二建矩阵知识点总结

二建矩阵知识点总结
一、矩阵的定义
矩阵是由$m \times n$个数$a_{ij}$排成的矩形数组，其中$i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n$。

矩阵的元素$a_{ij}$称为矩阵的第i行第j列的元素，常用$A=(a_{ij})_{m \times n}$表示，
其中$m,n$分别为矩阵的行数和列数。

二、矩阵的运算
1. 矩阵的加法：设矩阵$A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则矩阵$A$与
$B$的和$C=A+B$为$C=(c_{ij})_{m \times n},c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。

2. 矩阵的数乘：设矩阵$A=(a_{ij})_{m \times n},k$为常数，则矩阵$A$与常数$k$的乘积
$B=kA$为$B=(b_{ij})_{m \times n},b_{ij}=ka_{ij}$。

3. 矩阵的乘法：设矩阵$A=(a_{ij})_{m \times s},B=(b_{ij})_{s \times n}$，则矩阵$A$与
$B$的乘积$C=A \cdot B$为$C=(c_{ij})_{m \times
n},c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$。

三、矩阵的初等变换
矩阵的初等变换包括三种类型：对调两行、对调两列和行(列)的某个数乘以非零常数加到
另一行(列)上。

通过对矩阵进行初等变换，可以得到矩阵的行阶梯形和行最简形。

四、矩阵的秩
1. 定义：设矩阵$A_{m \times n}$。

如果存在$r$阶行列式$M$，满足：(1)以$A$为系数矩
阵的$r$个行(列)线性无关；(2)以$A$为系数矩阵的$r+1$个行(列)线性相关。

则$r$为矩阵$A$的秩，记为$r(A)$。

2. 性质：(1) $r(A) \leq \min(m,n)$；(2) 矩阵的秩等于其行最简形的非零行数；(3)
$r(A)+r(A^*)=n$，其中$A^*$为$A$的伴随矩阵。

3. 计算：通常采用初等变换将矩阵化为行阶梯形后，直接读出非零行的条数即为矩阵的秩。

五、矩阵的逆
1. 定义：若矩阵$A$是一个$n$阶方阵，且存在$n$阶方阵$B$，满足$AB=BA=E$，其中
$E$为$n$阶单位矩阵，则称$A$是可逆的，并称$B$为$A$的逆矩阵。

2. 计算：对于2阶方阵$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，若$ad-bc \neq 0$，则其逆矩阵为$\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$。

3. 性质：(1) 可逆矩阵的逆矩阵唯一；(2) 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆矩阵；(3) 若矩阵$A,B$都是可逆矩阵，则$AB$也是可逆矩阵，并且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。

4. 判断：对于$n$阶方阵$A$，若$r(A)=n$，则$A$是可逆矩阵，反之亦然。

综上所述，矩阵是数学中一种非常重要的工具，广泛应用与线性代数、数值分析、概率统计等各个领域。

掌握矩阵的定义、运算、初等变换、秩和逆等知识点，有助于二级建造师考生更好地理解和运用矩阵的理论知识，提高解决实际问题的能力。