“图形变换”凸显“核心素养”——2023年温州市中考数学填空压轴题评析

图形变换 凸显 核心素养
2023年温州市中考数学填空压轴题评析
浙江省温州市第十二中学 朱 光 (邮编:325000
) 1
试题呈现
图1
(温州中考第16题)
图1是4ˑ4方格绘成的七巧
板图案,每个小方格的边长为2,现将它剪拼成一个 房子 造型(如图2),过左侧的三个端点作圆,并在圆内右侧部分留出矩形
图2
C D E F 作为题字区域(
点A ,E ,D ,B 在圆上,点C ,F 在
A B 上),形成一幅装饰画,则圆的半径为.若点A ,N ,M 在同一直线上,A B ʊ
P N ,D E =6E F ,则题字区域的面积为.
2 试题评价
2.1 问题设计新颖,
聚焦核心知识本题用七巧板图案巧妙构筑了一个数学问
题,它融合等腰直角三角形㊁平行四边形㊁正方形㊁相似三角形㊁圆等基本图形,图形变换自然.第(1)问起点较低,运用了垂径定理㊁勾股定理和方程思想等核心知识和方法.同时第(1
)问为第(2
)问做铺垫,两问联系紧密,梯度自然㊁合理.2.2 猜想和推理的有效结合七巧板由一些特殊几何图形构成,圆和拼成
的 房子 具有很多的对称关系,易于学生在直观中发现等量关系.由图形易产生猜想:圆心是否在中间横线上?点A 和点B 是否在 房子 的上下水平延长线上点N 是否为圆心?猜想是解
题的基础,没有猜想的引领,推理往往会迷失方向,同时猜想必须要经过推理论证.本题充分体现猜想验证思想.
2.3 在解决问题中凸显核心素养
‘义务教育数学课程标准(2022年版)
“指出,进一步加强综合与实践,以解决实际问题为重点.本题在解决问题的过程中,凸显了对数学抽象㊁几何直观㊁数学运算㊁推理能力㊁数学建模等核心素养的考查,展现了丰富的文化内涵和数学应用价值.
3 解法展示
首先分析图形的特点:七巧板是由特殊几何
图形构成的,根据已知小方格的边长为2,各边
和各角都是可求的.我们应抓住图形变换后不变的量,并充分利用图形的对称性等特征,求出所有相关的可求的边和角.3.1 求圆的半径
分析要求圆的半径,先要确定圆心.圆心必在弦的中垂线上.
思路1 勾股定理+方程思想图3
解法1 如图3,连结
G H ,易证G H =2=G Q ,因为过左侧的三个点Q ,K ,L 确定一个圆.Q H =H L
=4,又N K ʅQ L ,
所以圆心O 在K N 上,连接O Q ,设设O Q =r .则O H =r -
KH =r -2,在R t әO H Q 中,
因为O H 2+Q H 2=Q O 2,所以(r -2)2+42=r 2,解得:r =5.
思路2 相似
+方程思想图4
解法2 如图4,连结K L ,做K L 的中垂线交K N
于点O ,交K L 于点U ,因为N K ʅQ L ,
且Q H =H L =4
,所以点O 为圆心.因为KH =2,由勾股定理得K L =25,
所以K U =5.易证әKH L ʐәK U O ,所以K O K U =K L
KH
=5,
所以半4
6中学数学教学
2024年第1期
径K O =5.
3.2 求面积
分析 在求得半径的基础上,对 点A ,N ,
M 在同一直线上
这一关键条件进行深度分析.如图5,可知øA N S =øA M P ,
通过先猜后验A N =MN ,求得O S 是关键.
思路1 利用相似(或三角函数)+勾股定理图5
解法1 如图5,连结
O E ,O A ,延长O N 交A B 于点S ,交E D 于点T .连接A M ,因为A B ʊP N ,
所以A B ʅO T ,所以A S =S B .
因为点A ,N ,M 在同一直
线上,所以øA N S =
øA M P ,所以t a n øA N S =t a n øA M P =2
,所以A S =2N S .设N S =a ,则A S =2a ,因为K N =2
+4=6,所以O N =6-5=1,在R t әA O S 中,A O 2
=O S 2
+A S 2
,即52
=(1+a )2
+(2a )2
,
解得:a =2或a =-12
5
(舍去).所以O S =3.
因为D E =6E F ,设E F =S T =x ,则E T =1
2D E =
62
x ,在R t әO E T 中O E 2=O T 2+T E 2,即52
=(3+x )2+(62x )2,整理得5x 2+12x -32=0
,即(x +4)(5x -8)=0,解得:x =8
5
或x =-4
(舍去),所以题字区域的面积为6x 2
=64
2
5
6.
思路2 利用图形的对称性
图6
解法2 如图6,连结
M R ,
交K N 于点W .易证点Q ,W ,P 在同一直线上.连结A M ,如图7,在矩形M P -NW 中,
设W P 与MN 交于点U ,
连接O U ,由解法1知图7
O W =O N =1
,由三线合一得øW U O =øN U O ,
所以点O 到W P 与MN 的距离相等,即Q W 与A N 所在弦的弦心距相等,从而得半弦也相等,易证Q W =A N =25=MN ,又因为øA N S =øA M P ,所以R t әA N S
ɸR t әNM P ,得N S =M
P =2
,后面同解法1.图8
解法3 如图8,连结
M B ,
由解法2得Q W =A N =25=MN ,又因为A S =
B S ,所以N S 是әA M B 的
中位线,所以N S ʊM B ,因为N S ʅA B ,
所以M B ʅA B ,
故点P 在M B 上,易得得N S =M P =2,后面同解法1.
图9
解法4 由解法3知
M B ʅA B ,易知点L ,M ,B
三点共线,如图9
,连结Q A ,因为Q L ʊA B ,
所以øQ L B =øB =90ʎ,因为A ,Q ,L ,B 由四点共圆,
所以øL Q A =90ʎ,
且所以四边形A Q L B 为矩形,所以A B =Q L .又因为O S ʅA B ,K S ʅQ L ,所以O S =O H =3,后面同解法1.
4 小结
本题解答思路丰富,还有很多解法不一一呈现.值得注意的是,有不少学生在求解第二空的过程中默认了L ,P ,B 三点共线,
或者默认点A 在 房子 的上边所在的直线上.这是不严谨的,
这样明显降低了求解的难度,存在运气成分.事实上,L ,P ,B 三点共线与条件点A ,N ,M 在同一直线上和已知线段的长度是密切相关的.
(收稿日期:2023-10-20
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62024年第1期中学数学教学。