2019秋小学数学全章整合与提升 (8)
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则抛物线的对称轴为直线x＝2， 进而可得点A(－1，0)的对称点B的坐标为(5，0)， 故二次函数的表达式为y＝－(x＋1)(x－5)，即y＝ －x2＋4x＋5，则c＝5，
由一次函数图象经过A(－1，0)，D(4，5)，可求得 一次函数的表达式为y＝x＋1.
全章整合与提升
(2)动点M在抛物线上A，D两点之间移动，作MN与y轴 平行且交直线AD于点N，当线段MN最长时，求点M 的坐标；
① 把 方 程 x2 － x － 1 ＝ 0 的 根 看 成 是 二 次 函 数 y ＝
________________的图象与直线y＝____________
x的2－交x点(或的x横2或坐x2标－；1)
1(或x＋1或x)
全章整合与提升
②在图②中画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴 上标出方程的解.
解：当－1＜x＜4 时，抛物线上的点都在直线的上方，则 MN＝yM－yN＝(－x2＋4x＋5)－(x＋1)＝－x2＋3x＋ 4＝－x－322＋245(－1＜x＜4)．
全章整合与提升
当 x＝32时，线段 MN 最长，为245，此时 yM＝－322＋ 4×32＋5＝345，即点 M32，345.
全章整合与提升
(2) 若 点 M 是 抛 物 线 在 x 轴 下 方 的 一 动 点 ， 过 点 M 作 MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
解：易得 A(1，0)，设点 M 的坐标为(x，x2－6x＋5)(1＜ x＜5)，则点 N 的坐标为(x，－x＋5)， ∴MN＝(－x＋5)－(x2－6x＋5)＝－x2＋5x， 当 x＝52时，MN 有最大值，为245.
19
(2)5 元/件．
17 ①②③
18 (1)y＝－x2＋13x＋3，点 B 的坐标为 4 (0，3)． (2)存在，点 P 的坐标为78，0或 (－1，0)或(9，0)或(－4，0)．
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(1)C(5，4)． (2) 直线 x＝1. (3)a<－43或 a≥13 或 a＝－1.
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(3)试问：在(2)的条件下，当线段MN最长时，△AMD 的面积是否一定最大？如果是，请说明理由；如果 不是，请在抛物线上A，D两点之间另求一点M′，使 得△AM′D的面积最大.
解：是．理由：如图，过点M作MS⊥AD，点S为垂足 ，MS是△AMD的边AD上的高．
全章整合与提升
对一次函数y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，可知直线与y轴 的交点为T(0，1)，
中正确的个数为( C )
①a＞0；
②2a＋b＝0；
③a＋b＋c＞0；
④当－1＜x＜3 时，y＞0.
A．1 B．2
C．3
D．4
全章整合与提升
【点拨】根据函数图象开口向下可得 a＜0，所以①错误； 因为抛物线与 x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以 其对称轴为直线 x＝1，所以－2ba＝1，因此 2a＋b＝0， 所以②正确；当 x＝1 时，y＝a＋b＋c＞0，所以③正确； 当－1＜x＜3 时，y＞0, 所以④正确．所以②③④正确．
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4.[2018·襄阳]已知二次函数 y＝x2－x＋41m－1 的图象与 x 轴 有交点，则 m 的取值范围是( A )
A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
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5.[2017·朝阳]若函数 y＝(m－1)x2－6x＋32m 的图象与 x轴有 且只有一个交点，则 m 的值为( C ) A．－2 或 3 B．－2 或－3 C．1 或－2 或 3 D．1 或－2 或－3
全章整合与提升
8.[2018·十堰]为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市 结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄 在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待 游客，合作社共有80间客房，根据合作社提供的房间 单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出 y与x的函数图象如图所示.
全章整合与提升
【点拨】当 m＝1 时，函数表达式为 y＝－6x＋32，是一 次函数，图象与 x 轴有且只有一个交点；当 m≠1 时，函 数为二次函数，由函数 y＝(m－1)x2－6x＋32m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，得(－6)2－4×(m－1)×32m＝0， 解得 m＝－2 或 3，故选 C.
全章整合与提升
(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛 物线在x轴下方的任意一点，以BC为边作平行四 边 形 CBPQ ， 设 平 行 四 边 形 CBPQ 的 面 积 为 S1 ， △ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标.
解：连接CP.∵A(1，0)，B(5，0)， ∴AB＝4，
全章整合与提升
(1)求直线BC与抛物线的表达式；
解：设直线 BC 的表达式为 y＝mx＋n，将(5，0)，(0，5) 分别代入，得5nm＝＋5，n＝0，解得mn＝＝5－. 1， ∴直线 BC 的表达式为 y＝－x＋5.
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再将(5，0)，(0，5)代入 y＝x2＋bx＋c，得 2c＝5＋5，5b＋c＝0，解得bc＝＝5－，6， ∴抛物线的表达式为 y＝x2－6x＋5.
15
(1)25 亿元．
40 000.
(2)47.5 亿元．
(3)70 元/件.
(3) 投资 37.5 亿元生产甲种
14 (1)①h＝53.
型号汽车，投资 62.5 亿元生 产乙种型号汽车，最大总年利
②能过网． (2)a＝－15.
润为71865亿元．
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16 (1)y＝1＋2
5，x2＝1－2
5
.
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(2)解法二：利用二次函数的图象与坐标轴的交点求 解.如图①，把方程x2－x－1＝0的根看成是二次函 数y＝________的图象与x轴交点的横坐标，即x1 ，x2就x是2－方x程－的1 解.
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(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解.
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6.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解” 总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整. 例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的根.
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(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、 因式分解法)求解.
解：公式法：∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
1.下列函数表达式中，x 为自变量，一定是二次函数的是 ( D) A．y＝3x－x32 B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝ x2＋1 D．y＝1－x－x2
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2.若 y＝(m－1)x|m|－2 是反比例函数，则 m 的取值为( B )
A．1
B．－1
C．±1
D．任意实数
全章整合与提升
3.如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法
全章整合与提升
由(2)可知，N 的坐标为52，52， ∴S2＝21×4×52＝5，∴S1＝6S2＝30，∴S△CBP＝15， 过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 H，连接 OH，OP， OH 与 CP 交于点 R. 设 P(t，t2－6t＋5)(1＜t＜5)，则 H(t，－t＋5)． 易得 S△COP＝S△CHO，故 S△CHR＝S△OPR.
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∴S△CBP＝S 四边形 OHBP＝12OB·HP. ∴15＝12×5×[(－t＋5)－(t2－6t＋5)]， 解得 t1＝2，t2＝3. ∴P(2，－3)或 P(3，－4)．
解：略．
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7.[2018·沈阳]如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着， 并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的 总 长 为 900 m( 篱 笆 的 厚 度 忽 略 不 计 ) ， 当 AB ＝ ________m时，矩形ABCD的面积最大.
全章整合与提升
【点拨】设 AB＝x m，矩形 ABCD 的面积为 y m2，则 AB＋EF＋CD＝3x m，所以 AD＝BC＝900－2 3x m，所 以 y＝x·900－2 3x＝－32x2＋450x(0＜x＜300)，因为二次项 系数小于 0，所以 y 有最大值，当 x＝－2ba＝150 时，y 取得最大值，即当 AB＝150 m 时，矩形 ABCD 的面积 最大．
显然 OT＝OA，则∠OAT＝45°，易得∠MNS＝45°， 则 MS＝ 22MN，所以 MN 与 MS 同时达到最大．
因为△AMD的底AD是固定的，所以当线段MN最长时 ，△AMD的面积最大．
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12.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的一个交点为 B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5).
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9.[2017·怀化]如图，A，B 两点在反比例函数 y＝kx1的图 象上，C，D 两点在反比例函数 y＝kx2的图象上，AC⊥y 轴于点 E，BD⊥y 轴于点 F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，
则 k1－k2 的值是( D )
A．6
B．4
C．3
D．2
全章整合与提升
【点拨】分别过点 A，C，B，D 作 AM⊥x 轴，CN⊥x 轴，BG⊥x 轴，DH⊥x 轴，垂足分别为 M，N，G，H. 根据反比例函数中 k 的几何意义，得 k1＋(－k2)＝ AC×OE＝2OE①，k1＋(－k2)＝1×OF＝3－OE②，①＋ ②×2，得 3(k1－k2)＝6，∴k1－k2＝2.
全章整合与提升
(1)求y与x之间的函数关系式；
解：设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b， 将(70，75)，(80，70)代入，得 7800kk＋＋bb＝＝7750，，解得kb＝＝－11012，， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－12x＋110.
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11.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交 于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C．一次函数y＝ kx＋m的图象经过点A和抛物线上的点D(4，c).
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(1)分别求出这两个函数的表达式； 解：由题意可知C(0，c)，则点C(0，c)与点D(4，c)是
二次函数图象上的一对对称点，
11
(1)y＝－x2＋4x＋5，y＝x＋1. (2)M32，345.
是 5 000 元．
(3)是．
(1) y＝－x＋5,y＝x2－6x＋5.
9D
12 (2) 245.
(3)P(2，－3)或 P(3，－4)．
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13
(1)y＝－10x＋1 000. (2)w＝－10x2＋1 400x－
(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150 元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支 出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天 获利最大？最大利润是多少？
解：设合作社每天的利润为W(元)，则W＝(x－20)y＝ (x－20)＝－(x－120)2＋5 000.
因为60≤x≤150，所以当x＝120时，W最大＝5 000 ， 即当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最 大利润是5 000元．
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10.[2018·乐山]如图，曲线 C2 是双曲线 C1：y＝6x(x＞0) 绕原点 O 逆时针旋转 45°得到的图形，P 是曲线 C2
上任意一点，点 A 在直线 l：y＝x 上，且 PA＝PO，
则△POA 的面积等于( B )
A． 6
B．6
C．3
D．12
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【点拨】如图，根据题意，将曲线 C2 连同△POA 以原点 为中心顺时针旋转 45°，则点 P 位于 C1 上，点 A 位于 x 轴上，对应点分别为 P′，A′，且△POA≌△P′OA′.过点 P′ 作 P′D⊥OA′，垂足为 D，由等腰三角形的性质可知 △P′OD≌△P′A′D，再由反比例函数中 k 的几何意义可知 S△P′OD＝3，∴S△POA＝ S△P′OA′＝2S△P′OD＝6.
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1D
4A
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2B 3C
5C
(1)公式法：x1＝1＋2
5，x2＝1－2
5
.
6
(2)x2－x－1
(3)① x2－x；1(或 x2；x＋1 或 x2－1；x)
② 略．
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7 150
10 B
8
(1)y＝－12x＋110. (2)120 元时，最大利润
由一次函数图象经过A(－1，0)，D(4，5)，可求得 一次函数的表达式为y＝x＋1.
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(2)动点M在抛物线上A，D两点之间移动，作MN与y轴 平行且交直线AD于点N，当线段MN最长时，求点M 的坐标；
① 把 方 程 x2 － x － 1 ＝ 0 的 根 看 成 是 二 次 函 数 y ＝
________________的图象与直线y＝____________
x的2－交x点(或的x横2或坐x2标－；1)
1(或x＋1或x)
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②在图②中画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴 上标出方程的解.
解：当－1＜x＜4 时，抛物线上的点都在直线的上方，则 MN＝yM－yN＝(－x2＋4x＋5)－(x＋1)＝－x2＋3x＋ 4＝－x－322＋245(－1＜x＜4)．
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当 x＝32时，线段 MN 最长，为245，此时 yM＝－322＋ 4×32＋5＝345，即点 M32，345.
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(2) 若 点 M 是 抛 物 线 在 x 轴 下 方 的 一 动 点 ， 过 点 M 作 MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
解：易得 A(1，0)，设点 M 的坐标为(x，x2－6x＋5)(1＜ x＜5)，则点 N 的坐标为(x，－x＋5)， ∴MN＝(－x＋5)－(x2－6x＋5)＝－x2＋5x， 当 x＝52时，MN 有最大值，为245.
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(2)5 元/件．
17 ①②③
18 (1)y＝－x2＋13x＋3，点 B 的坐标为 4 (0，3)． (2)存在，点 P 的坐标为78，0或 (－1，0)或(9，0)或(－4，0)．
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(1)C(5，4)． (2) 直线 x＝1. (3)a<－43或 a≥13 或 a＝－1.
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(3)试问：在(2)的条件下，当线段MN最长时，△AMD 的面积是否一定最大？如果是，请说明理由；如果 不是，请在抛物线上A，D两点之间另求一点M′，使 得△AM′D的面积最大.
解：是．理由：如图，过点M作MS⊥AD，点S为垂足 ，MS是△AMD的边AD上的高．
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对一次函数y＝x＋1，令x＝0，得y＝1，可知直线与y轴 的交点为T(0，1)，
中正确的个数为( C )
①a＞0；
②2a＋b＝0；
③a＋b＋c＞0；
④当－1＜x＜3 时，y＞0.
A．1 B．2
C．3
D．4
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【点拨】根据函数图象开口向下可得 a＜0，所以①错误； 因为抛物线与 x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以 其对称轴为直线 x＝1，所以－2ba＝1，因此 2a＋b＝0， 所以②正确；当 x＝1 时，y＝a＋b＋c＞0，所以③正确； 当－1＜x＜3 时，y＞0, 所以④正确．所以②③④正确．
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4.[2018·襄阳]已知二次函数 y＝x2－x＋41m－1 的图象与 x 轴 有交点，则 m 的取值范围是( A )
A．m≤5
B．m≥2
C．m＜5
D．m＞2
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5.[2017·朝阳]若函数 y＝(m－1)x2－6x＋32m 的图象与 x轴有 且只有一个交点，则 m 的值为( C ) A．－2 或 3 B．－2 或－3 C．1 或－2 或 3 D．1 或－2 或－3
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8.[2018·十堰]为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市 结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄 在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待 游客，合作社共有80间客房，根据合作社提供的房间 单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出 y与x的函数图象如图所示.
全章整合与提升
【点拨】当 m＝1 时，函数表达式为 y＝－6x＋32，是一 次函数，图象与 x 轴有且只有一个交点；当 m≠1 时，函 数为二次函数，由函数 y＝(m－1)x2－6x＋32m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，得(－6)2－4×(m－1)×32m＝0， 解得 m＝－2 或 3，故选 C.
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(3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛 物线在x轴下方的任意一点，以BC为边作平行四 边 形 CBPQ ， 设 平 行 四 边 形 CBPQ 的 面 积 为 S1 ， △ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标.
解：连接CP.∵A(1，0)，B(5，0)， ∴AB＝4，
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(1)求直线BC与抛物线的表达式；
解：设直线 BC 的表达式为 y＝mx＋n，将(5，0)，(0，5) 分别代入，得5nm＝＋5，n＝0，解得mn＝＝5－. 1， ∴直线 BC 的表达式为 y＝－x＋5.
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再将(5，0)，(0，5)代入 y＝x2＋bx＋c，得 2c＝5＋5，5b＋c＝0，解得bc＝＝5－，6， ∴抛物线的表达式为 y＝x2－6x＋5.
15
(1)25 亿元．
40 000.
(2)47.5 亿元．
(3)70 元/件.
(3) 投资 37.5 亿元生产甲种
14 (1)①h＝53.
型号汽车，投资 62.5 亿元生 产乙种型号汽车，最大总年利
②能过网． (2)a＝－15.
润为71865亿元．
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16 (1)y＝1＋2
5，x2＝1－2
5
.
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(2)解法二：利用二次函数的图象与坐标轴的交点求 解.如图①，把方程x2－x－1＝0的根看成是二次函 数y＝________的图象与x轴交点的横坐标，即x1 ，x2就x是2－方x程－的1 解.
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(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解.
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6.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解” 总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整. 例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的根.
全章整合与提升
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、 因式分解法)求解.
解：公式法：∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
1.下列函数表达式中，x 为自变量，一定是二次函数的是 ( D) A．y＝3x－x32 B．y＝ax2＋bx＋c C．y＝ x2＋1 D．y＝1－x－x2
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2.若 y＝(m－1)x|m|－2 是反比例函数，则 m 的取值为( B )
A．1
B．－1
C．±1
D．任意实数
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3.如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法
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由(2)可知，N 的坐标为52，52， ∴S2＝21×4×52＝5，∴S1＝6S2＝30，∴S△CBP＝15， 过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于点 H，连接 OH，OP， OH 与 CP 交于点 R. 设 P(t，t2－6t＋5)(1＜t＜5)，则 H(t，－t＋5)． 易得 S△COP＝S△CHO，故 S△CHR＝S△OPR.
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∴S△CBP＝S 四边形 OHBP＝12OB·HP. ∴15＝12×5×[(－t＋5)－(t2－6t＋5)]， 解得 t1＝2，t2＝3. ∴P(2，－3)或 P(3，－4)．
解：略．
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7.[2018·沈阳]如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着， 并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的 总 长 为 900 m( 篱 笆 的 厚 度 忽 略 不 计 ) ， 当 AB ＝ ________m时，矩形ABCD的面积最大.
全章整合与提升
【点拨】设 AB＝x m，矩形 ABCD 的面积为 y m2，则 AB＋EF＋CD＝3x m，所以 AD＝BC＝900－2 3x m，所 以 y＝x·900－2 3x＝－32x2＋450x(0＜x＜300)，因为二次项 系数小于 0，所以 y 有最大值，当 x＝－2ba＝150 时，y 取得最大值，即当 AB＝150 m 时，矩形 ABCD 的面积 最大．
显然 OT＝OA，则∠OAT＝45°，易得∠MNS＝45°， 则 MS＝ 22MN，所以 MN 与 MS 同时达到最大．
因为△AMD的底AD是固定的，所以当线段MN最长时 ，△AMD的面积最大．
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12.如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的一个交点为 B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5).
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9.[2017·怀化]如图，A，B 两点在反比例函数 y＝kx1的图 象上，C，D 两点在反比例函数 y＝kx2的图象上，AC⊥y 轴于点 E，BD⊥y 轴于点 F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，
则 k1－k2 的值是( D )
A．6
B．4
C．3
D．2
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【点拨】分别过点 A，C，B，D 作 AM⊥x 轴，CN⊥x 轴，BG⊥x 轴，DH⊥x 轴，垂足分别为 M，N，G，H. 根据反比例函数中 k 的几何意义，得 k1＋(－k2)＝ AC×OE＝2OE①，k1＋(－k2)＝1×OF＝3－OE②，①＋ ②×2，得 3(k1－k2)＝6，∴k1－k2＝2.
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(1)求y与x之间的函数关系式；
解：设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b， 将(70，75)，(80，70)代入，得 7800kk＋＋bb＝＝7750，，解得kb＝＝－11012，， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－12x＋110.
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11.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交 于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C．一次函数y＝ kx＋m的图象经过点A和抛物线上的点D(4，c).
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(1)分别求出这两个函数的表达式； 解：由题意可知C(0，c)，则点C(0，c)与点D(4，c)是
二次函数图象上的一对对称点，
11
(1)y＝－x2＋4x＋5，y＝x＋1. (2)M32，345.
是 5 000 元．
(3)是．
(1) y＝－x＋5,y＝x2－6x＋5.
9D
12 (2) 245.
(3)P(2，－3)或 P(3，－4)．
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(1)y＝－10x＋1 000. (2)w＝－10x2＋1 400x－
(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150 元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支 出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天 获利最大？最大利润是多少？
解：设合作社每天的利润为W(元)，则W＝(x－20)y＝ (x－20)＝－(x－120)2＋5 000.
因为60≤x≤150，所以当x＝120时，W最大＝5 000 ， 即当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最 大利润是5 000元．
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10.[2018·乐山]如图，曲线 C2 是双曲线 C1：y＝6x(x＞0) 绕原点 O 逆时针旋转 45°得到的图形，P 是曲线 C2
上任意一点，点 A 在直线 l：y＝x 上，且 PA＝PO，
则△POA 的面积等于( B )
A． 6
B．6
C．3
D．12
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【点拨】如图，根据题意，将曲线 C2 连同△POA 以原点 为中心顺时针旋转 45°，则点 P 位于 C1 上，点 A 位于 x 轴上，对应点分别为 P′，A′，且△POA≌△P′OA′.过点 P′ 作 P′D⊥OA′，垂足为 D，由等腰三角形的性质可知 △P′OD≌△P′A′D，再由反比例函数中 k 的几何意义可知 S△P′OD＝3，∴S△POA＝ S△P′OA′＝2S△P′OD＝6.
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1D
4A
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2B 3C
5C
(1)公式法：x1＝1＋2
5，x2＝1－2
5
.
6
(2)x2－x－1
(3)① x2－x；1(或 x2；x＋1 或 x2－1；x)
② 略．
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7 150
10 B
8
(1)y＝－12x＋110. (2)120 元时，最大利润