初二下学期平行四边形重难点知识和题型

平行四边形重难点答疑
一、以平行四边形为载体，解决线段、角的数量关系问题
解决该类问题应熟练掌握以下知识
(1)平行四边形的性质和判定.
(2)特殊平行四边形的性质和判定 .
(3)三角形中位线的性质.
(4)三角形全等的性质和判定.
(5)角平分线的性质.
(6)垂直平分线的性质 .
解题方法：运用已知和结论中的 "特殊条件 " 添加辅助线.
例1．如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：PE+PF=AB
变式1、如图，在矩形ABCD中,AD= AB, AE平分∠BAD, DF⊥AE于F, BF交DE、CD于O、H,下列结论:①∠DEA=∠DEC; ②BF=FH; ③OE=OD; ④BC-CH=2EF．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
一、平行四边形中的折叠问题
解决该类问题应熟练掌握以下知识
(1)平行四边形的性质和判定
(2)勾股定理
(4)等边三角形的性质
(5)轴对称图形性质
解题方法：运用方程的思想解决问题
例2.如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG，求OG 的长．
变式2:如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD=8，且△AFD的面积为60，则△DEC的面积为 __________
一、在四边形中探究问题成立的条件
解决该类问题应熟练掌握以下知识
(1)特殊平行四边形的判定
(2)等腰三角形的性质和判定
(3)三角形全等的性质和判定
解题方法:在结论成立的前提下探究条件的存在性
例3. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC 的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
变式3. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交
AC于F，连接DF．
（1）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（2）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，
一、在四边形中的探究和操作问题
解决该类问题应熟练掌握以下知识
(1)平行四边形的性质和判定
(2)两条直线的关系：数量关系位置关系
(3)等腰三角形的性质和判定,
(4)三角形全等的性质和判定
解题方法：充分理解和利用前一问提供的解题思路
例4、分别以平行四边形ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形△ABE，△CDG，△ADF．
（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
变式4、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形．
（1）如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；
（2）如图2,在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC,点A、B、C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形。

课后训练
1.如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )
A．B．C．D．
2.如图2，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH 是矩形，③HF平分∠EHG，④EG= （BC-AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图3，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为 _____时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为_______ 时，四边形AMDN是菱形．
3.如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．
求证：∠ABH=∠CDE．
4.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．。