2015-2016年云南省红河州开远四中高二(下)期中数学试卷和答案

2015-2016学年云南省红河州开远四中高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题包括17小题，每小题3分，共51分．每小题只有一个选项
符合题意.）
1．（3分）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{﹣2，0，1}，则A∩B等于（）A．{0，﹣1}B．{1}C．{0}D．{﹣1，1} 2．（3分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是直径为2的半圆，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）
A．4πB．πC．2πD．3π
3．（3分）函数f（x）＝的定义域为（）
A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）
C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）
4．（3分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SA⊥底面ABCD，且SA＝AD，则异面直线DC与SB所成的角为（）
A．60°B．30°C．45°D．90°
5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lnx B．y＝x2+1C．y＝x3D．y＝2﹣|x|
6．（3分）已知直线的点斜式方程是y﹣2＝（x﹣1），那么此直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
7．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）设a＝log3π，b＝21.1，c＝log3，则（）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 9．（3分）圆x2+y2+4x＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相离C．外切D．相交
10．（3分）根据如下样本数据：
得到了回归方程＝x+，则（）
A．＞0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＜0D．＜0，＞0 11．（3分）在下列区间中，函数f（x）＝2x+x3﹣2的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．（3分）点（0，b）到直线x+y﹣2＝0的距离为，则b等于（）A．0或4B．4C．0D．
13．（3分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容
量为40的样本，则分段的间隔为（）
A．50B．40C．25D．20
14．（3分）高二年级某班有50人，某次数学测验的分数在[50，100]内，现将这次数学测验的分数分成如下5个组：[50，60），[60，70），…，[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，则图中的a值为（）
A．0.032B．0.16C．0.32D．0.016 15．（3分）经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：
则至少3人排队等候的概率是（）
A．0.44B．0.56C．0.86D．0.14
16．（3分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）
A．B．C．D．
17．（3分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数
C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
18．（3分）计算log35+log3＝．
19．（3分）28的二进制数是．
20．（3分）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则
该运动员在这五场比赛中得分的方差为．
21．（3分）若函数f（x）＝（3m﹣1）x m为幂函数，则m等于．22．（3分）直线ax+y＝0与x+ay+1＝0平行，则实数a等于．
三、解答题（本大题共4小题，共34分，其中第23，24，25每小题各4分，
第26题（1）问3分、（2）问7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
23．（8分）某校夏令营有2名男同学A，B和2名女同学X，Y，其年级情况如表：
先从这4名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
24．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、CC1的中点．（1）求证：AE∥平面BFD1．
（2）设正方体棱长为1，求三棱锥C1﹣D1BF的体积．
25．（8分）2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为y＝﹣2x+90．
（1）当x＝40时，求该产品每吨的生产成本；
（2）若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．26．（10分）已知圆C的圆心为（2，3），半径为1．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（0，1）且斜率为k的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2时，求斜率k的值．
2015-2016学年云南省红河州开远四中高二（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括17小题，每小题3分，共51分．每小题只有一个选项
符合题意.）
1．（3分）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{﹣2，0，1}，则A∩B等于（）A．{0，﹣1}B．{1}C．{0}D．{﹣1，1}
【解答】解：∵A＝{﹣1，1}，B＝{﹣2，0，1}，
∴A∩B＝{1}，
故选：B．
2．（3分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是直径为2的半圆，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）
A．4πB．πC．2πD．3π
【解答】解：由三视图可知：该几何体为半球．
∴表面积＝+π×12＝3π．
故选：D．
3．（3分）函数f（x）＝的定义域为（）
A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）
C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）
【解答】解：要使函数有意义需，
解得x＞﹣1且x≠1．
∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．
故选：C．
4．（3分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SA⊥底面ABCD，且SA＝AD，则异面直线DC与SB所成的角为（）
A．60°B．30°C．45°D．90°
【解答】解：由题意DC∥AB，
∴∠SAB等于异面直线DC与SB所成的角．
∵四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SA⊥底面ABCD，且SA＝AD，
∴∠SAB＝45°，
∴异面直线DC与SB所成的角等于45°．
故选：C．
5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝lnx B．y＝x2+1C．y＝x3D．y＝2﹣|x|
【解答】解：A中，函数y＝lnx是非奇非偶函数，不满足条件；
B中，函数y＝x2+1既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件；C中，函数y＝x3是奇函数，不满足条件；
D中，函数y＝2﹣|x|在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件；
故选：B．
6．（3分）已知直线的点斜式方程是y﹣2＝（x﹣1），那么此直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设直线的倾斜角为α．
∵直线的点斜式方程是y﹣2＝（x﹣1），
∴直线的斜率k＝＝tanα．
∵α∈[0，π），
∴．
故选：B．
7．（3分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由程序框图知：第一次循环n＝1，21＞1；
第二次循环n＝2，22＝4．
不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n＝2．
故选：B．
8．（3分）设a＝log3π，b＝21.1，c＝log3，则（）
A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【解答】解：2＞a＝log3π＞1，b＝21.1＞2，c＝log3＝，
∴b＞a＞c．
故选：A．
9．（3分）圆x2+y2+4x＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相离C．外切D．相交
【解答】解：∵x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4的圆心为（﹣2，0），半径为r1＝2，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的圆心为（2，1），半径为r2＝3，
∴两圆的圆心间的距离d＝＝
而半径之差的绝对值|r1﹣r2|＝1．半径之和r1+r2＝5
因此，|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
所以两圆的位置关系是相交．
故选：D．
10．（3分）根据如下样本数据：
得到了回归方程＝x+，则（）
A．＞0，＜0B．＞0，＞0C．＜0，＜0D．＜0，＞0【解答】解：样本平均数＝5.5，＝0.25，
∴＝﹣24.5，＝17.5，∴b＝﹣＝﹣1.4，
∴a＝0.25﹣（﹣1.4）•5.5＝7.95，
故选：A．
11．（3分）在下列区间中，函数f（x）＝2x+x3﹣2的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
【解答】解：∵函数f（x）＝2x+x3﹣2在R上单调递增，
∴f（0）＝1+0﹣2＝﹣1＜0，f（1）＝2+1﹣2＝1＞0，
∴f（0）f（1）＜0．
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝2x+x3﹣2的零点所在的区间是（0，1），故选：B．
12．（3分）点（0，b）到直线x+y﹣2＝0的距离为，则b等于（）A．0或4B．4C．0D．
【解答】解：∵点（0，b）到直线x+y﹣2＝0的距离为，
∴＝，
解得b＝0或b＝4．
故选：A．
13．（3分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）
A．50B．40C．25D．20
【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，
∴样本数据间隔为1000÷40＝25．
故选：C．
14．（3分）高二年级某班有50人，某次数学测验的分数在[50，100]内，现将这次数学测验的分数分成如下5个组：[50，60），[60，70），…，[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，则图中的a值为（）
A．0.032B．0.16C．0.32D．0.016
【解答】解：根据频率和为1，得；
2a×10＝1﹣（0.008+0.032+0.028）×10＝0.32，
a＝0.016．
故选：D．
15．（3分）经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：
则至少3人排队等候的概率是（）
A．0.44B．0.56C．0.86D．0.14
【解答】解：设排队人数至少3个人排队为事件H，并且H＝D+E+F，
∵P（D）＝0.3，P（E）＝0.1，P（F）＝0.04，
∴P（H）＝P（D+E+F）＝P（D）+P（E）+P（F）＝0.3+0.1+0.04＝0.44，
16．（3分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，
则﹣2≤X≤3，
则X≤1的概率P＝，
故选：B．
17．（3分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）
A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数
C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）
【解答】解：f（x）＝，则其图象为，
由图象可知，图象为不是偶函数也不是奇函数，在（﹣∞，0]上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，也不是周期函数，值域为[﹣1，+∞）
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
18．（3分）计算log35+log3＝2．
【解答】解：log35+log3＝log3（5×）＝log39＝2，
19．（3分）28的二进制数是11100（2）．【解答】解：28÷2＝14 0
14÷2＝7 0
7÷2＝3 (1)
3÷2＝1 (1)
1÷2＝0 (1)
故28
（10）＝11100
（2）
．
故答案为：11100
（2）
．
20．（3分）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8．
【解答】解：∵根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15
这组数据的平均数是＝11
∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]＝[9+4+1+4+16]＝6.8
故答案为：6.8．
21．（3分）若函数f（x）＝（3m﹣1）x m为幂函数，则m等于．
【解答】解：若函数f（x）＝（3m﹣1）x m为幂函数，
则3m﹣1＝1，解得：m＝，
故答案为：．
22．（3分）直线ax+y＝0与x+ay+1＝0平行，则实数a等于±1．
【解答】解：因为直线ax+y＝0与x+ay+1＝0平行，
所以必有，
解得a＝±1．
故答案为：±1．
三、解答题（本大题共4小题，共34分，其中第23，24，25每小题各4分，
第26题（1）问3分、（2）问7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
23．（8分）某校夏令营有2名男同学A，B和2名女同学X，Y，其年级情况如表：
先从这4名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；
（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
【解答】解：（1）所有可能的结果为（A，B），（A，X），（A，Y），（B，X），（B，Y），（X，Y），共6种．
（2）由（1）可知满足事件M的所有可能的结果为（A，Y），（B，X），共2种，所以事件M发生的概率．
24．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、CC1的中点．（1）求证：AE∥平面BFD1．
（2）设正方体棱长为1，求三棱锥C1﹣D1BF的体积．
【解答】（1）证明：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，
∵E、F分别为DD1、CC1的中点，∴EF∥CD，EF＝CD，
又CD∥AB，CD＝AB，
∴EF∥AB，EF＝AB，则四边形ABFE为平行四边形，
∴AE∥BF，
又AE⊄平面BFD1，BF⊂平面BFD1，
∴AE∥平面BFD1 ；
（2）解：∵BC⊥平面C1D1F，且正方体棱长为1，
∴＝．
25．（8分）2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为y＝﹣2x+90．
（1）当x＝40时，求该产品每吨的生产成本；
（2）若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．【解答】解：（1）该产品每吨的生产成本＝+﹣2，
当x＝40时，＝﹣2＝4.25万元；
（2）L＝6x﹣（﹣2x+90）＝﹣0.1（x﹣40）2+70，
∴x＝40万元时，最大利润为70万元．
26．（10分）已知圆C的圆心为（2，3），半径为1．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（0，1）且斜率为k的直线l与圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2时，求斜率k的值．
【解答】解：（1）由题意可知（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）由（1）可知
联立方程得则有（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7＝0，△＝﹣3k2+8k ﹣3＞0
所以①②
因为|AB|＝2
所以③
由①②③可得k＝1．。