.求PMN ∆面积的取值范围.
【答案】
（Ⅰ）2cos x y θ
θ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），280x y +-=；
（Ⅱ）55⎡⎢⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）先利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式，把曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程，然后再判断曲线C 的类型，写出它的参数方程；利用代入消元法把直线l 的参数方程化为普通方程即可.
（Ⅱ）根据曲线C 的参数方程设出点P 的坐标，然后结合点到直线的距离公式、三角形面积公式、辅助角公式进行求解即可.
【详解】（Ⅰ）由题意：2
2
2
3sin 12ρρθ+=
()222312x y y ∴++= 223412x y ∴+=
22
143
x y ∴+=，该曲线为椭圆， ∴曲线C
的参数方程为2cos x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.
由直线l
3y =-
代入2x = 得()223x y =--，280x y ∴+-=
∴直线l 的普通方程为280x y +-=.
（Ⅱ）设()
2cos P θθ到直线l 的距离为d
1
22
PMN S d d =⨯⨯=△
d==
d≤
PMN
∴△
面积的取值范围是
55
⎡
⎢
⎣⎦
.
【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了参数方程与普通方程的互化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
[选修4-5不等式选讲]
23.已知函数()2
f x m x
=--，m∈R，()3
g x x
=+．
（Ⅰ）当x∈R时，有()()
f x
g x
≤，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）若不等式()0
f x≥的解集为[]
1,3，正数a，b满足231
ab a b m
--=-，求+
a b的最小值．
【答案】（Ⅰ）(],5
m∈-∞（Ⅱ）()
min
7
a b
+=
【解析】
【分析】
(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；
(II)由不等式()0
f x≥的解集为[]
1,3可求出m的值，代入231
ab a b m
--=-并用a表示b，再把b代入a b
+利用基本不等式求出最小值.
【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()
f x
g x
≤在x R
∈上恒成立，
23
m x x
∴--≤+在x R
∈上恒成立．
()
min
32
m x x
∴≤++-，
又()()
32235
x x x x
++-≥--+=，
当且仅当()()
230
x x
-+≤，即[]
3,2
x∈-时等号成立．
5
m
∴≤，即(],5
m∈-∞．
（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤，
若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；
若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈， 1m ∴=，∴综上所述：1m =，
22ab a b ∴--=，221
a b a +∴=- 00
a b >⎧⎨>⎩，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，
37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241
a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。