2020年中考数学全真模拟试卷(广东专用)(七)(解析版)

2020年中考数学全真模拟试卷（广东)（七）
（考试时间：90分钟；总分：120分)
班级:___________姓名：___________座号：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·揭阳市梅云华侨中学初三）有理数﹣1
2
的倒数是（）
A．1
2
B．﹣2 C．2 D．1
【答案】B
【解析】直接利用倒数的定义得出答案．【详解】
有理数﹣1
2
的倒数是：﹣2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．
2．（2020·广东初三）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（）
A．16×104B．1.6×107C．16×108D．1.6×108
【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
将16 000 000用科学记数法表示应为1.6×107，
故选B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2019·黑龙江初三开学考试）如图，几何体从上面看到的几何图形是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：观察几何体，俯视图如下：
故选：C．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从上面看得到的图形是俯视图．
4．（2017·福建初二期末）已知正多边形的每个内角均为108°，则这个正多边形的边数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵多边形的每一个内角都等于108°，多边形的内角与外角互为邻补角，
∴每个外角是72度，
∴多边形中外角的个数是360÷72=5，则多边形的边数是5．
故选C．
5．（2019·广东初二期末）下列四个手机软件图标中，属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合逐一进行判断即可得出答案．
【详解】
A 不是轴对称图形，故该选项错误；
B 是轴对称图形，故该选项正确；
C 不是轴对称图形，故该选项错误；
D 不是轴对称图形，故该选项错误；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形，会判断轴对称图形是解题的关键．
6．（2019·浙江中考模拟）不等式组20215x x -⎧⎨-⎩
＞＜的解是（ ） A ．x ＞2
B ．x ＜3
C ．2＜x ＜3
D ．2＜x ＜6
【答案】C
【解析】先求出每一个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【详解】 解：20? 215? x x ＞①＜②-⎧⎨-⎩
由①得：x ＞2，
由②得：x ＜3，
∴原不等式组的解集为2＜x ＜3，
故选C ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 7．（2017·北京初三）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点A ，点C 分别在直线a ，b 上，且a ∥b ．若∠1=60°，则∠2的度数为（）
A ．75°
B ．105°
C ．135°
D ．155°
【答案】
B
【解析】∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠3=180°−60°−45°=75°，
∵a∥b，
∴∠2=180°−∠3=105°，
故选B.
8．（2019·湖南省常德芷兰实验学校初三期末）一元二次方程x2-3=2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A．1，2-，3-B．1，2-，3 C．1，2，3 D．1，3-，2
【答案】A
【解析】将方程化为一般式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义即可求解.
【详解】
解：方程x2-3=2x，即x2-2x-3=0的二次项系数是1、一次项系数是-2、常数项是-3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
9．（2019·宜兴市周铁中学中考模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
【答案】C
【解析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据已知条件得到DE：CD＝3：7，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：CE＝3：4，
∴DE：CD＝3：7，
∴DE：AB＝3：7，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴
3
7 EF DE
AF AB
==，
∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（3
7
）2＝
9
49
，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49，
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（2020·广东霞山实验中学初三开学考试）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P 从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )
A．B．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据题意分类讨论，随着点P 位置的变化，△CPE 的面积的变化趋势．
【详解】
通过已知条件可知，当点P 与点E 重合时，△CPE 的面积为0；
当点P 在EA 上运动时，△CPE 的高BC 不变，则其面积是x 的一次函数，面积随x 增大而增大， 当x=2时有最大面积为4，
当P 在AD 边上运动时，△CPE 的底边EC 不变，则其面积是x 的一次函数，面积随x 增大而增大，
当x=6时，有最大面积为8，当点P 在DC 边上运动时，△CPE 的底边EC 不变，则其面积是x 的一次函数，面积随x 增大而减小，最小面积为0；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势．
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2020·河北初二期末）若分式
3
x +x 的取值范围是__________． 【答案】5x ≥-且3x ≠-
【解析】根据二次根式有意义的条件和分式的分母不为0，列出不等式组，求解即可.
【详解】
由题意，得 5030x x +≥⎧⎨+≠⎩
解得5x ≥-且3x ≠-
故答案为：5x ≥-且3x ≠-.
【点睛】
此题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握，即可解题.
12．（2019·全国初三单元测试）如图，有四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有字母A 、B 、
C 、
D 和一个不同的算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取两张卡片，这两张卡片上的算式只有一个正确的概率是．
【答案】
23
【解析】 试题分析：首先此题需要两步完成，直接运用树状图法或者采用列表法，再根据列举求出所用可能数，再求出只有一次正确的情况数根据概率公式解答即可．
所有的结果为：BA CA DA AB CB DB AC BC DC AD BD CD
由表可知一共有12种情况，其中抽取的两张卡片上的算式只有一个正确的有8种，
所以两张卡片上的算式只有一个正确的概率=
812=23
， 考点：概率的计算.
13．（2020·云南初三）分解因式：2
28ax a =_______． 【答案】2(2)(2)a x x +-
【解析】首先提公因式2a ，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=2a （x 2﹣4）=2a （x +2）（x ﹣2）．
故答案为：2a （x +2）（x ﹣2）．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．（2017·重庆初三）如图，A 、B 、C 是⊙O 上三点056OAB ∠=，则ACB ∠的度数是_________．
【答案】
【解析】
试题解析：连接OB，如图
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=56°，
∴∠AOB=180°-56°-56°=68°，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=34°．
15．（2018·北京初一期中）已知a，b满足|a﹣2|+（b+3）2＝0，那么a＝_____，b＝_____．
【答案】2 -3
【解析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质进而得出a，b的值．
【详解】
∵|a-2|+（b+3）2=0，
∴a-2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=-3，
故答案为：2，-3．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题的关键．
16．（2020·东莞市东莞中学初中部初三）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋
转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为_____．
【答案】2 3π
【解析】根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解.
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝2OA＝2OB AC＝，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′＝AB，
∴BA′＝2OB，
∴∠OA′B＝30°，
∴∠A′BA＝60°，
即旋转角为60°，
S阴影＝S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′
＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
＝
22 60602 360360
ππ
⋅⋅⨯
-
＝42 33ππ
-
＝2
3π．
故答案为2
3π．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的知识点，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数. 17．（2020·东莞市东莞中学初中部初三）将一些形状相同的小五角星如图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有_______个五角星.
【答案】120．
【解析】
寻找规律：不难发现，第1个图形有3=22－1个小五角星；第2个图形有8=32－1个小五角星；第3个图形有15=42－1个小五角星；…第n 个图形有（n ＋1）2－1个小五角星．
∴第10个图形有112－1=120个小五角星．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·+（π﹣2019）0﹣（﹣1
3
）﹣2﹣4cos30° 【答案】-8.
【解析】先根据二次根式的性质，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义及特殊角的三角函数值逐项化简，再合并同类二次根式和同类项即可.
【详解】
解：原式＝+1﹣9﹣8
【点睛】
本题考查了实数的缓和运算，熟练掌握二次根式的性质，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义及特殊角的三角函数值是解答本题的关键.
19．（2016·江苏初三月考）先化简，再求值：
222142442
a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭，其中a 满足22240a a +-=. 【答案】
124
【解析】
试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a 是方程a 2+2a ﹣24=0的根求出a 的值，把a 的值代入进行计算即可． 试题解析：原式=
22212
(2)4a 2)4
a a a a a a a a （-+-+⨯-⨯+-+-
=
21
(4)(2)(2)
a a a a a a --⨯-+-
=
1
(2)
a a +，
∵a 满足a 2+2a ﹣24=0， ∴a=4（舍）或a=﹣6， 当a=﹣6时代入求值，原式=
124
． 20．（2020·东莞市东莞中学初中部初三）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16．点D 在边BC 上，且点D 到边AB 和边AC 的距离相等．
（1）用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹，在图上标注出点D ）； （2）求点D 到边AB 的距离．
【答案】（1）见解析（2）4.8
【解析】（1）作∠A 的角平分线交BC 于D ，则根据角平分线的性质可判断点D 到边AB 和边AC 的距离相等；
（2）利用勾股定理计算出AD=6，设设点D 到AB 的距离为h ，，利用等面积法得到12×10h=8×6×1
2
，然后解方程求出h 即可． 【详解】
解：（1）作∠A 的角平分线（或BC 的垂直平分线）与BC 的交点即为点D ．
如图：
（2）∵AB＝AC，AD是∠A角平分线∴AD⊥BC，垂足为D，∵BC＝16，∴BD＝CD＝8，
∵AB＝10，在RT△ABD中
∴根据勾股定理求得AD＝6，
设点D到AB的距离为h，则1
2
×10h=8×6×
1
2
，解得h＝4.8，
所以点D到边AB的距离为4.8．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2019·四川初三）为调查我市民上班时最常用的交通工具的情况随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车；E．其他”中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）本次一共调查了名市民；扇形统计图中B项对应的圆心角是度；
（2）补全条形统计图；
（3）若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【答案】（1）2000；54；（2）见解析；（3）1 4
【解析】（1）根据D组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）由各选项人数和等于总人数求出C选项的人数，从而补全图形；
（3）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．
【详解】
（1）本次调查的总人数为500÷25%＝2000人，扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是360°×300
2000
＝54°，
故答案为：2000，54；
（2）选择公交车人数为800人，补全条形统计图如图所示
（3）列表如下：
由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的结果有4种，
所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为
41 164
．
【点睛】
此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一
步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（2020·山东初二期末）如图，在ABCD 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处，若60B ∠=︒，3AB =，
求：（1）ADE ∆的周长；（2）ACD ∆的面积．
【答案】（1）18；（2【解析】（1）由折叠性质结合角度判定△ADE 是等边三角形，然后即可求得其周长； （2）由（1）中得知CD ，利用勾股定理得出AC ，即可得出△ACD 的面积. 【详解】
（1）由折叠可得：90ACD ACE ︒∠=∠=
90BAC ︒∴∠=
又
60B ︒∠=
30ACB ︒∴∠=
26BC AB ∴==
6AD ∴=
由折叠可得：60E D B ︒∠=∠=∠=
60DAE ︒∴∠=
ADE ∴∆是等边三角形，
ADE ∴∆的周长为6318⨯=，
（2）由（1）中得知，CD=3
AC ===
∴△ACD 的面积为11322CD AC ⋅=⨯⨯=【点睛】
此题主要考查折叠的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
23．（2020·东莞市东莞中学初中部初三）六•一前夕，某幼儿园园长到厂家选购A 、B 两种品牌的儿童服装，每套A 品牌服装进价比B 品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A 种服装数量是用750元购进B 种服装数量的2倍．
(1)求A 、B 两种品牌服装每套进价分别为多少元；
(2)该服装A 品牌每套售价为130元，B 品牌每套售价为95元，服装店老板决定，购进B 品牌服装的数量比购进A 品牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利超过1200元，则最少购进A 品牌的服装多少套．
【答案】（1）A 、B 两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；（2）17套．
【解析】（1）首先设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为（x-25）元，根据关键语句“用2000元购进A 种服装数量是用750元购进B 种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可；
（2）首先设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装（2a+4）套，根据“可使总的获利超过1200元”可得不等式（130-100）a+（95-75）（2a+4）＞1200，再解不等式即可． 【详解】
解：（1）设A 品牌服装每套进价为x 元，则B 品牌服装每套进价为()25x -元，由题意得：2000750
225
x x =⨯-， 解得：100x =，
经检验：100x =是原分式方程的解，
251002575x -=-=，
答：A 、B 两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；
（2）设购进A 品牌的服装a 套，则购进B 品牌服装()24a +套，由题意得：
()()()1301009575241200a a -+-+>，
解得：16a >，
答：至少购进A 品牌服装的数量是17套． 【点睛】
本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出A 、B 两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
五、解答题三（每小题10分，共20分) 24．如图，线段AB 是
O 的直径，4AB =，点C 在O 上，30CAB ∠=︒，点P 在射线AC 上运动（P
不与A 重合），直径AB 的垂线OD 与AB 的平行线PD 相交于点D ，作直线PB 与
O 相交于点E ，连接
AD ，设线段PB x =．
（1）求x 的取值范围； （2）若2
x
EB =
，求证：直线PD 与O 相切； （3）当4x =时，判断四边形ABPD 的形状，并说明理由．
【答案】（1）2x ≥；（2）见解析；（3）四边形ABPD 为菱形，理由见解析．
【解析】（1）由题意可知当点P 与C 重合时，PB 最短，然后根据圆周角定理的推论和30°角的直角三角形的性质即可求出x 的最小值，进而可得答案；
（2）如图2，连接AE ，过点P 作PH AB ⊥于点H ，易得AE 垂直平分PB ，可得AP=AB =4，由30CAB ∠=︒可得PH =2，进一步即可根据平行线的性质和两平行线间的距离得出DO =2，⊥DO DP ，问题即得解决； （3）如图3，当4PB AB ==时，连接BC ，设AP 与DO 相交于点I ，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得2AP AC =，在Rt BCA ∆和Rt IOA ∆中，利用解直角三角形的知识可依次求得AC 、AP 、OI 、AI 的长，进而可得AI 的长，然后在Rt DIP ∆中再次利用解直角三角形的知识求出PD 的长，进一步即可判断四边形ABPD 的形状． 【详解】
（1）解：如图1，当点P 与C 重合时，PB 最短． ∵AB 是
O 的直径，∴90ACB ∠=︒．
∵30CAB ∠=︒，∴1
22
PB AB =
=．∴2x ≥；
（2）证明：如图2，连接AE ，过点P 作PH AB ⊥于点H ， ∵AB 是O 的直径，∴AE PB ⊥．
∵2
x
EB =
，PB x =， ∴PE EB =，∴4AP AB ==．
在Rt PHA ∆中，∵30CAB ∠=︒，∴22
AP
PH =
=． ∵//DP AB ，⊥DO AB ，∴2DO PH ==，⊥DO DP ． ∵4AB =，∴2AO =，∴2DO AO ==． ∴直线PD 与
O 相切；
（3）解：四边形ABPD 为菱形，理由如下：
如图3，当4PB AB ==时，连接BC ，设AP 与DO 相交于点I ， ∵AB 是
O 的直径，∴90ACB ∠=︒．
又∵AB PB =，∴2AP AC =．
在Rt BCA ∆中，∵30CAB ∠=︒，4AB =，
∴2BC =，AC =AP = 在Rt IOA ∆中，∵30CAB ∠=︒，2AO =，
∴3IO =
3
IA =，∴IP ==
． ∵//DP AB ，∴30CAB DPA ∠=∠=︒．
在Rt DIP ∆中，2IP DI ==
4DP ==． ∴DP AB =．
∵//DP AB ，∴四边形ABPD 是平行四边形， ∵AB PB =，∴平行四边形ABPD 为菱形．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理的推论、切线的判定、30度角的直角三角形的性质、平行线的性质、菱形的判定和解直角三角形等知识，综合性强，具有一定的难度，熟练掌握30°角的直角三角形中各边之间的关系、灵活应用上述知识是解题的关键．
25．（2019·上海中考模拟）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点B （1，3），又与x 轴正半轴相交于点A ，∠BAO ＝45°，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作PM ∥OB ，与抛物线交于点M ，且点M 在第一象限内．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若∠BMP ＝∠AOB ，求点P 的坐标；
（3）过点M 作MC ⊥x 轴，分别交直线AB 、x 轴于点N 、C ，若△ANC 的面积等于△PMN 的面积的2倍，求MN
NC 的值．
【答案】（1）a ＝﹣1，b ＝4（2）（52，3
2）（3）π
【解析】（1）过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为点H ，根据等腰直角三角形的性质可求点A （4，0），用待定系数法可求抛物线的表达式；
（2）根据平行线的性质可得BM ∥OA ，可求点M 坐标，用待定系数法可求直线BO ，直线AB ，直线PM
的解析式，即可求点P 坐标；
（3）延长MP 交x 轴于点D ，作PG ⊥MN 于点G ，根据等腰直角三角形的性质可得AC ＝CN ，PG ＝NG ，根据锐角三角函数可得tan ∠BOA ＝3＝tan ∠MPG ＝MG
PG ，可得MG ＝3PG ＝3NG ，根据面积关系可求MN
NC =√2． 【详解】
（1）如图，过点B 作BH ⊥x 轴，垂足为点H ，
∵点B （1，3） ∴BH ＝3，OH ＝1，
∵∠BAO ＝45°，∠BHA ＝90° ∴AH ＝BH ＝3， ∴OA ＝4 ∴点A （4，0）
∵抛物线过原点O 、点A 、B ，
∴设抛物线的表达式为y ＝ax 2+bx （a≠0） ∴{
0=16a +4b a +b =3
解得：a ＝﹣1，b ＝4
∴抛物的线表达式为：y ＝﹣x 2+4x （2）如图，
∵PM ∥OB
∴∠PMB+∠OBM ＝180°，且∠BMP ＝∠AOB ， ∴∠AOB+∠OBM ＝180° ∴BM ∥OA ，
设点M （m ，3），且点M 在抛物线y ＝﹣x 2+4x 上， ∴3＝﹣m 2+4m ， ∴m ＝1（舍去），m ＝3 ∴点M （3，3），
∵点O （0，0），点A （4，0），点B （1，3） ∴直线OB 解析式为y ＝3x ， 直线AB 解析式为y ＝﹣x+4， ∵PM ∥OB ，
∴设PM 解析式为y ＝3x+n ，且过点M （3，3） ∴3＝3×3+n ， ∴n ＝﹣6
∴PM 解析式为y ＝3x ﹣6 ∴{
y =3x −6y =−x +4
解得：x ＝5
2，y ＝3
2 ∴点P （5
2，32）
（3）如图，延长MP 交x 轴于点D ，作PG ⊥MN 于点G ，
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∵PG ⊥MN ，MC ⊥AD
∴PG ∥AD
∴∠MPG ＝∠MDC ，∠GPN ＝∠BAO ＝45°，
又∵∠PGC ＝90°，∠ACG ＝90°，
∴AC ＝CN ，PG ＝NG ，
∵PM ∥OB ，
∴∠BOA ＝∠MDC ，
∴∠MPG ＝∠BOA
∵点B 坐标（1，3）
∴tan ∠BOA ＝3＝tan ∠MPG ＝MG PG
∴MG ＝3PG ＝3NG ，
∴MN ＝4PG ，
∵△ANC 的面积等于△PMN 的面积的2倍，
∴12×AC×NC ＝2×12
×MN×PG ， ∴NC 2＝2×MN×14
MN ＝12MN 2， ∴MN NC =√2.
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求函数解析式，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键.。