《数列在日常经济生活中的应用》 导学案

《数列在日常经济生活中的应用》导学案
一、学习目标
1、理解数列的概念和常见类型，如等差数列、等比数列。

2、掌握数列在储蓄、贷款、投资等经济领域中的应用原理和计算方法。

3、能够运用数列知识解决实际经济问题，提高分析和解决问题的能力。

二、学习重难点
1、重点
（1）等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的应用。

（2）在经济情境中准确建立数列模型，并进行相关计算。

2、难点
（1）复杂经济问题中数列模型的构建。

（2）灵活运用数列知识进行最优方案的选择和决策。

三、知识回顾
1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。

2、等差数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的
差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

通项公式：＼（a_n ＝
a_1 ＋（n 1)d\），前\（n\）项和公式：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋
a_n)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）。

3、等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的
比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

通项公式：＼（a_n ＝
a_1q^｛n 1}＼），前\（n\）项和公式：当\（q≠1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）；当\（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）。

四、情境导入
在日常生活中，我们经常会遇到与经济相关的问题，比如储蓄、贷款、投资等。

而数列作为一种数学工具，可以帮助我们更好地理解和
解决这些经济问题。

例如，银行存款的利息计算、分期付款的还款金
额确定、股票价格的波动分析等，都离不开数列的知识。

接下来，让
我们一起探索数列在日常经济生活中的具体应用。

五、新课讲授
（一）储蓄问题
假设我们将一笔钱\（P\）存入银行，年利率为\（r\），存期为\（n\）年。

如果按照单利计算，到期后的本利和\（S\）可以表示为：＼（S
＝ P(1 ＋ nr)＼）。

如果按照复利计算，本利和\（S\）则可以表示为：＼（S ＝ P(1 ＋r)＾n\）。

这里的\（n\）就是一个数列的项数。

例 1：小明将\（10000\）元存入银行，年利率为\（2%＼），存期
为\（3\）年。

分别按照单利和复利计算到期后的本利和。

解：按照单利计算：＼（S ＝ 10000×（1 ＋ 2%×3) ＝ 10600\）（元）按照复利计算：＼（S ＝ 10000×（1 ＋ 2%）＾3 ≈ 1061208\）（元）（二）贷款问题
在贷款购房或购车时，我们通常会选择等额本息还款或等额本金还
款方式。

等额本息还款法：每月还款金额相同，在还款初期，利息所占比例
较大，本金所占比例较小；随着还款时间的推移，利息所占比例逐渐
减少，本金所占比例逐渐增大。

设贷款总额为\（A\），月利率为\（r\），还款月数为\（n\），每月还款额为\（x\），则有：＼（x ＝＼frac{Ar(1 ＋ r)＾n}｛（1 ＋ r)＾n 1}＼）
等额本金还款法：每月偿还的本金相同，利息逐月递减。

每月还款额＝每月本金＋每月利息
每月本金＝贷款总额÷还款月数
每月利息＝（贷款总额已归还贷款本金累计额）×月利率
例 2：小王贷款\（20\）万元购买房屋，贷款期限为\（10\）年，年
利率为\（5%＼）。

分别计算等额本息和等额本金两种还款方式下每月
的还款金额。

解：（1）等额本息还款法
月利率\（r ＝5%÷12 ≈ 042%＼），还款月数\（n ＝ 10×12 ＝ 120\）＼（x ＝＼frac{200000×042%（1 ＋ 042%）＾｛120}｝｛（1 ＋042%）＾｛120} 1} ≈ 212131\）（元）
（2）等额本金还款法
每月本金＝ 200000÷120 ＝ 166667（元）
第一个月利息＝ 200000×042% ＝ 840（元），第一个月还款金额
＝ 166667 ＋ 840 ＝ 250667（元）
第二个月利息＝（200000 166667）×042% ＝ 83333（元），第二
个月还款金额＝ 166667 ＋ 83333 ＝ 2500（元）
……
（三）投资问题
在投资中，经常会用到等差数列和等比数列的知识来分析收益和风险。

例如，某股票价格连续\（n\）天的收盘价构成一个数列\（＼｛a_n\｝＼）。

如果该数列是等差数列，说明股票价格波动相对平稳；如果是
等比数列，且公比大于\（1\），说明股票价格处于上涨趋势；公比小
于\（1\），则说明股票价格处于下跌趋势。

例 3：某股票连续\（5\）天的收盘价分别为\（10\）元、＼（11\）元、＼（12\）元、＼（13\）元、＼（14\）元，判断其价格走势。

解：这组数据构成了一个首项为\（10\），公差为\（1\）的等差数列，说明股票价格在这\（5\）天内呈现稳步上涨的趋势。

（四）分期付款问题
在购买一些价格较高的商品时，商家可能会提供分期付款的方式。

例 4：一台价值\（6000\）元的电脑，商家提供分\（6\）个月等额付款的方式，月利率为\（1%＼），求每月应付款金额。

解：设每月应付款\（x\）元
第一个月后的欠款为\（6000×（1 ＋ 1%） x\）
第二个月后的欠款为\（6000×（1 ＋ 1%） x×（1 ＋ 1%） x ＝6000×（1 ＋ 1%）＾2 x(1 ＋ 1 ＋ 1%）＼）
……
第六个月后的欠款为\（6000×（1 ＋ 1%）＾6 x1 ＋（1 ＋ 1%）＋（1 ＋ 1%）＾2 ＋… ＋（1 ＋ 1%）＾5 ＝ 0\）
解得\（x ≈ 103020\）
六、课堂练习
1、小张将\（5000\）元存入银行，年利率为\（3%＼），存期为\（5\）年，按照复利计算，到期后的本利和是多少？
2、小李贷款\（15\）万元购买汽车，贷款期限为\（5\）年，年利率为\（45%＼），采用等额本息还款法，每月还款多少元？
3、某股票连续\（7\）天的收盘价分别为\（8\）元、＼（9\）元、
＼（10\）元、＼（11\）元、＼（12\）元、＼（13\）元、＼（14\）元，判断其价格走势。

4、一台价值\（8000\）元的空调，商家提供分\（12\）个月等额付
款的方式，月利率为\（08%＼），求每月应付款金额。

七、课堂小结
通过本节课的学习，我们了解了数列在日常经济生活中的广泛应用，包括储蓄、贷款、投资、分期付款等方面。

掌握了利用数列知识解决
经济问题的方法和步骤，能够根据具体情况建立数列模型，并进行相
关的计算和分析。

八、课后作业
1、复习本节课所学内容，整理笔记。

2、完成课本上相关的练习题。

3、思考在日常生活中还有哪些经济现象可以用数列知识来解释和
解决，并与同学交流讨论。