复兴区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

复兴区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值
范围为（ ）
A ．(,2)-∞
B ．(,1)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(1,)+∞ 2． 若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A ．（2，4） B ．（2，﹣4）
C ．（4，﹣2）
D ．（4，2）
3． 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）
A ．k ＞7
B ．k ＞6
C ．k ＞5
D ．k ＞4
4． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2
=，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．2
B
．
C
．
D ．4
5． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．3283
π- 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．
6． 已知抛物线2
8y x =与双曲线22
21x y a
-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲
线的渐近线方程为
A 、530x y ±=
B 、350x y ±=
C 、450x y ±=
D 、540x y ±=
7． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（ ）
A ．9.6
B ．7.68
C ．6.144
D ．4.9152
8． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（ ）
A ．0
B ．10
C ．﹣10
D ．10或﹣10
9． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2 10．设集合
,,则( )
A B
C
D
11．设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A.18
B.12
C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
12．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）
（A ） 8
（ B ） 4 （C ） 8
3
（D ）
43
二、填空题
13．设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=，
则f （）= ．
14．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i ＜m 中的整数m 的值是 ．
15．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
16．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
17．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ． 18．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
三、解答题
19．如图，菱形ABCD 的边长为2，现将△ACD 沿对角线AC 折起至△ACP 位置，并使平面PAC ⊥平面
ABC ．
（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，若∠ABC=60°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC 体积的最大值．
20．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，
求出的长,若不存在，请说明理由．
21．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．
22．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．
（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．
23．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，H 是CF 的中点． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求二面角H ﹣BD ﹣C 的大小．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，()a R ∈．
（Ⅰ）若当04x ≤≤时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值； （Ⅱ）当03a ≤≤时，求证：()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-．
复兴区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12
a ≤时，12a -≥-
，z ax y =+在点1,0A （）
取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11
,33
B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121
a a ⎧
≤
⎪⎨⎪<⎩或
12
111
a a ⎧
>⎪⎪⎨
⎪+<⎪，∴2a <，选A ． 2． 【答案】C
【解析】解：复数z 满足iz=2+4i ，则有z=
=
=4﹣2i ，
故在复平面内，z 对应的点的坐标是（4，﹣2）， 故选C ．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
3． 【答案】 C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 0
第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为k ＞5？
故答案选C ．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
4． 【答案】 C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF 1|=r 1，|MF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2
∵∠F 1MF 2=
，
∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2
﹣2r 1r 2cos ，①
在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2
﹣3r 1r 2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12
+r 1r 2，
即=1﹣，③
联立②③得，
+
=4，
由柯西不等式得（1+）（+
）≥（1×
+
×
）2，
即（+）2
≤×4=
，
即
+≤
，
当且仅当e
1=，e 2=
时取等号．即取得最大值且为
．
故选C ．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
5． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =
π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 6． 【答案】Ａ
【解析】：依题意，不妨设点M 在第一象限，且Mx 0，y 0，
由抛物线定义，|MF |＝x 0＋p
2
，得5＝x 0＋2.
∴x 0＝3，则y 2
0＝24，所以M 3，26，又点M 在双曲线上， ∴32a 2－24＝1，则a 2＝925，a ＝35
， 因此渐近线方程为5x ±3y ＝0.
7． 【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x 年后的价值为S ，则S=15（1﹣20%）x
， 结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4
=6.144．
故选：C ．
8． 【答案】D
【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，
当x ＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10 当x ≥0，时x=10，解得：x=10 故选：D ．
9． 【答案】D
【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D ． 10．【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

11．【答案】A.
【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A. 12．【答案】A
【解析】
根据三视图可知，该几何体是长方体中挖去一个正四棱锥，故该几何体的体积等于1
22322383
⨯⨯-⨯⨯⨯=
二、填空题
13．【答案】 1 ．
【解析】解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，
∴
=1．
故答案为：1．
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．
14．【答案】 6 ．
【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；
第二次循环：S=+=，i=2+1=3；
第三次循环：S=+=，i=3+1=4；
第四次循环：S=+=，i=4+1=5；
第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S ，不满足判断框中的条件；
∴判断框中的条件为i ＜6？
故答案为：6．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题
15．【答案】
【解析】解：因为抛物线y 2
=48x 的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F （﹣12，0）是双曲线的左焦点， 所以a 2+b 2=c 2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x ，
所以=
，
解得a 2=36，b 2=108， 所以双曲线的方程为．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a 2的值，是解题的关键．
16．【答案】：．
【解析】解：∵•=cos α﹣sin α=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cos α﹣sin α=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值， ∴cos2α=
=
，
∵α为锐角，sin （α+
）＞0，
∴sin （α+）
=
===
．
故答案为：
．
17．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域． 18．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C 是最大角
根据余弦定理，得cosC=
=
＞0
∵C ∈（0，π），∴角C 是锐角，
由此可得A 、B 也是锐角，所以△ABC 是锐角三角形 故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连接PO ，BO ，由于四边形ABCD 为菱形，∴PA=PC ，BA=BC ，∴PO ⊥AC ，BO ⊥AC ，又PO ∩BO=O ，
∴AC ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥PB ．
（Ⅱ）∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC=AC ，PO ⊂平面PAC ， PO ⊥AC ，∴PO ⊥面ABC ，∴OB ，OC ，OP 两两垂直，
故以O 为原点，以方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD
的边长为2，
∴
，
，
设平面PBC 的法向量，直线AB 与平面PBC 成角为θ，
∴，取x=1，则
，于是
，
∴
，∴直线AB 与平面PBC 成角的正弦值为
．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，
又PO⊥平面ABC，∴=
（），
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），
设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．
20．【答案】
【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直
【试题解析】（Ⅰ）是等边三角形，为的中点，
平面平面，是交线，平面
平面．
（Ⅱ）取的中点，底面是正方形，，两两垂直．
分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
，，
设平面的法向量为，，
，，
平面的法向量即为平面的法向量．
由图形可知所求二面角为锐角，
(Ⅲ)设在线段上存在点，，
使线段与所在平面成角，
平面的法向量为，，
，解得，适合
在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0，即=0，解得b=1；
从而有；…
经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f（x）==﹣+；
由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…
（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式
f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），
即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…
又因f（x）是R上的减函数，
由上式推得1+|x|＞﹣x，…
解得x∈R．…
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]，
由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，
任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．
由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，
又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
∴[1，3]⊆[1，c]，
即c≥3
（Ⅱ）函数f（x）=x2+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，
即f（x）max﹣f（x）min≤4，
记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．
当||＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；
当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=
﹣f（）=（1+）2≤4，
解得：|b|≤2，
即﹣2≤b≤2，
综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
23．【答案】
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（2）解：设AC∩BD=O，取EF的中点N，连接ON，
∵四边形BDEF 是矩形，O ，N 分别为BD ，EF 的中点， ∴ON ∥ED ， ∵ED ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥平面ABCD ，
由AC ⊥BD ，得OB ，OC ，ON 两两垂直．
∴以O 为原点，OB ，OC ，ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系． ∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴B （1，0，0），D （﹣1，0，0），H （，，）
∴
=（﹣，
，），
=（2，0，0）．
设平面BDH 的法向量为=（x ，y ，z ），则
令z=1，得=（0，﹣，1）
由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为
=（0，0，﹣3），
则cos ＜
，＞=﹣，
由图可知二面角H ﹣BD ﹣C 为锐角， ∴二面角H ﹣BD ﹣C 的大小为60°
【点评】本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查面面角，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．
24．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）()2x a f x -=≤得，22a x a -≤≤+
由题意得20
42
a a -≤⎧⎨≤+⎩，故22a ≤≤，所以2a = …… 5分
（Ⅱ）03a ≤≤，∴112a -≤-≤，∴12a -≤，
()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()
2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤
()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==，
∴()()()()f x a f x a f ax af x -++≥-．…… 10分。