沈阳市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

沈阳市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如果对定义在上的函数，对任意，均有成立，则称R )(x f n m ≠0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 函数为“函数”.给出下列函数：)(x f H ①
；②；③；④
()ln 25x f x =-34)(3++-=x x x f )cos (sin 222)(x x x x f --=．其中函数是“函数”的个数为（ ）⎩⎨
⎧=≠=0
,00
|,|ln )(x x x x f H A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4
【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大．2． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．248064240
3． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ）
A ．3﹣4i
B ．3+4i
C ．﹣3﹣4i
D ．﹣3+4i 4． 不等式﹣x 2﹣2x+3≤0的解集为（ ）
A ．{x|x ≥3或x ≤﹣1}
B ．{x|﹣1≤x ≤3}
C ．{x|﹣3≤x ≤1}
D ．{x|x ≤﹣3或x ≥1}
5． 已知，其中i 为虚数单位，则a+b=（
）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
6． 已知点F 1，F 2为椭圆
的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得
，
则此椭圆的离心率的取值范围是（
）
A ．（0，）
B ．（0，]
C ．（，]
D ．[，1）
7． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
8． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（
）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
9． 已知双曲线，分别在其左、右焦点，点为双曲线的右支上
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>12,F F P 的一点，圆为三角形的内切圆，所在直线与轴的交点坐标为，与双曲线的一条渐
M 12PF F PM (1,0)
，则双曲线的离心率是（ ）C
A B ．2
C
D 10．函数y=﹣lnx （1≤x ≤e 2） 的值域是（ ）
A ．[0，2]
B ．[﹣2，0]
C ．[﹣，0]
D ．[0，]　
11．方程表示的曲线是（ ）
1x -=A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆
12．已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 2
1
z z A ．
B ．
C ．
D ．
1-5
4i -i 5
4【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
二、填空题
13．设全集______.
14．已知复数
，则1+z 50+z 100= ．
15．直线与抛物线交于，两点，且与轴负半轴相交，若为坐标原点，则
20x y t +-=216y x =A B x O 面积的最大值为
.
OAB ∆【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.
16．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．
17．已知f （x ）=
，则f[f （0）]= ．
18．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
三、解答题
19．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）．（1）当a=
时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值；1
2
（2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （
x
）
为
f 1
（
x
）
，
f 2
（
x
）
的
“
活
动
函
数
”
．
已
知
函
数
.。

若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ）
，()()
221121-a ln ,2f x a x ax x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭()22122f x x ax =+f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
20．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题q ：曲线y=x 2+（2m ﹣3）x+1与x 轴交
于不同的两点，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．
21．设函数f （x ）=x 2e x ．（1）求f （x ）的单调区间；
（2）若当x ∈[﹣2，2]时，不等式f （x ）＞m 恒成立，求实数m 的取值范围．
22． 坐标系与参数方程线l ：3x+4y ﹣12=0与圆C ：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．
23．如图，在四边形中,, 四ABCD ,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠=
A 边形绕着直线旋转一周.
AD
（1）求所成的封闭几何体的表面积；（2）求所成的封闭几何体的体积.
24．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm ）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
沈阳市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
第
2． 【答案】B 【解析】试题分析：,故选B.805863
1
=⨯⨯⨯=
V 考点：1.三视图；2.几何体的体积.3． 【答案】B
解析：∵（3+4i ）z=25，z==
=3﹣4i ．
∴=3+4i ．故选：B ．4． 【答案】D
【解析】解：不等式﹣x 2﹣2x+3≤0，变形为：x 2+2x ﹣3≥0，
因式分解得：（x ﹣1）（x+3）≥0，可化为：
或
，解得：x ≤﹣3或x ≥1，
则原不等式的解集为{x|x ≤﹣3或x ≥1}．故选D ．
5．【答案】B
【解析】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1
另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．
故选B．
【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
6．【答案】D
【解析】解：由题意设=2x，则2x+x=2a，
解得x=，故||=，||=，
当P与两焦点F1，F2能构成三角形时，由余弦定理可得
4c2=+﹣2×××cos∠F1PF2，
由cos∠F1PF2∈（﹣1，1）可得4c2=﹣cos∠F1PF2∈（，），即＜4c2＜，∴＜＜1，即＜e2＜1，∴＜e＜1；
当P与两焦点F1，F2共线时，可得a+c=2（a﹣c），解得e==；
综上可得此椭圆的离心率的取值范围为[，1）
故选：D
【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及余弦定理和不等式的性质以及分类讨论的思想，属中档题．
7．【答案】A
【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，
∴a＜0，
且△=b2﹣4ac＜0，
综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．
故选A．
8．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4．故选D ．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．　
9． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知到直线，得，则为等轴双曲()1,00bx ay -=
=
a b =
.故本题答案选C. 1考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同.求双曲,,a b c ,,a b c ,,a b c 线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,,a c ,,a b c 将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
,a c 2
a 10．【答案】B
【解析】解：∵函数y=lnx 在（0，+∞）上为增函数，故函数y=﹣lnx 在（0，+∞）上为减函数，当1≤x ≤e 2时，
若x=1，函数取最大值0，x=e 2，函数取最小值﹣2，
故函数y=﹣lnx （1≤x ≤e 2） 的值域是[﹣2，0]，故选：B
【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．　
11．【答案】A 【解析】
试题分析：由方程，两边平方得，即，所
1x -=2
2
1x -=2
2
(1)(1)1x y -++=以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.考点：曲线的方程.12．【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，
，所以的虚部为.i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=2
1z z 54二、填空题
13．【答案】{7，9}
【解析】∵全集U={n ∈N|1≤n ≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁U A ）={4，6，7，9 }，∴（∁U A ）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}。

14．【答案】　i ．
【解析】解：复数
，
所以z 2=i ，又i 2=﹣1，所以1+z 50+z 100=1+i 25+i 50=1+i ﹣1=i ；故答案为：i ．
【点评】本题考查了虚数单位i 的性质运用；注意i 2=﹣1．　
15．【
解
析
】
16．【答案】　6　
【解析】解：集合A 为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．故答案为：6
【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．　
17．【答案】　1　．
【解析】解：f （0）=0﹣1=﹣1，f[f （0）]=f （﹣1）=2﹣1=1，故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．　
18．【答案】　[，3]　．
【解析】解：直线AP 的斜率K==3，
直线BP 的斜率K ′=
=
由图象可知，则直线l 的斜率的取值范围是[，3]，故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P 的直线l 与线段AB 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．　
三、解答题
19．【答案】（1） （2）a 的范围是 .
()()2max
min 11,.22e f x f x =+=11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】试题分析：（1）由题意得 f （x ）=x 2+lnx ，，∴f （x ）在区间[1，e]上为12
()2'11f 0x x x x x +=+=>增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当 时，，；
对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）令
＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，
且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=
＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，
∵
若 ，令p ′（x ）=0，得极值点x 1=1，，当x 2＞x 1=1，即 时，在（x 2，+∞）上有p ′（x ）＞0，
此时p （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p （x ）∈（p （x 2），+∞），不合题意；当x 2＜x 1=1，即a ≥1时，同理可知，p （x ）在区间（1，+∞）上，有p （x ）∈（p （1），+∞），也不合题意；
若 ，则有2a ﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p ′（x ）＜0，
从而p （x ）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
20．【答案】
【解析】解：∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，
∴⇒m＞2
若p为真时：m＞2，
∵曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，
则△=（2m﹣3）2﹣4＞0⇒m＞或m，
若q真得：或，
由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假
若p真q假：；
若p假q真：
∴实数m的取值范围为：或．
【点评】本题借助考查复合命题的真假判定，考查了双曲线的标准方程，关键是求得命题为真时的等价条件．　
21．【答案】
【解析】解：（1）…
令
∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；
单减区间为（﹣2，0）．…
（2）令
∴x=0和x=﹣2，…
∴
∴f （x ）∈[0，2e 2]…
∴m ＜0…
22．【答案】
【解析】解：圆C ：的标准方程为（x+1）2+（y ﹣2）2=4
由于圆心C （﹣1，2）到直线l ：3x+4y ﹣12=0的距离d==＜2故直线与圆相交
故他们的公共点有两个．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．
23．【答案】（1）；（2）．(8π+203
π【解析】
考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.
24．【答案】
【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．。