2012年杭州市高三数学复习研讨活动资料：高...

(x R)
3. y 1 sin 2x 3 , (x R)
2
2
4. y 1 sin 2x 3 cos 2x, (x R)
2
2
4.
y 1 sin 2x 2
3 cos 2x, (x R) 2
5. y 1 sin 2x 3 cos2 x 3 , (x R)
2
2
6. y 1 sin 2x 3 (2 cos2 x 1), (x R)
从向量的角度看， 余弦定理是数量积的另一种表示
ab a2 b2 c2 2
是同一事物的不同表现，其本质是由两种不同 的数学结构所造成．
2．3 寻求题根
• 所谓题根就是一个题族的根祖，一个题 系中的根基，一个题群中的代表．抓到 题根，就抓住了知识主干，就能举一反 三，通过做一道题而会一类题，高考复 习就能起到事半功倍的效果．
只有理解了数学问题的内核，理清了知识的 内部联系，才能透过现象看本质，把题目的 结果看出来．
（2010全国课标卷9）． 常规解法
结果可以看出来
看出结果的机理：三角函数线 三角函数线是三角函数内容的根之所在
结论1：只有理解问题的本质， 才能看出问题的结果。
1．2解题思路的简约
• 基础数学的本质都是精简朴实的，它们 的根源都是自然而富有直观的内涵．表 面看数学内容纷繁芜杂，但内核的东西 却简约明了．
“法”之 所在
2．1 立足学科
• 站在学科的高度让知识成为整体．一个数 学问题，就数学的某一知识点或某一模块 而言，可能很难解决．一旦站在学科整体 的高度，就会迎刃而解．它们之间的联系 也就一目了然，也就看出了问题的结果．
•数学史：三角函数曾经被称为“圆函数”． •课标：单位圆应贯穿三角函数教学始终.
（2000全国高考）
题根
已知函数 y 1 cos2 x
2
3 2
sin
x
cos
x
1(
x
R, )
求函数y的最大值，并求此时x的值.
此题根的核心是降次、合一
此题的来龙 研究题根需要考虑三个问题 此题的去脉
各年的考法
此题的来龙
问题：求下列函数的最大最小值
1. y sin x (x R)
2.
y 1 sin 2x 2
忽略了
,
隐含条件
孤立看，无懈可击
结果可以看出来：
• 从方程的角度看，两个方程，三个未知 数，虽解不出具体的三边，但其中一个 了可以用另外两个量表示——即三边的 比值关系是可以求出——由余弦定理可 知三个角是可以求出的。所以sinB+sinC 是一个确定的值。
• 从角的角度分析：
三个方程三个未知数，所以三角形的形 状是确定的。
单调区间 奇偶性 确定周期
各年的考法
(2004高考)
已知函数 f (x) cos4 x 2 3 sin x cos x sin 4 x (1)求f (x)的最小正周期； (2)求f (x)的最小值
（2005浙江）
已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x． 求f( )的值；
4
2006重庆 （2007湖南理）
2010浙江理11．
考察周期
2011浙江文（18）
考察周期
结论3：课标下的浙江高考试题 对三角函数的考察与课标定位是一致• 两者的联系
图6
猜想：这个图一定会出一个好的高考题。
三角恒等变换
• 三角恒等变换位于三角函数与数学变换 的结合点上，三角恒等变换与代数恒等 变换既有相同之处又有各自特点．
• 高考复习只有到达“把题目的结果看出来” 的境界，才能在考场上随心所欲，向所披 靡．
口号： 把题目的结果 “看”出来！
谢谢倾听，敬请指导
2 1 cos AcosC 5
答案： 4
5
• 技术要领之1——数形结合 • 技术要领之2——归纳类比 • 技术要领之3——特殊赋值 • 技术要领之4——正难则反 • 技术要领之5—— ●●● ●●●
• ●●● ●●●
应考 之“术”
看出结果的方法技巧很多， 关键是解决：会不会？对不对？快不快？
• 考场如战场，知识的多寡，能力的高下， 心态的好坏，决定着考试的结果．
结论4：重要的题型不怕重复
三、把题目结果看出来的 应考之术
• 数学考试要做到“准、快、灵”， 是“把题目结果看出来”的外在表 现．
3．1技术要领之——数形结合
(2011陕西理6)．
B
3．2技术要领之——归纳类比
[类比] 可以过 原点作切线， 再证明之.
3．3技术要领之——特殊赋值
例、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．若 a、b、c 成等差数 列，则
(1)边长为1的菱形的面积等于任意一个角的 正弦， S=sinA，或者S=sinB
(2)特殊地，单位边长正方形面积S=sin90=1
(3)一般地，平行四边形的面积为s=absinC
(4)将平行四边形分成等面积的两个三角形， 因此三角形的面积为 S 1 absin C
2
图9
图10
图11
图12
余弦定理的本质是边上的投影
cos( ) cos cos sin sin
三角变换的基石
2010四川理（19）
久违的课本题目 高考中的课本题一定是学科支撑基石
• 思考：如果还考课本题，哪个最可能？
2011陕西18 叙述并证明余弦定理．
•《中数参2011.10》吴晓英巨申文 •“为叙述并证明余弦定理成为高考题教好”
第一，试题实现了高考命题的突破，导向正确：用 课本原题。 第二，此题能够从多个角度检测学生素质，有教好 区分度 第三，为高考复习指明方向，有利于减负
(2008山东)
(2009山东理) (2010湖北卷)
(2011福建)
此题型前几年是大热门，2011年降次合 一的题型有所淡化，可以猜想2012年也 不是高考热点
但该题型具有良好的教学功效，是综合 三角函数的图像和性质，三角恒等变换 的良好素材，并可以融入三角测量的知 识和其他的内容。所以依旧是教学重点 之一
(2)若k=2,记∠xOA=α，∠xOB=β，求sin(α+β)
解(2)sin(α+β) = sin cos cos sin = y1x2 x1 y2
24 x1x2 m(x1 x2 )
y A
O B
x C
（第19题）
(2010全国Ⅰ卷6）
2．2 抓住主干
• 《考试说明》：“高考数学试题对数学 基础基础知识的考察，既要全面又要突 出重点，对支撑学科知识体系的重点内 容，要占用大量的比例，构成数学试卷 的主体，注重学科的内在联系和知识的 综合性” ．
• 教材：用单位圆定义三角函数.
•项武义：从本质上讲正弦、余弦函数是一 对源于圆周运动，密切配合的周期函数．
(2009杭州市二模)
如图，锐角内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，
AB所在直线方程为y=kx+m.（难度0.29）
(1)若 3k
a2
2ac ,求
c2 b2
c os2
AC 2
sin 2B
把题目的结果看出来，解题思路、解题过 程一定是简约的．即排除了中间诸多的干 扰环节．
求满足条件AB 2, AC 2BC的三角形面积 的最大值?
（2010 浙江省高考）已知平面向量, ( 0, )
满足 1 ，且 与 的夹角为 120°，则 的取
值范围是________ .
B
• 解题思维品质： • 第一层次：条件直接使用，关注表面关系。 • 第二层次：想到可能有隐含关系，自觉防
错，形成理性； • 第三层次：由守转攻，将理性思维优化成
“直觉上的显然”。
结论2：只有形成第三层次的思维品质， 才能将问题的结果看出来
二、把题目结果看出来的 教学之法
• 立足学科 • 抓住主干 • 寻求题根
一、把题目结果看出来的 教育之道
数学理解的精准 解题过程的简约 思维品质的优化
“道”之 所在
• “把题目的结果看出来”顺应了以能力立 意的高考命题原则；体现了“多一点想 的，少一点算的”命题理念．
1．1数学理解的精准
• 强调把题目的结果看出来，不是为了投机 取巧，不是追求高难度的解题技巧，而是 追求对数学的理解．
cos A cos C
．
1 cos A cos C
【解析】解法一：取特殊值 a＝3, b＝4, c＝5 ,则 cosA＝ 4 , cosC＝0,
5
cos A cosC 4 ．
1 cos AcosC 5
解法二：取特殊角 A＝B＝C＝600 cosA＝cosC＝ 1 , cos A cosC 4 ．
a b cosC c cosB
解方程组 b a cosC c cos A c b cos A a cosB
cos
A
b2
c2 2bc
a2
图13
从三角形全等的角度看， SSS的几何意义是三角形三边的边长唯一确 定了它的三个内角．即内角是边长的函数
从勾股定理的角度看， 余弦定理是勾股定理的推广
60
粗浅的理解 深刻的理解
繁复的过程O 简洁的过程
A
1．3思维品质的优化
• 以能力立意的高考命题原则，对知识的 考查侧重于理解和应用，尤其是综合和 灵活的应用，从而检测出考生个体理性 思维的广度和深度．
为了把数学结果看出来，必需对数学内涵 及其蕴含的思想方法有一种直观、直觉、 迅速的理解，借助直觉思维或逻辑的推理 达成对数学本质的认知．
•《中数参2011.10》吴晓英巨申文 •“为叙述并证明余弦定理成为高考题教好”
个人观点：这篇文章只讲了些表面 现象，没能指出本质所在。
他这三点，随便评价哪道课本题都成立？ 应该考虑，比如：为什么不考正弦？—— 要从学科的基桩去分析
三角测量
• 正弦定理 • 余弦定理 • 面积公式
下面对这部分内容从学科基桩的角度做一 番返璞归真的探究
三角函数主干知识
• 三角函数 • 三角变换 • 三角测量
课标对三角函数的定位
三角函数是基本初函数，它是描述 周期现象的重要数学模型，在数学和其 他领域中具有重要的作用.在本模块中， 通过实例，学习三角函数及其基本性质， 体会三角函数在解决具有周期变化规律 的问题中的作用.
课标下的高考题 2009浙江文10理8．
2
2
7. y sin x cos x 3 sin 2 x 3 , (x R)
2
8. 已知a (sin x, 3 ), b (cos x, cos 2x)
2
设f (x) ab
此题的去脉
对称周，对称中心
平移
指定区间求最值 借助向量表达
题根
画出图像（五点作图） 根据图像确定解析式 根据周期确定解析式
三角函数复习研究
高考复习的境界： 把题目的结果看出来
杭州市长征中学 朱成万
引子
• 观点1：三角属基础题，容易题，中档题 • 观点2：三角已经没什么可研究了 • 观点3：三角题目要求学生拿满分
思考：三角函数的复习怎样才算到位了呢？
把题目的结果看出来
• “一秒钟看清本质的人和花一辈子也看不 清一件事本质的人，自然是不一样的命 运”．（电影《教父》中一句台词）．
• 由于三角函数式的差异不仅表现在其结 构形式上，而且还表现在角及其函数类 型上，因此三角恒等变换有着自身的特 点
三角恒等变换分为三类
• 第一类：三角函数本身蕴涵的恒等关系
sin x sin(x 2k )
• 第二类：边角关系中蕴涵的恒等关系
sin 2 x cos2 x 1
• 第三类：三角函数运算中蕴涵的恒等关系