旧设备租赁的周期预防维护策略优化

旧设备租赁的周期预防维护策略优化
董克;吕文元
【摘要】For the lease of the used equipment with certain past age , a periodic preventive maintenance strategy is presented in this
research .Several factors that influence the cost of maintenance , including the equipment's age, preventive maintenance , minimal repair and punishment mechanism , are considered . Under this maintenance scheme , a mathematical model based on the expected total cost of the lessor is es-tablished , and the optimal maintenance policies are derived such that the expected total cost is minimized . Finally, in a case study, the numerical example shows that the method is effective and easy to operate in practice.%针对具有一定年龄的旧设备租赁的特殊性，提出周期预防维护策略。

该策略综合考虑设备的年龄、预防维护、小修以及惩罚机制等多种因素对成本的影响，建立以出租方维护成本最小化为目标的周期预防维护模型。

经算例分析，研究表明，该方法是有效的，并且在实际维护过程中是易于操作的。

【期刊名称】《工业工程》
【年(卷),期】2015(000)005
【总页数】6页(P14-19)
【关键词】设备租赁;预防维护;小修;惩罚成本
【作者】董克;吕文元
【作者单位】上海理工大学管理学院，上海200093; 安徽广播电视大学公共基础部，安徽合肥230022;上海理工大学管理学院，上海200093
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
随着科技的进步，设备的淘汰速度越来越快，维修已不再是企业的核心活动［1］。

由于企业持有设备的成本不断增加，因此更多的企业选择租赁设备从事生产活动，而不是购买设备，并且将设备的日常维护工作完全转移给出租方，由出租方提供设备的日常维护工作。

通常情况下，租赁设备的维护活动主要有两类:事后维修和预防维护。

事后维修是
指在设备发生故障后，修复设备至运行状态，而预防维护是指提升租赁设备的运行状况，减少设备发生故障的可能性。

关于维护策略的综述文章有文献［2-4］。

在实际应用中，当设备出现故障时，小修［5-6］是最常用的事后维修方法。

它是指当设备发生故障时，将其修复至运行状态，但是设备的故障率没有发生变化，也称为修复如旧。

出租方通过对设备进行预防维护来减少设备的故障，以达到最小化期望总成本的目的，但预防维护成本应少于设备的故障维修成本。

许多学者对租赁设备的优化问题做了研究，Jaturonnatee等［7］研究了租赁设
备的最优顺序预防维护策略，通过在租赁期L内优化2k+1个参数，使出租方获得的期望总成本最小。

Pongpech等［8］在文献［7］的基础上，研究了在租赁期
L内，固定预防维护时间间隔T的情况下，对设备进行预防维护，每次预防维护后设备的故障强度减小δj，通过优化参数T、δ1、δ2、…、δk的值，使得出租方的期望总成本达到最小。

Yeh等［9］研究了在租赁期L内，固定维修强度δ ，通过优化 k+1 个参数δ、T1、T2、…、Tk，使得出租方的期望总成本最小的策略。

Yeh等［10］在设备租赁的前提下，假定设备的失效率和寿命分布均服从威布尔
分布，研究了基于失效率函数的周期性预防维护模型。

Yeh等［11-12］还分别采用故障率阈值与寿命阈值建模方法，对租赁设备的维修策略进行了研究，租赁设备只有在其可靠性指标达到某一固定阈值时，才进行预防维护，而每次预防维护的时间是不定的，因此，得到的为租赁设备的顺序预防维护策略。

Cheng等［13］研究了基于故障率减少方法，对初始执行时间进行延迟的周期预防维护模型，所得到的结果比原来的故障率减少周期预防维护模型要好。

金琳等［14］研究了以出租
方维修成本最小为目标的等周期和变周期相结合的多阶段预防维护模型。

目前关于租赁设备的研究，主要集中在新设备的租赁研究方面。

在全球提倡环境保护和重复利用的观念下，研究具有一定使用年龄旧设备的租赁是非常有必要的。

事实上，对于旧设备的租赁研究很少。

Chattopadhyay等［15］研究了二手产品在免费更换或者按比例保修情况下的期望保修成本模型，但没有考虑预防维护。

Pongpech等［16］研究了在租赁前对设备进行升级，在租赁过程中，对设备进
行预防维护以减少设备的故障成本，但此模型中有2k+2个参数需要进行优化，并且预防维护时间间隔不相等，在实际应用中不易操作。

Yeh等［17］提出了2个
等间隔期的维修模型，但是并没有考虑惩罚成本。

对于旧设备租赁来说，惩罚成本也是可能存在的。

针对以上问题，文中提出了一种针对具有一定使用年龄的旧设备租赁的周期预防维护策略。

它考虑了设备的已使用年龄，在租赁期内，当设备发生故障时，进行小修，从而产生维修成本，以及故障惩罚成本。

同时，为了减少故障的发生，又对设备进行周期预防维护，从而将会产生预防维护成本。

综合考虑以上因素，从出租方角度建立数学模型，从而对出租方成本进行最优化。

当模型中的某些参数取特定值时，模型将退化为已有的模型，使得前人的一些研究成为文中的特例。

最后给出了算例，研究结果表明该方法的有效性，并对模型中的参数对最优策略的影响进行了分析。

1 问题描述
越来越多的生产企业选择租赁设备，而不是自主购买设备，出租方出租设备的同时，还要负责设备的日常维护工作。

作为出租方，在完成一个阶段的设备租赁之后，若设备仍然可以使用，那么从环境保护和利益最大化的角度而言，出租方会依然将旧设备租赁出去以获取利益。

作为承租方，当选取租赁旧设备时，他们更关心设备的运行可靠性，如果设备发生故障，且无法在规定时间内完成修复工作，将对企业的生产经营活动造成一定程度的影响和可能的经济损失。

为了弥补设备故障可能给承租方带来的经济损失，在此考虑以下2类惩罚成本。

惩罚成本①:在租赁期L内，当维修时间Y超过规定的时间τ之后，将产生惩罚成
本(Y－τ)Ct。

在规定时间τ内将不产生惩罚成本。

惩罚成本②:在租赁期L内，每一次故障的发生都将产生惩罚成本。

从出租方的角度而言，故障将会带来惩罚成本，同时故障维修将会产生成本。

若采取预防维护，在产生预防维护成本的同时，将会使得故障率减少，从而减少故障维修成本以及故障惩罚成本。

如何在它们之间做出一个权衡，来获得最小的期望总成本，是设备出租方最关心问题。

2 基本模型
2.1 符号说明
λ0(t)为没有预防维护(preventive maintenance，PM)时设备的故障强度函
数;Λ0(t)为没有PM时设备的累积故障强度函数;λ(t)为有PM时设备的故障强度函数;Λ(t)为有PM时设备的累积故障强度函数;N(t)为(0，t］时间内设备发生故障的
次数;G(y)为设备发生故障后，故障小修时间的分布函数;T为周期预防维护的时间
间隔;L为租赁期限;k为租赁期限L内的总周期数;δj为第j次预防维护后设备故障
强度函数的减小量;¯δ为周期维修策略，¯δ=(δ1，δ2，…，δk);Cp(δ)为设备故障
强度函数减小δ后的预防维护成本;TCp为总的预防维护成本;TCf为发生故障后小
修的总成本;τ为故障小修时间限制;Cf为故障的小修成本;Ct为超过小修时间τ后
的平均惩罚成本率(惩罚成本1);Cn为每次发生故障的惩罚成本(惩罚成本2);Φ1(k，T，¯δ)为期望惩罚成本1;Φ2(k，T，¯δ)为期望惩罚成本2;M(k，T，¯δ)为租赁者
在租赁期L内的期望总成本。

2.2 模型假设
1)假设故障强度函数为λ0(t)，它是一个关于t的增函数;
2)租赁设备发生故障后，将进行小修，使得设备“恢复如旧”，小修不改变设备的故障强度;
3)周期预防维护时间忽略不计。

4)假定设备的年龄为A;
5)假定设备租赁期限为L。

2.3 预防维护成本和故障小修成本
出租方在时间间隔周期T时，对设备进行预防维护。

假定在出租期限L内的预防
维护次数为k，则
其中，表示向下取整。

预防维护时间节点为tj{tj=T，2T，…，kT}。

第j次预防维
护活动将会使得强度函数减少δj，δj满足
由式(2)可知，在进行周期预防维护后，故障率强度函数为
式中，t0=A，δ0=λ0(A)。

见图1的维修方案图。

图1 周期预防维护方案图Fig.1 The periodic preventive maintenance scheme 在租赁期间，若不考虑预防维护，则设备的期望故障次数为
若考虑到进行预防维护，则设备的期望故障次数为
设预防维护成本由固定成本和可变成本两部分组成，它的表达式为Cp(δ)=a+bδ，其中，a、b为常数，且a，b＞0。

则总的预防维护成本为
在租赁期L内，若进行了预防维护活动，则故障的小修期望总成本为
2.4 惩罚成本1和惩罚成本2
如第一部分的租赁合同内容所示，在租赁期L内，设备若发生故障，将会对承租
方的生产经营活动产生影响，从而承租方将会对出租方做出相应的惩罚，包括惩罚成本1和惩罚成本2。

令y表示设备发生故障后的最小维修时间，则由式(5)可以得到，期望惩罚成本1
为
期望惩罚成本2为
其中，¯δ={δ1，δ2，…，δk}。

由式(6)～(9)，得到出租方在租赁期限［0，L］内，共有k次周期预防维护的期望总成本为
定义，则式(10)可以表示为
其中，参数k满足0≤k＜L/T，δj应满足0≤δj下述内容对式(11)的期望总成本进
行优化，以得到出租方的最小期望总成本。

3 最优周期预防维护策略
优化的最终目的是找到最优的参数值，来获得出租方所希望得到的最小期望总成本。

下面将分为2步，对期望总成本进行优化。

首先，固定T，获得M(T，¯δ)取最优
值时的¯δ*(T);其次，根据第1步所得到的结果，求M［T，¯δ*(T)］关于T的最优值T*。

具体过程如下。

1)固定T，则有k(T)T＜L≤(k(T)+1)T，由上面的式(11)可以得到
式(12)需满足j≤k(T)。

式(12)为关于δj的线性函数，令
当式(13)的值H ＜0，即jT ＞L－(b/C′)时，期望总成本 M(T，¯δ)=C′Λ0(L)+ak
为最小值，不进行任何预防维护。

当H＞0，即jT＜L－(b/C′)时，期望总成本
M(T，¯δ)在执行预防维护后，取得最优值，(T)最优值可以表示为2)根据第1步得到的关于T的最优值(T)，求T*。

利用第1步给出的(T)，最小化 M［T，(T)］，
即可以得到T*。

下面给出求解T*的算法步骤。

①k=1。

②估计Tmin=A+L/(k+1)，Tmax=A+L/k的值。

③ 在区间t∈［Tmin，Tmax］上，离散化t的值，从而找出T*(k)的值，使得M ［T(T)］取最小值。

④k←k+1。

如果k＜¯=，则返回③;否则执行⑤。

⑤找到使得M{T*(k)［T*(k)］}取得全局最小的k*的值，T*=T*(k)。

从而得到最优预防维护活动=(T*)以及最小的期望总成本M［T* (T*)］。

执行上述算法，即可以求得最小期望总成本值以及相应的T*和。

4 算例研究
通过具体的实例，对所提出的维护策略的有效性做出验证。

假定出租方对具有一定年龄的旧影印机进行出租，根据承租方的生产安排及影印机的历史维护数据，出租方决定以上述维护模型为基础，制定成本最小化的预防维护策略。

在模型建立过程中，首先要确立的是设备故障率和维修时间的分布模型。

故障率分布模型种类很多，其中Weibull分布模型已被广泛应用于机电类产品的累积失效情况。

本文假定影印机被维护主要部件的故障率分布服从二参数的Weibull分布
其中，α为尺度参数;β为形状参数。

α和β的值可以根据设备的历史故障数据，利用最大似然估计方法得出［18］。

维修时间分布亦有多种表示方法，如指数分布、Weibull分布等，一般采用最大熵法、Bootstrap等方法确定［19］。

此处选取 Weibull分布为例，假设维修时间分布服从二参数Weibull分布
参数的取值如下。

表1中给出了当Ct=Cn=0，即不考虑惩罚成本1和2，当参数β=2，A=0.3时，在维修次数k的取值不断递增时，M{T*(k)［T*(k)］}的取值变化情况。

随着维护次数k的值不断增大，对应的维护时间间隔T变小，M{T*(k)［T*(k)］}的值变小;当k=3时，M{T*(k)［T*(k)］}的值达到最小。

随着k的值继续变大，即预防维护次数不断地增多，M{T*(k)［T*(k)］}的值也将变大。

具体结果如表1所示。

表1 k 取不同值时得到的 T*(k)和 M{T*(k)，¯δ*［T*(k)］}Tab.1 T*(k)and
M{T*(k)，¯δ*［T*(k)］}versus kk 12345678 T*(k)2.500 1.667 1.250 1.000 0.833 0.714 0.625 0.556 M{T*(k)，¯δ*［T*(k)］}/$2 020.01 836.71 795.01 810.01 853.41 912.91 982.5 2 058.9
图2中给出了当Ct=Cn=0，即不考虑惩罚成本1和2，当参数β=2，A=0.3时，当k取不同值时，在区间［L/(k+1)，L/k］上所取得的最小值M［T(T)］的情形。

从图中可以看出，当k=1时，M［T，(T)］在T=2.5时，取得最小值，但不是全
局最小值。

当预防维护次数k的取值不断变大时，即维护次数增加，M［T，(T)］的值在减小，且在k=3，T=1.250时，取得全局最小值。

然而随着预防维护次数
k的增加，维护次数增加，期望总成本 M［T(T)］的值变大。

在表2中，当设备已使用年龄A=0时，模型退化为文献［8］中的形式，且所得
的结果与文献［8］中的结果是一致的。

在β=2时，当A的值不断变大时，有4
种情况:1)不考虑惩罚成本1和2;2)仅考虑惩罚成本1;3)仅考虑惩罚成本2;4)惩罚
成本1和2均存在。

4种情况下的期望总成本值均是增大的，原因在于当设备的
已使用年龄增大时，它的故障率强度是增加的，所以预防维护活动将变得频繁。

但是从表中可以看出最优维修次数k*的值与A=0时的情形基本保持一致。

β=3时的情况与β=2的相似。

图2 k取不同值时所得到的 M［T，(T)］Fig.2 M［T，(T)］versus k
表2 参数β、A取不同值以及惩罚成本取值对期望总成本的影响Tab.2 Effect of variation in β，A，Ctand Cnon expected total costβACtCnk*M［T，¯δ*(T)］/$βACtCnk*M［T，¯δ*(T)］/$2 0 0 0 3 1 300.0 3 0 0 0 9 5 750.0 300 0 6 1 820.8 300 0 17 7 312.5 0 200 7 2 075.0 0 200 21 8 036.0 300 200 9 2 404.6 300 200 25 8 969.9 0.3 0 0 3 1 795.0 0.05 0 0 9 6 396.3 300 0 6 3 206.5 300 0 17 8 860.6 0 200 7 3 732.5 0 200 21 10 164 300 200 8 4 776.4 300 200 25 12 003 0.8 0 0 3 2 455.0 0.3 0 0 9 9 647.5 300 0 5 4 617.3 300 0 16 16 616 0 200 6 6 477.1 0 200 19 20 820 300 200 7 7 921.8 300 200 24 27 184
5 结论
文中对具有威布尔分布的旧租赁设备，采用等间隔时间方法求得最佳预防维护策略。

且当设备的已使用年龄A=0时，则此设备即为新设备，文中的模型退化为文献［8］中的形式。

当惩罚成本1和2的值Ct=Cn=0时，即不考虑惩罚成本，目标函数仅考虑故障成本和预防维护成本。

则文中所讨论的模型，即为文献［17］中
的形式，并且周期预防维护策略方法，在实际应用中比变周期预防维护方法易于操作。

因此，本文的模型具有较好的适应性和实际应用价值。

在实际维护过程中，租赁设备的故障强度会随着使用强度的增加而变化，故障小修成本也将会随着设备的年龄增加而增加，这些因素对期望总成本都将产生一定的影响。

在表2中，可以看出，当A的值变大时，期望总成本也随之变大，能否在旧
设备租赁之前，对其进行升级维修，使得其虚拟年龄减小，这些因素都将是未来进一步研究的方向。

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