辽宁师大附中2018学年高二下学期期末数学试卷理科 含

2018-2018学年辽宁师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，集合B={m，n}，若A∩B={0}，则m+n=（）A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）
A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i
3．已知二次函数f（x）=ax2+bx，则“f（2）≥0”是“函数f（x）在（1，+∞）单调递增”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．设函数f（x）=，则f（﹣8）+f（lg40）=（）
A．5 B．6 C．9 D．22
5．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
6．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或，则f（e x）＞0的解集为
（）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣ln3}B．{x|﹣1＜x＜﹣ln3}
C．{x|x＞﹣ln3}D．{x|x＜﹣ln3}
7．下列命题：
①“若a≤b，则a＜b”的否命题；
②“若a=1，则ax2﹣x+3≥0的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题序号为（）
A．②④B．①②③ C．②③④ D．①②③④
8．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？（）
A．1326 B．510 C．429 D．336
9．（﹣）12的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）
A．1 B．3 C．2 D．4
10．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进
行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）
A．1﹣B．C．1﹣D．
11．已知定义在R上的函数f（x）为单调函数，且对任意x∈R，恒有f（f（x）﹣2x）=﹣，
则函数f（x）的零点是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相
交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X
轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）
A．16B．8C．8 D．4
二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
13．设α∈{﹣1，1，2，， }，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值组
成的集合为______．
14．用五种不同的颜色给图中编号为1﹣6的六个长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域不同色，则共有______种不同的涂色方案．
15．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是______．
16．已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，有＞0成立，给出四个命题：
①f（3）=1；
②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为______．（请将正确的序号都填上）
三.选做题：请考生在二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4坐标系与参数方程]
17．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ﹣2ρsin θ﹣
3=0．
（1）求直线l 的极坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |．
[选修4-5）不等式选讲]
18．已知函数f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，不等式f （x ）＞2的解集为（2，4）． （1）求实数m 的值；
（2）若关于x 的不等式|x ﹣a |≥f （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．
四.解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤） 19．某中学根据2018﹣2018年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2018年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m ，
，n ，已知三个社团他都能进入的概率为
，至少进入一个社团的概率为，且m ＞n ．
（1）求m 与n 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．
20．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y=8，圆C 的参数方程是（φ为
参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；
（2）射线OM ：θ=α（其中）与圆C 交于O 、P 两点，与直线l 交于点M ，射线
ON ：
与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点N ，求
的最大值．
21．甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；
（3）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校
参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．
22．已知函数f（x）=，（其中m、n为参数）．
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）如果m=1，n=2，判断f（x）的单调性并给予证明．
（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（）＜0的解集．
23．已知a∈R，设函数f（x）=x|x﹣a|﹣x．
（Ⅰ）若a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a≤1，对于任意的x∈[0，t]，不等式﹣1≤f（x）≤6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值．
2018-2018学年辽宁师大附中高二（下）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，集合B={m，n}，若A∩B={0}，则m+n=（）A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】交集及其运算．
【分析】根据A∩B={0}，得出log7m=0，求出m的值，从而得出n的值，再求出m+n的值．【解答】解：根据A={2，log7m}，B={m，n}，且A∩B={0}，
得log7m=0，解得m=1；
∴n=0，
∴m+n=1+0=1．
故选：A．
2．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）
A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，
b∈R）的形式．
【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．
∴==，
则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，
故选D
3．已知二次函数f（x）=ax2+bx，则“f（2）≥0”是“函数f（x）在（1，+∞）单调递增”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】当a＜0时，，对应的抛物线开口向下，可推得函数f（x）在（1，+∞）
单调递减，即不能由f（2）≥0，推得函数f（x）在（1，+∞）单调递增；但可由函数f（x）在（1，+∞）单调递增推得f（2）≥0，由充要条件的定义可得答案．
【解答】解：二次函数f（x）=ax2+bx必过原点，由f（2）≥0得，4a+2b≥0，
当a＞0时，，对应的抛物线开口向上，可推得函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
但当a＜0时，≥1，对应的抛物线开口向下，可推得函数f（x）在（1，+∞）上不单
调．
故不能由f（2）≥0，推得函数f（x）在（1，+∞）单调递增．
反之，若函数f（x）在（1，+∞）单调递增，则必有a＞0，
由数形结合可知，对称轴x=，即可得﹣b≤2a，即4a+2b≥0，即f（2）≥0，
故由充要条件的定义可知，f（2）≥0是函数f（x）在（1，+∞）单调递增的必要不充分条件．
故选C．
4．设函数f（x）=，则f（﹣8）+f（lg40）=（）
A．5 B．6 C．9 D．22
【考点】分段函数的应用．
【分析】利用分段函数，逐步求解函数值即可．
【解答】解：函数，则f（﹣8）+f（lg40）=1+lg（2+8）+10
（lg40﹣1）=2+4=6．
故选：B．
5．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【考点】不等式比较大小．
【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系
【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8=20.8，1.2＞0.8＞0，
∴a＞b＞20=1．
再由c=2log52=log54＜log55=1，
可得a＞b＞c，
故选A．
6．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或，则f（e x）＞0的解集为
（）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣ln3}B．{x|﹣1＜x＜﹣ln3}
C．{x|x＞﹣ln3}D．{x|x＜﹣ln3}
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出f（x）的解析式；
再利用解析式把不等式f（e x）＞0转化，求出它的解集即可．
【解答】解：∵一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，
∴﹣1和是方程x2+ax+b=0的两个实数根，
∴a=﹣（﹣1+）=，
b=﹣1×=﹣，
∴f（x）=﹣（x2+x﹣）=﹣x2﹣x+；
∴不等式f（e x）＞0可化为
e2x+e x﹣＜0，
解得﹣1＜e x＜，
即x＜ln，
∴x＜﹣ln3，
即f（e x）＞0的解集为{x|x＜﹣ln3}．
故选：D．
7．下列命题：
①“若a≤b，则a＜b”的否命题；
②“若a=1，则ax2﹣x+3≥0的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题序号为（）
A．②④B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【考点】四种命题．
【分析】根据四种命题的相互转化，和真假等价关系即可判断．
【解答】解：对于①，逆命题为真，故否命题为真；
对于②“若a=1，则ax2﹣x+3≥0的解集为R”原命题为真，故逆否命题为真；
对于③“面积相等的圆周长相同”为真；
对于④“若为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．
故选：B．
8．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？（）
A．1326 B．510 C．429 D．336
【考点】数列的求和．
【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数．
【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，
化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510．
故选：B．
9．（﹣）12的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）
A．1 B．3 C．2 D．4
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由（﹣）12的展开式的通项为T r+1=，结合条件可知，6
﹣r是正整数，可求r．
【解答】解：∵（﹣）12的展开式的通项为T r+1=
由题意可得，6﹣r是正整数，
∴r=0或r=2符合题意，共有2项
故选C．
10．已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进
行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）
A．1﹣B．C．1﹣D．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】作出图形，以长度为测度，即可求出概率．
【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，
O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥
AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．
故选：A．
11．已知定义在R上的函数f（x）为单调函数，且对任意x∈R，恒有f（f（x）﹣2x）=﹣，
则函数f（x）的零点是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】函数的零点．
【分析】运用换元法转化求解a=f（x）﹣2x，f（a）=，2a+a=﹣，求出a的值即可求出f（x）的解析式，再求出零点即可．
【解答】解：f（f（x）﹣2x）=﹣，
设a=f（x）﹣2x，
则f（x）=2x+a，
∴f（a）=，
2a+a=﹣，
解得：a=﹣1
所以f（x）=2x﹣1，
当f（x）=时0，x=0，
函数f（x）的零点是0，
故选：B
12．已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X
轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）
A．16B．8C．8 D．4
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用；平行投影及平行投影作图法．
【分析】设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，依题意可求得为x A，x B，x C，x D的值，a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，利用基本不等式可求得当m变化时，的最小值．【解答】解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为x A，x B，x C，x D，
则﹣log2x A=m，log2x B=m；﹣log2x C=，log2x D=；
∴x A=2﹣m，x B=2m，x C=，x D=．
∴a=|x A﹣x C|，b=|x B﹣x D|，
∴==||=2m•=．
又m＞0，∴m+=（2m+1）+﹣≥2﹣=（当且仅当m=时取“=”）
∴≥=8．
故选B．
二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）
13．设α∈{﹣1，1，2，， }，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值组
成的集合为{1，}．
【考点】幂函数的性质．
【分析】验证α=﹣1，1，2，，时，是否满足函数y=xα的定义域为R且为奇函数即可．
【解答】解：∵α∈{﹣1，1，2，， }，
∴当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不满足题意；
当α=1时，函数y=x的定义域为R且为奇函数，满足题意；
当α=2时，函数y=x2是偶函数，不满足题意；
当α=时，函数y=的定义域为R且为奇函数，满足题意；
当α=时，函数y=的定义域为[0，+∞），不满足题意；
综上，使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为：1，；
故答案为：．
14．用五种不同的颜色给图中编号为1﹣6的六个长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域不同色，则共有1180种不同的涂色方案．
【考点】计数原理的应用．
【分析】由题意可分三类，根据分类计数原理可得．
【解答】解：从6个区域人选5个区域有（1，2，3，4，5），（1，2，3，4，6），（1，2，3，5，6），（1，2，4，5，6），（1，3，4，5，6），（2，3，4，5，6），共6种，
若（1，2，3，4，5），（2，3，4，5，6）各涂一色，则剩下的一个区域有4种涂法，共有
A55A41=480种，
若（1，2，3，5，6），（1，2，4，5，6），（1，3，4，5，6），各涂一色，则剩下的一个区域有3种涂法，共有A55A31=360种，
若（1，2，3，4，6）各涂一色，则剩下的一个区域有2种涂法，共有A55A21=240种，
故共有480+360+240=1180种，
故答案为：1180．
15．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是丙．
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】利用反证法，即可得出结论．
【解答】解：假设丙说的是假话，即甲得优秀，则乙也是假话，不成立；
假设乙说的是假话，即乙没有得优秀，又甲没有得优秀，故丙得优秀；
故答案为：丙．
16．已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，有＞0成立，给出四个命题：
①f（3）=1；
②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为②④．（请将正确的序号都填上）
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】①令x=﹣3，由偶函数的定义，可得f（3）=0，即可判断；
②由于函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，可得f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），即可判断；
③由条件可得y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，再由偶函数和周期性，即可判断；
④先判断方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，即可判断．
【解答】解：对于①：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），∴f（3）=0，故①错；
对于②：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，
∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x），
∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即②正确；
对于③：∵当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有＞0成立，
∴y=f（x）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f（x）是偶函数，
∴y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴y=f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故③错误．
对于④：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f （﹣3）=0，
∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），
∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故④正确．
故答案为：②④
三.选做题：请考生在二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4坐标系与参数方程]
17．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．
【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得
到直线l的极坐标方程；
（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．
【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x
∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，
因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；…
（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0
∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．…
[选修4-5）不等式选讲]
18．已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．
（1）求实数m的值；
（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．
【分析】（1）问题转化为5﹣m＜x＜m+1，从而得到5﹣m=2且m+1=4，基础即可；（2）问题转化为|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a的范围即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=m﹣|x﹣3|，
∴不等式f（x）＞2，即m﹣|x﹣3|＞2，
∴5﹣m＜x＜m+1，
而不等式f（x）＞2的解集为（2，4），
∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；
（2）关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立
⇔关于x的不等式|x﹣a|≥3﹣|x﹣3|恒成立
⇔|x﹣a|+|x﹣3|≥3恒成立
⇔|a﹣3|≥3恒成立，
由a﹣3≥3或a﹣3≤﹣3，
解得：a≥6或a≤0．
四.解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）19．某中学根据2018﹣2018年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核远拔进入这三个社团成功与否相互独立，2018年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为m，
，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．
（1）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修字分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课字分分数的分布列及期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）根据假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率
依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，
且m＞n，建立方程组，即可求m与n的值；
（2）确定学分X的可能取值，求出相应的概率，可得X的分布列与数学期望
【解答】解：（1）由题意，，m＞n
∴m=，n=；
（2）学分X的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，则
P（X=0）=，P（X=1）=×=，P（X=2）=×=，P（X=3）=
+×=，
P（X=4）=×=，P（X=5）==，P（X=6）=．
期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×+6×=．
20．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为
参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线
ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）由直线的直角坐标方程能求出直线l的极坐标方程，由圆C的参数方程，能求出圆C的普通方程，从而能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）求出点P，M的极坐标，从而=，=，由此能
求出•的最大值是．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的方程是y=8，∴直线l的极坐标方程是ρsinθ=8．
∵圆C的参数方程是（φ为参数），
∴圆C的普通方程分别是x2+（y﹣2）2=4，
即x2+y2﹣4y=0，
∴圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．…．
（Ⅱ）依题意得，点P，M的极坐标分别为和，
∴|OP|=4sinα，|OM|=，
从而==．
同理，=．
∴==，
故当时，•的值最大，该最大值是．…
21．甲、乙两所学校高三年级分别有600人，500人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；
（3）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，现从已抽取的110人中抽取两人，要求每校1
参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．
【分析】（1）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；（2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异；
（3）设两校各取一人，有人优秀为事件A，乙校学生不优秀为事件B，根据条件概率，可得结论．
【解答】解：（1）从甲校抽取110×=60（人），
从乙校抽取110×=50（人），故x=9，y=6；
k2=，
故有90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异；
（3）设两校各取一人，有人优秀为事件A，乙校学生不优秀为事件B，根据条件概率，则
所求事件的概率=．
22．已知函数f（x）=，（其中m、n为参数）．
（1）当m=n=1时，证明：f（x）不是奇函数；
（2）如果m=1，n=2，判断f（x）的单调性并给予证明．
（3）在（2）的条件下，求不等式f（f（x））+f（）＜0的解集．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）当m=1，n=1时，函数f（x）=，可得f（﹣x）≠﹣f（x），从而得出
结论．
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，根据f（x1）﹣f（x2）＞0，可得函数f（x）在R上单调递减．
（3）不等式即f（f（x））＜﹣f（）=f（﹣），结合函数f（x）在R上单调递减，可得
f（x）＞﹣，即得2x＜3，由此求得x的范围．
【解答】解：（1）证明：当m=1，n=1时，函数f（x）==，
f（﹣x）==，显然，f（﹣x）≠﹣f（x），
∵m=1，n=1时，函数f（x）不是奇函数．
（2）由m=1，n=2，得函数f（x）===（﹣1+），
设x1，x2∈R，则f（x）在R上递减．
下面给予证明：
设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，∵
=＞0，
所以，函数f（x）在R上单调递减．
（3）由m=1，n=2时，f（x）=，满足f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）是奇函数．
又∵f（f（x））+f（）＜0，∴f（f（x））＜﹣f（）=f（﹣）．
∵函数f（x）在R上单调递减，∴f（x）＞﹣，求得2x＜3，x＜log23，
即f（x）＞0 的解集为（﹣∞，log23）．
23．已知a∈R，设函数f（x）=x|x﹣a|﹣x．
（Ⅰ）若a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a≤1，对于任意的x∈[0，t]，不等式﹣1≤f（x）≤6恒成立，求实数t的最大值及此时a的值．
【考点】函数恒成立问题；函数的单调性及单调区间．
【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，然后分x＜1和x≥1写出分段函数，结合二次函数的解析式求得函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分x＜a和x≥a写出分段函数，然后对a≤﹣1，﹣1＜a≤0，0＜a≤1分类求出函数f （x）的最小值和最大值，由﹣1≤f（x）≤6求得t的最大值及a的值．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，
函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（Ⅱ）
①当a≤﹣1时，，f（x）在[0，t]单调递增，f（x）min=f（0）=0，
，
由题意得f（x）max≤6，即t2﹣（a+1）t≤6，
解得，
令m=﹣（a+1）≥0，在[0，+∞）单调递减，
∴，即当a=﹣1时，．
②当﹣1＜a≤0时，，f（x）在单调递减，
在单调递增，，
满足f（x）min≥﹣1，，由题意得f（x）max≤6，
即t2﹣（a+1）t≤6，解得，
令m=a+1＞0，在（0，1]单调递增，
∴h（m）max=h（1）=3，即当a=0时，t max=3．
③当0＜a≤1时，，f（x）在单调递减，
在单调递增，，
满足f（x）min≥﹣1，，由题意得f（x）max≤6，
即t2﹣（a+1）t≤6，解得，
同②得在（1，2]单调递增，
∴，即当a=1时，，
综上所述，，此时a=1．
2018年9月26日。