沪科版七年级数学下册《实数的运算和大小比较》课件精品(2022年新版)

∴3 64的相反数是4，倒数是 1 ，绝对值是4. 4
(2)∵ 225 ＝15，
∴
225
的相反数是－15，倒数是 1
15
，绝对值是15.
(3)
11 的相反数是－ 11 ，倒数是
1 11
，绝对值是
11 .
练一练
1. 3 的相反数是 3 ，
π的相反数是 π ，
1 5 的相反数是 5 1 .
2. -π的绝对值是 3= 3 ，
●
●
● ●
●
-2 -1
●
●
●●
0
1
π ● ●
2
A●●
3
4
因为圆的周长为π,无理数π可以用数轴上的点来表示.
提醒：播放状态下点击画面操作
思考2:边长为1的正方形,对角线长为多少?
2
2
-2
-1 0 1 2 3
4
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反 过来，数轴上的每一点都表示一个实数．即实数 和数轴上的点是一一对应的．
二 实数的性质
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的
意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的
意义完全一样．
例如：
2 与 2 互为相反数
35
1
与35
互为倒数
| 3| 3,|0|0,||
例3：分别求以下各数的相反数、倒数和绝对值． (1 )36;4(22 ) 2 ; 5(31 ).1
解：(1)∵ 3 64＝－4，
D.3~4之间
归纳 熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计.
例9 比较以下各组数的大小：
(1 )1 2 1 与 3 ； ( 2 ) 1 0与 － 3 . 解 ： （1）因为 12 < 42，
所以 1 2 < 4， 所以 1 2 －1< 3； 为什么？
（2）因为 10 > 32 ， 所以 1 0 3,
导入新课
回忆与思考
1.分式的根本性质： 一个分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个
___不__为__0_的__整__式____,分式的值_不__变____.
2.什么叫约分？ 把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改
变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
讲授新课
一 分式的通分
问题1：
7
通分：
与
1
12 8
最大公约数
最小公倍数
找分子与分母 的公因式
找所有分母的 最简公分母
分数或分式的根本性质
当堂练习
1.三个分式2yx
,
x 3y2
,
41xy的最简公分母是〔
C
〕
A. 4xy
B. 3y2
C. 12xy2
D. 12x2y2
1x
2.分式x2 x, 2(x1)
的最简公分母是__2_x_(_x_-1_)_(_x_+_1_)__.
对
5
45
应的数为 ，那么A,B两点的距离为
_________.
2.如下图，数轴上A，B两点表示的数分别是 和2 5.1，那么 A，B两点之间表示整数的点共有4
个.
解析 ∵ 2 ≈1.414,∴ 2 和5.1之间的整数有2,3, 4,5,∴A,B两点之间表示整数的点共有4个.
学习目标
1.会确定几个分式的最简公分母；〔重点〕 2.会根据分式的根本性质把分式进行通分. 〔重点、难点〕
5 ，2可以看作分别是面积 为5，4的正方形的边长， 容易说明：面积较大的正 方形，它的边长也较大， 因此 5 2.
同样，因为5<9，所以 5 3.
例7 在数轴上表示以下各点，比较它们的大小， 并用“<〞连接它们.
1 2 -2 5 3
-2 -1 0 1 2 3
例8 估计 5 1位于〔 B 〕 A.0~1之间 B.1~2之间 C.2~3之间
〔6〕(ab)c = a(bc) 〔乘法结合律〕；
〔7〕 1 ·a = a ·1 = a ；
〔8〕a(b+c) = ab+ac 〔乘法对于加法的分配律〕， (b+c)a = ba+ca 〔乘法对于加法的分配律〕；
〔9〕实数的减法运算规定为a-b = a+ (-b) ；
〔10〕对于每一个非零实数a，存在一个实数b， 满足a·b = b·a =1，我们把b叫作a的＿＿倒＿数＿＿；
此外，前面所学的有关数、式、方程〔组〕的 性质、法那么和解法，对于实数仍然成立.
例5 计算〔结果保存小数点后两位〕：
(1) 5 π ;
(2) 3 2.
（ 1 ） 5 π 2 .2 3 6 3 .1 4 2 5 .3 8 ;
（ 2 ） 3 2 1 .7 3 2 1 .4 1 4 2 .4 5 .
3.
三个分式
1, x
y ,
x2 x
3 x2 1
的最简公分母是
x(x-1)(x+1) .
4.通分
(1)
2c bd
与
3ac 4b2
;
2
2xy
x y2
与 x2
x
y2
;
解：〔1〕最简公分母是4b2d, b2dc48bb2cd,34abc2 34abc2dd; 〔2〕最简公分母是〔x+y)2(x-y),
2 x y 2 x yx y x x x y x y 2 x y 2x y ,x 2 y 2 x y 2x y ;
解：7 7 2 14 12 12 2 24
1 1 3 3 8 8 3 24
最小公倍数：24
通分的关键是确 定几个分母的最 小公倍数
把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不
改变分数的值，叫做分数的通分.
问题2：填空
a b (a 2 ab)
ab
a2b
2a - b a2
(2ab b2) a2b （b≠0）
例2：如下图，数轴上A，B两点表示的数分别为
2 和5.1，那么A，B两点之间表示整数的点共有 C
() A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵ 2≈1.414，∴ 2 和5.1之间的整数有2，3， 4，5， ∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数 轴分析，可轻松得出结论．
；
解： 最简公分母是 1 2 x y 2
x 3y2
x 4x 3y2 4x
124xxy22
,
1 4xy
13y 4xy 3y
123xyy2
.
(2)54ba2c,43ac2b,25abc2 .
解： 最简公分母是 20a2b2c2
4a 4a4a2c 16a3c 5b2c5b2c4a2c20a2b2c2,
0 = 0.
π，
总结归纳
1.a是一个实数，实数a的相反数为-a. 2.①一个正实数的绝对值是它本身；
②一个负实数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0.
例4 求下列各数的相反数和绝对值：
3,π3.14.
解: 因为 ( 3) 3, (π -3 . 1 4 )=3 .1 4 π ,
所以， 3,π3.14 的相反数分别为
3c 3c5bc2 4a2b 4a2b5bc2
201a5b 2bc23c2,
5b 2ac2
25 ab c211 00 aa bb 22
20 5a 02 abb23c2.
方法归纳
确定几个分式的最简公分母的方法： 〔1〕因式分解 〔2〕系数：各分式分母系数的最小公倍数； 〔3〕字母：各分母的所有字母的最高次幂 〔4〕多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂 〔5〕积
【方法总结】①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如 果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母； ②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式， 这个因式就是最简公分母除以原分母的商．
想一想： 分数和分式在约分和通分的做法上有什
么共同点？这些做法的根据是什么？
找分子与分母的 找所有分母的
典例精析
例1 找出下面各组分式最简公分母：
(1)
3 与ab； 2a2b ab2c
2 a2 b2c
最简公分母
最小公倍数 最高次幂 单独字母
(2) 2x 与 3x . x5 x5
（ 1 x 5）（ 1 x 5）
1 （ x -5）（ x + 5） 不同的因式
提醒：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最 小公倍数，字母及式子取各分母中所有分母和式子 的最高次幂.
思考：实数怎么比较大小呢？
与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表 示的实数比左边的点表示的实数大.
负实数
原点 正实数 0
<
总结归纳
与有理数一样，在实数范围内： 1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正数，绝对值大的数较大； 3.两个负数，绝对值大的数反而小.
议一议
不用计算器，5 与2比较哪个大？与3比较呢？
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和 3 ，
∴点B到点A的距离为1＋ 3 ，那么点C到点A的距离
为1＋3 ，
设点C表示的实数为x，那么点A到点C的距离为－1
－x，
3
∴－1－x＝1＋3 ，
∴x＝－2－
方法总结
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系， 其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时， 点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之 间的距离为两数差的绝对值．
所以－ 10 －3.
为什么？
当堂练习
1.填空
〔1〕3.14的相反数是___3_.1_4__，绝对值是__3_._1_4___;
〔2〕 7 的相反数是____7___，绝对值是____7____;
〔3〕 π
π
π
的相反数是____2 ___，绝对值是____2 ____;
2
〔4〕点A在数轴上表示的数为3 5 ，点实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.
反过来，还可以说明： 数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.
上面两个结论结合起来可以简洁地说成： 实数和数轴上的点一一对应.
如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们 分别应该在数轴的原点的哪侧呢？
例1：如下图，数轴上A，B两点表示的数分别为－ 1和 ，3 点B关于点A的对称点为C，求点C所表示 的实数．
想一想：
联想分数的通分，由问题1你能想出如何对分式进 行通分？
知识要点
分式的通分的定义
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使
分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），化
异分母分式为同分母分式的过程叫分式的通分.
如分式 a b 与 2 a - b
ab
a2
母都变成了a2b.
分母分别是ab,a2,通分后分
练一练
找最简公分母:
(1)
3 2a2
与
b 3ac
；
(2)
3 与ab； 2a2b ab2c
(3) 2 与 3x ； x(x5) x5
(4) 2xy 与 x . x22xyy2 x2y2
6a 2c
2a 2b 2c
x(x-5)〔x+5〕
(x+y)2 (x-y)
例3 通分:
(1)
3
x y
2
， 4
1 x
y
学习目标
1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、倒数、 绝对值的意义；(重点)
2.理解有理数的运算法那么和运算律在实数范围内仍 适
用，能进行实数的大小比较．(重点、难点)
导入新课
回忆与思考
以下各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
2 ， 0， 1.414，
9，
π
，
2 3
，
3 2 ， 0.1010010001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）.
3,3.14π.
由绝对值的意义得：
33,π 3.14π 3.14.
三 实数的运算
填空：设a，b，c是任意实数，那
〔么1〕a+b =
b+a
〔加法交换律〕；
〔2〕(a+b)+c = a+(b+c) 〔加法结合律〕；
〔3〕a+0 = 0+a = a
；
〔4〕a+(-a) = (-a)+a =
0；
〔5〕ab = ba 〔乘法交换律〕；
例4 通分:
(1) 1 x
，
1； x2 x
解： 最简公分母是 x( x 1)
1 x 1 , x x( x 1)
1 x2
x
1 x(x 1)
,
(2)x214
， x； 42x
解： 最简公分母是 2(x2)(x2)
x2142(x22)(x2),
x x x(x2) . 42x 2(x2) 2(x2)(x2)
【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并 且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用 相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
例6 用计算器计算：2× 5（精确到小数点后面
第二位）. 解: 按键：
显示：3.162 277 66. 精确到小数点后面第二位得：3.16.
2× 5≈ 3.16.
四 实数的大小比较
0,1.414, 9, 2 3 是有理数， 2 ， π ， 3 2 ， 0 .1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 是无理数.
思考：有理数可以做加、减、乘、 除、乘方运算，实数可以吗？
讲授新课
一 实数与数轴上的点 思考1： 如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数 轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，那么数 轴上表示点A的数是多少？
〔11〕实数的除法运算〔除数b≠0〕，规定为 a÷b = a·b1 ；
〔12〕实数有一条重要性质：如果a ≠ 0，b ≠ 0， 那么ab＿＿≠ ＿0.
总结归纳
实数的平方根与立方根的性质：
每个正实数有且只有两个平方根，它们 互为相反数.0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数有且只有一个 立方根，而且与它本身的符号相同.