基于二分迭代法的三心圆复曲线优化算法及程序设计

总 第 ３０６ 期 ２０２１ 第 ３ 期
交 通 科 技 ＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ ＆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ＤＯＩ１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１７５７０．２０２１．０３．０２８
ＳｅｒｉａｌＮｏ．３０６ Ｎｏ．３Ｊｕｎｅ２０２１
基于二分迭代法的三心圆复曲线优化算法及程序设计
熊江陵 曾凡云 唐俊成 韩 扬
（中 国 电 建 集 团 中 南 勘 测 设 计 研 究 院 有 限 公 司 长 沙 ４１００１４）
摘 要 在公路及城市道路设计中，将 平 面 交 叉 口 右 转 弯 车 道 边 线 设 计 为 三 心 圆 复 曲 线，可 以 提 高交叉口右转弯的通行能力和 行 车 舒 适 性。 但 是 由 于 三 心 圆 复 曲 线 参 数 多，相 交 道 路 线 形 复 杂， 所以无法通过固定公式直接进行计算。为研究交叉口右转弯车道三心圆复曲线的通用计算方法， 根据三心圆复曲线终点坐标计算公 式，提 出 以 复 曲 线 终 点 逼 近 为 目 标 的 二 分 迭 代 法，并 对 其 初 始 值区间选择、收敛性等问题进 行 讨 论。 基 于 该 算 法 设 计 程 序 框 架，利 用 道 路 三 维 软 件 ＯｐｅｎＲｏａｄｓ Ｄｅｓｉｇｎｅｒ开 发 “交 叉 口 右 转 边 线 ”的 设 计 功 能 ，并 应 用 于 金 山 大 道 项 目 。 关 键 词 平 面 交 叉 口 三 心 圆 复 曲 线 二 分 迭 代 法 算 法 流 程 图 ＯｐｅｎＲｏａｄｓＤｅｓｉｇｎｅｒ 中 图 分 类 号 Ｕ４１２．６
由 于 路 线 几 何 的 不 确 定 性，可 能 收 敛 区 间
［犘ｓ１，犘ｓ２］仅存在于路线 中 很 短 的 一 段 距 离，为 了 快速、准确地 找 出 初 始 值 区 间 ［犘ｓ１，犘ｓ２］，参 考 文 献［４］，可以先利用 式（１）、（２）以 切 线 长 为 逼 近 目
标迭代求解到 复 曲 线 起 点 犘ｓ，然 后 再 在 犘ｓ 附 近
（５）
δ ＝α＋β＋γ
（６）
通过确定 犚１、犚２、犚３，并且确定３段圆弧中任
意２段的长度，或选 择 ３ 段 圆 弧 相 等，利 用 式 （１）
～（６）可求出 犜ｑ 和 犜ｈ，进 而 可 以 计 算 出 犃、犇 的 位置和确定３段圆弧的准确位置。
当进、出 口 道 为 曲 线 时，文 献［４］以 切 线 长 犜
对于迭代方程为狔＝犳（狓）的 二 分 迭 代 法，需 要确定 迭 代 求 解 的 初 始 值 区 间 ［犡１，犡２］，保 证 ［犡１，犡２］对 应 的 目 标 值 狔１，狔２ 满 足 狔１ ×狔２ ≤０。 对于式（９），假 设 复 曲 线 终 点 向 量 目 标 解 为犞ｅ ， 则初始值区 间 ［犞ｓ１，犞ｓ２］应 满 足 复 曲 线 终 点 向 量 犞ｅ１、犞ｅ２分别在犞ｅ 的 两 侧。 对 于 式 （１０），初 始 值 区间［犘ｓ１，犘ｓ２］应满 足 复 曲 线 终 点 坐 标 犘ｅ１、犘ｅ２分 别在出口车道边线的两侧。
假定３段圆弧长度分别为犔１、犔２、犔３，则有公式
２０２１ 年 第 ３ 期
熊 江 陵 等 ：基 于 二 分 迭 代 法 的 三 心 圆 复 曲 线 优 化 算 法 及 程 序 设 计
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α ＝ （犔１／犚１）·（１８０°／π）
（３）
β ＝ （犔２／犚２）·（１８０°／π）
（４）
γ ＝ （犔３／犚３）·（１８０°／π）
以基于终点距 离 逼 近 的 迭 代 方 程 犇（犘ｅ，犘ｅ′）≤犻
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熊 江 陵 等 ：基 于 二 分 迭 代 法 的 三 心 圆 复 曲 线 优 化 算 法 及 程 序 设 计
２０２１ 年 第 ３ 期
也具备连续性。 分 别 对 相 交 道 路 为 直圆 、圆直 、圆圆 等 情 况
进行测试，终 点 距 离 犇（犘ｅ，犘ｅ′）值 迭 代 收 敛 过 程 图 见 图 ３。
找 出 符 合 上 述 条 件 的 ［犘ｓ１，犘ｓ２］，此 处 不 再 赘 述 。
２．３ 迭 代 收 敛 性 论 证
迭代方程为狔＝犳（狓）在区间［犡１，犡２］能 否 收
敛，除需要满足对应的目标值狔１×狔２≤０ 外，还 应
满 足 狔＝犳（狓）在 区 间 ［犡１，犡２］连 续 。
根 据 式 （３）～ （８），可 以 得 到
值为目标 进 行 迭 代 逼 近，目 标 控 制 条 件 为 犜ｈ － 犜ｈ′＜１０－１０，其 中 犜ｈ 为 根 据 公 式 （２）计 算 得 到 的 切线长，犜ｈ′为 迭 代 点 处 实 际 的 切 线 长。 经 测 试， 该方法结果存在 较 大 误 差，原 因 是 路 线 的 圆 弧 半
径较 大，δ 的 微 小 变 化 对 犜ｈ 结 果 影 响 较 小，但 对 犜ｈ′影 响 较 明 显 。
犘ｅ ＝ 犘ｓ ＋犳（犞ｓ，δ）
（１１）
当 三 心 圆 复 曲 线 起 点 犘ｓ 确 定 时，犞ｓ 能 唯 一
确定，而δ 的 大 小 也 与 起 点 位 置 有 关，也 就 是 说
犘ｅ 可以表示为
犘ｅ ＝ 犉（犘ｓ）
（１２）
为保证行车 的 顺 畅 性，路 线 在 几 何 上 也 必 然
是连续且光滑的，也 就 是 说 犘ｓ 是 连 续 变 化 的，所
为研究三心 圆 复 曲 线 的 通 用 计 算 方 法，基 于 三心圆复曲线终 点 坐 标 计 算 公 式，提 出 以 终 点 距
收 稿 日 期 ：２０２１０２２７
离为逼近目标的 二 分 迭 代 法，并 对 该 方 法 收 敛 性 和迭代初始值区间选取进行论证。通过在实际项 目中的应用结果 表 明：该 算 法 能 正 确 求 解 任 意 线 形相交的交叉口 右 转 弯 车 道 三 心 圆 复 曲 线，具 有 更 好 的 通 用 性 、稳 定 性 和 求 解 精 度 ，同 时 也 具 有 较 高计算效率。 １ 三 心 圆 复 曲 线 切 线 长 公 式 及 应 用
υ１′、υ２′、υ３′分别为３段圆弧终点处 背 向 圆 心 的 单 位向量。
三心圆复曲线 在 终 点 需 与 边 线 相 切，即 应 满
足如下２个条件。
１）复曲 线 终 点 切 向 量 与 终 点 在 边 线 上 投 影
处的切向量相等。
２）复曲 线 终 点 与 终 点 在 边 线 上 投 影 点 距 离
３ 以终点距离逼 近 为 目 标 的 二 分 法 迭 代 计 算 流 程图
根据上述分 析，以 终 点 距 离 逼 近 为 目 标 的 二 分迭代法需要如下过程。
１）根 据 切 线 长 预 估 复 曲 线 起 点 位 置 。 ２）在 预 估 的 起 点 附 近 确 定 迭 代 区 间 初 始 值 。 ３）以 终 点 距 离 逼 近 为 目 标 进 行 二 分 迭 代 计算。 算 法 流 程 图 设 计 见 图 ４。
图 ３ 二 分 法 迭 代 计 算 收 敛 过 程 图
犇（犘ｅ，犘ｅ′）经 过 大 约 ６ 次 迭 代 计 算 后 达 到 １０－３ｍ 精度，１５次迭代计算后达到１０－８ｍ 精度。
按二分法等 距 调 整 时，３ 种 情 况 收 敛 速 度 差 别 不 大，但是如果根据前一 次 迭 代 结 果 犇（犘ｅ，犘ｅ′）狀－１ 非等距 调 整 第 狀 次 迭 代 参 数，３ 种 情 况 收 敛 速 度 都 有 明 显 提 升 ，其 中 直圆 这 一 情 况 收 敛 速 度 提 升 最大，经过大约４次就可以达到１０－８ｍ 精度。
ｓｉｎδ－ ［犚３ － （犚３ －犚２）ｃｏｓγ］／ｔａｎδ （２） 式中：犚１、犚２、犚３ 分别为３段圆 弧 的 半 径，犚２ 小 于 犚１、犚３；α、β、γ 分别为３段圆弧对应的转角；δ 为三 段 圆 弧 旋 转 角 度 之 和 ，各 参 数 示 意 图 见 图 １。
图 １ 三 心 圆 复 曲 线 切 线 长 公 式 参 数 示 意 图
１）选 择 合 适 的 迭 代 公 式 。 ２）选 择 合 适 的 迭 代 初 始 值 。 ３）保 证 迭 代 的 收 敛 性 。 ２．１ 选择迭代公式：基于终点距离逼近的迭代方程 当相交道 路 线 形 为 曲 线 时 （见 图 ２），三 心 圆 复曲线终点切向量及坐标计算公式如下。
图 ２ 三 心 圆 复 曲 线 终 点 切 向 量 及 坐 标 计 算 参 数 示 意 图
犞ｅ ＝ 犚（犞ｓ，δ）
（７）
犘ｅ ＝ 犘ｓ ＋犚１·（υ１ ＋υ１′）＋
犚２·（υ２ ＋υ２′）＋犚３·（υ３ ＋υ３′） （８）
式中：犞ｅ 为 复 曲 线 终 点 向 量；犞ｓ 为 起 点 向 量；犚
（犞ｓ，δ）为将 向 量犞ｓ 顺 时 针 旋 转δ 角 度；犘ｅ 为 复 曲线 终 点 坐 标；犘ｓ 为 复 曲 线 起 点 坐 标；υ１、υ２、υ３ 分别为 ３ 段圆弧起点处指向圆心的单元向量，
为 ０。
用公式表示为
犇（犞ｅ，犞ｅ′ ）≤ε
Hale Waihona Puke （９）犇（犘ｅ，犘ｅ′ ）≤ε
（１０）
以式（１０）为 逼 近 目 标 建 立 二 分 法 迭 代 方 程，
其 中 式 （１０）应 以 满 足 式 （９）为 前 提 ，他 们 的 因 变 量
分别为起点切向量犞ｓ 和 犘ｓ 起点坐标。 ２．２ 选 择 迭 代 初 始 值 区 间
图 ４ 三 心 圆 复 曲 线 终 点 逼 近 二 分 迭 代 法 计 算 流 程 图
其中三心圆复曲线终点切向量迭代逼近的算 ｍ 的圆弧，支 线 段 为 直 线，最 小 交 角 约 为 ７８°，该
在传统的公 路 及 城 市 道 路 设 计 中，通 常 将 平 面交叉口右转弯车道边线简化为单圆曲线形式， 一方面是为了便 于 施 工，另 一 方 面 原 因 是 双 心 圆 及三心圆等复曲线无法通过固定的公式进行直接 计算。但是 在 高 等 级 公 路 及 渠 化 城 市 道 路 设 计 中，将交叉口右 转 弯 车 道 边 线 设 计 为 双 心 圆 或 三 心圆复曲线具有 一 定 的 必 要 性，因 为 它 能 有 效 提 高右转弯通行能力和行车舒适性。蔡伟等 研 ［１］ 究 了不同类型弯道路缘石对车辆在交叉口转弯处行 驶速度和轨迹的 影 响，结 果 表 明 在 交 叉 口 弯 道 处 采 用 三 心 圆 曲 线 进 行 布 设 ，不 但 节 约 用 地 资 源 ，也 有利于提高车辆在交叉口转弯处行车的舒适性。 ＪＴＧ Ｄ２０－２０１７《公路 路 线 设 计 规 范》［２］在 １０．４． ３条规定：渠化平面交叉的右 转 弯 车 道，在 内 侧 路 面边缘应采用三 心 圆 复 曲 线。 文 献 ［３］指 出 以 铰 接列车控制设计 时，相 交 路 面 的 边 缘 应 采 用 复 曲 线。在三心圆 复 曲 线 的 计 算 方 法 方 面，相 关 研 究 较少，朱家 兵 等 根 ［４］ 据 相 交 道 路 线 形，分 左 直 右 直 、左 直 右 曲 、左 曲 右 直 、左 曲 右 曲 等 情 况 ，提 出 一 种以切线长度为逼近目标的三心圆复曲线计算方 法，但该方法在 曲 线 相 交 的 交 叉 口 中 计 算 误 差 较 大（１ ｍ），并 且 文 献 中没 有对进、出口 道均 为曲线 的形式进行详细论证。
根据 文 献 ［５］中 介 绍 的 方 法，进、出 口 道 为 直 线时，左、右侧切线长 犜ｑ、犜ｈ 分别为 犜ｑ ＝ （犚１ －犚２）ｓｉｎα＋ ［犚３ － （犚３ －犚２）ｃｏｓγ］／
ｓｉｎδ－ ［犚１ － （犚１ －犚２）ｃｏｓα］／ｔａｎδ （１） 犜ｈ ＝ （犚３ －犚２）ｓｉｎγ＋ ［犚１ － （犚１ －犚２）ｃｏｓα］／
２ 基 于 终 点 距 离 逼 近 的 二 分 迭 代 法
为解决上述三心圆复曲线计算的误差问题， 并考虑相交道路 线 形 的 任 意 性，提 出 以 终 点 距 离 为逼近目标的二分迭代法。
由于相交道 路 几 何 条 件 的 不 确 定 性，对 于 曲 线相交的交叉口，三 心 圆 复 曲 线 仅 在 某 一 范 围 存 在可能 解，可 以 视 为 局 部 收 敛 的 非 线 性 问 题 。 ［６］ 局部 收 敛 非 线 性 问 题 求 解，需 要 解 决 如 下 ３ 个 问题。