河南省实验中学2020-2021学年高二上学期期中考试 数学(理) PDF版含答案

所以 q＝﹣1（舍）或 q＝2，b1＝1，
．
记 A＝a1b1+a2b2+…+anbn＝1×1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1， 2A＝1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n， ﹣A＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n， A＝（2n﹣1）•2n﹣1﹣2（2+22+…+2n﹣1）＝（2n﹣1）•2n﹣1﹣2（2n﹣2） ＝（2n﹣3）•2n+3． 所以 Tn＝a1b1+a2b2+…+anbn＝（2n﹣3）•2n+3．
方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建
造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左
右两面新建墙体报价为每平方米 300 元，屋顶和地面以及其他报价共计 14400 元，
设屋子的左右两面墙的长度均为 x 米 1 x 5 .
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.
B．若“p 或 q”为假命题，则“p 且 q”为真命题
C．命题“
x0∈R，使得
x2 0
x0
1
0
”的否定是：“
x∈R，均有
x2+x+1＜0”
D．命题“在△ABC 中，若 A＞B，则 sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
5．已知首项为 1，公比为 q 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn ，则“ S3 3 ”是“ q -2 ”
大 n＝（ ）
A．1008
B．1009
C．1010
D．1011
11．已知正数 x，y 满足 x+y＝1，则 1 1 的最小值为（ ） x 1 4y
A．
B．2
C．
D．
12．在锐角 ABC 中，若 cos A cos C sin B sin C ，且
a
c
3sin A
3 sin C cos C 2 ，
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价 1800a 1 x
x
元 a 0 ，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a
的取值范围.
22.（12 分）若各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 2 Sn ＝an+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
河南省实验中学 2020——2021 学年上期期中试卷
高二 理科数学
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．设 a，b，c 为实数，且 a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A． 1 1 ab
，求 1 1 的值． bc
18.（12 分）设 p：实数 x 满足 x2﹣（3a+1）x+2a2+a≤0（a＞0），q：实数 x 满足
f x x2 5x 6 ．
（1）当 a＝2 时，命题 p∧q 为真命题，求实数 x 的取值范围；
（2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
，b＝ 3 ，
则△ABC 的面积为
．
14.设正项等比数列an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，若
S4 S2
3 ，则 q
．
x y 4 0
15.已知
x，y
满足约束条件
x
2
且 z＝x＋3y 的最小值为 2，则常数
x y k 0
k＝ ．
16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，S1＝6，S2＝4，Sn＞0 且 S2n，S2n﹣1，S2n+2 成等
19.（12 分）已知函数 f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|． （1）解不等式 f（x）≤3；
（2）已知函数 gx |2x﹣2019﹣a|+|2x﹣2020|，若对于任意 x1∈R，都存在 x2∈R，
使得 f x1 gx2 成立，求实数 a 的取值范围．
高二理科数学 第 3页 （共 4 页）
，所以λ＞[h（n）]max，
h（n+2）﹣h（n）＝﹣2﹣
＝﹣2+ ，
n＝1 时，h（n+2）＞h（n），n≥3 时，h（n+1）＜h（n），即 h（3）＞h（1）， n≥3 时，h（n）递减，[h（n）]max＝h（3）＝﹣3，所以λ＞﹣3． 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣3， ）．
4
22、解：（1）因为
，且 an＞0，由
得 a1＝1，
又
，所以 4an+1＝4sn+1﹣4sn＝
，
（an+1+an）（an+1﹣an）﹣2（an+1+an）＝0，
因为 an＞0，所以 an+1+an≠0，所以 an+1﹣an＝2，
所以{an}是公差为 2 的等差数列，又 a1＝1，所以 an＝2n﹣1． （2）设{bn}的公比为 q，因为 2b7+b8＝b9，2+q＝q2，
B．ac2＜bc2
C． b a ab
D．a2＞ab＞b2
2．若不等式 ax2
bx
2
0
的解集为
x
2
x
1
4
，则
a
b
等于（
）
A．-18
B．8
C．-13
D．1
y 2
3．已知变量 x，y 满足约束条件 x y 4 ，则 z x2 y 12 的最小值为（ ）
x y 1
A．
B．
C．
D．
4．下列说法正确的是（ ） A．命题“若 x2＝1，则 x＝1”的否命题为：“若 x2＝1，则 x≠1”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．在下列函数中，最小值为 2 的函数是（ ）
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A．
f
x
x
1 x
C． f x
x2 3 x2 3
B．
y
cos
x
1 cos
x
0
x
2
D．
f
x
ex
4 ex
2
7．2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15°的观礼台上，某
则 a b 的取值范围是（ ）
A． 6, 4 3
B． 0, 4 3
C． 2 3, 4 3
D． 6, 2 3
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二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，a＝1，sinA＝
答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D
C
B
D
B
D
B
D
B
10 11 12
C
C
A
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2
13、
14、
2
15、-2
16、-1011
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）
17、解：（Ⅰ）由 bsin2A﹣asin（A+C）＝0 得 bsin2A＝asinB＝bsinA
20.（12 分）已知公差不为零的等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，S20 420 ，且 a2 ，
a4 ， a8 成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设
bn
an
1
1
an
1
，求数列bn 的前
n
项和 Tn
.
21.（12 分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安 全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面为 24 平
（3）不等式λ•（﹣1）n
可化为
，
当 n 为偶数时， g（n+2）﹣g（n）＝2+
，记 g（n）＝（n﹣ ）+
，所以λ＜[g（n）]min，
＝2﹣ ，n＝2 时，g（n+2）＞g（n），
3
即 g（4）＜g（2），n≥4 时，g（n）递增，[g（n）]min＝g（4）＝ ，即
；
当 n 为奇数时，
，记 h（n）＝
A．2
B．4
C．16
D．8
9 ． 如 图 △ ABC 中 ， 已 知 点 D 在 BC 边 上 ， AD ⊥ AC ，
sin BAC 7 ，AB＝8，AD＝6，则 CD 等于（ 8
A．4
B．24
C．
） D．20
10．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S2020＞0，S2021＜0，则满足 anan+1an+2＞0 的最
（2）若正项等比数列{bn}，满足 b2＝2，2b7+b8＝b9，求 Tn＝a1b1+a2b2+…+anbn；
（3）对于（2）中的
Tn，若对任意的
n∈N*，不等式
-1
n＜
1 2n1
（Tn+21）恒成
立，求实数λ的取值范围．
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河南省实验中学 2020——2021 学年上期期中试卷
又 0＜A＜π，所以 sinA≠0，得 2cosA＝1，所以
（Ⅱ）由△ABC 的面积为 及
，
得
，即 bc＝6
又 a＝3，从而由余弦定理得 b2+c2﹣2bccosA＝9，
所以
所以
18、解：（1）当 a＝2 时，命题 p∧q 为真命题， ∴p：实数 x 满足 x2﹣7x+10≤0 是真命题，解得 2≤x≤5，
则
，解得
，即实数 a 的取值范围为
．
20、（1）设等差数列an 公差为 d d 0
S20
20a1
20 19 2
d
20a1
190d
420
，即：
2a1
19d
42 …①
又 a2 , a4 , a8 成等比数列 a42 a2a8
a1 3d 2 a1 d a1 7d ，整理可得： d a1 …②
比数列，S2n﹣1，S2n+2，S2n+1 成等差数列，则 a2020
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bsin2A﹣asin
（A+C）＝0．
（1）求角 A；
（2）若 a＝3，△ABC 的面积为
由①②得： a1 d 2 an a1 n 1 d 2n
（2）由（1）得： bn
2n
1
1 2n
1
1 2
1 2n 1
1 2n 1
Tn
1 2
1
1 3
1 3
1 5
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n 1
n 2n 1
21、解：（1）甲工程队的总造价为 y 元，
则
y
3
300
2x
400
一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的
第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和
30°，且第一排和最后一排的距离为 10 米，则旗杆的 高度为（ ）米．
A．20
B．30
C．30
D．35
8．等比数列{an} 中，a3a11 4a7 ，{bn} 是等差数列，且 b7 a7 ，则 b5 b9 （ ）
24 x
14400
1800
x
16 x
14400
1
x
5
，
1800
x
16 x
14400
1800
2
x 16 14400 28800 . x
2
当且仅当 x 16 ，即 x 4 时等号成立. x
即当左右两侧墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为 28800 元.
（2）由题意可得，
1800
q：实数 x 满足
是真命题，解得 2≤x≤3，
∴当 a＝2 时，命题 p∧q 为真命题，实数 x 的取值范围是[2，3]． （2）p：实数 x 满足 x2﹣（3a+1）x+2a2+a≤0（a＞0），解得 a≤x≤2a+1，
∵q：实数 x 满足
．即 2≤x≤3，∴￢p：x＜2 或 x＞3，
∵p 是￢q 的充分不必要条件，
∴
或 a＞3，解得 0＜a＜ 或 a＞3．
∴实数 a 的取值范围是（0， ）∪（3，+∞）．
1
19、解：（1）依题意，得
，
由 f（x）≤3，得
或
或
．
解得﹣1≤x≤1．即不等式 f（x）≤3 的解集为{x|﹣1≤x≤1}．
（2）由（1+|2x﹣2020|≥|2x﹣2019﹣a﹣2x+2020|＝|a﹣1|， 当（2x﹣2019﹣a）（2x﹣2020）≤0 时，上式取得等号， 由对于任意 x1∈R，都存在 x2∈R，使得 f（x1）＝g（x2）成立， 可得[ ，+∞）⊆[|a﹣1|，+∞），
x
16 x
14400
1800a 1
x
x
对任意的
x
1,
5
恒成立.
即 x 42 a 1 x ，从而 x 42 a 恒成立，
x
x
x 1
令 x 1 t 2, 6， x 42 t 32 t 9 6 2 t 9 6 12 ，
x 1
t
t
t
故 ymin 12 .所以 0 a 12 .